3. (Octubre 2008) La percepción tridimensional
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3. (Octubre 2008) La percepción tridimensional
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Escrito por G4D (José Manuel Arranz, Rafael Losada, José Antonio Mora y Manuel Sada)   
Miércoles 01 de Octubre de 2008

Introducción

La geometría sintética manifiesta su belleza en las relaciones de orden, simetría o regularidad que aparecen en sus construcciones. Pero además, desde la Antigua Grecia, ofrece brillantes ejemplos de cómo aprovechar al máximo recursos relativamente sencillos, ese otro tipo de “belleza” más abstracta e inherente al mundo matemático.

En este artículo usaremos herramientas muy sencillas. Prácticamente, sólo emplearemos un concepto, la semejanza, y un procedimiento, el teorema de Tales. Veremos que con estas simples herramientas podremos ahondar considerablemente en el problema que nos servirá de ejemplo.

En la primera parte del artículo anterior hablábamos de “polígonos generados al unir los puntos medios de otro polígono”. Debido a lo molesto que resultaría repetir constantemnte esta descripción, hemos inventado el término interpoli para referirnos al polígono así creado a partir de otro. Pues bien, mostrábamos en ese artículo cómo una precipitada generalización de la regularidad observada en la proporción de las áreas de un polígono y su interpoli puede conducir a inferir “leyes” falsas. Ahora, en vez de frustrarnos, retomaremos nuestro fracaso para darle la vuelta al problema y alcanzar un resultado general válido.

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Antes de comenzar

En todo el texto consideraremos los polígonos (trapecios, cuadriláteros, pentágonos, etc.) en el sentido de “polígono simple” o “polígono no cruzado”, es decir, como polígonos en donde no se interseca ningún par de lados no consecutivos.

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Dando la vuelta a la tortilla

Recordemos la conjetura fallida. El interpoli de un triángulo guarda una razón constante de 1/4 respecto al área original. Lo mismo ocurre, con razón 1/2, en los cuadriláteros. Surge la tentación de generalizar esta constancia pero, al pasar al pentágono u otro polígono de más lados, la razón ya no se mantiene constante.

Podemos aprovechar la precipitada generalización anterior, una vez hemos comprobado que “no marcha”, para plantear el problema al revés. Si elegimos un polígono al azar, parece razonable pensar que la razón de áreas entre su interpoli y el propio polígono no sea la misma para todos los polígonos con el mismo número de lados, a no ser en algunos casos particulares como, de hecho, ya habíamos visto que son los triángulos y los cuadriláteros.

Ahora bien, ¿estos casos particulares obedecen sólo al número de lados o a otra “propiedad” desconocida? ¿Existirán “familias” de polígonos, con más de cuatro lados, que tengan esa misma propiedad y por tanto mantengan todos la misma proporción entre sus áreas y las de sus interpolis respectivos? ¿Son todos los triángulos y cuadriláteros miembros de esas familias? ¿Cuál es, si existe, esa misteriosa “propiedad”?

A lo largo de este artículo mostraremos que esa propiedad existe. Nuestro objetivo será mostrar que, dado un polígono, la propiedad que debe cumplir para mantener su área en razón constante con la de su interpoli se puede definir como:

la posibilidad de unir sus vértices mediante un haz de rectas paralelas
con los de un polígono regular de igual número de lados.

En la siguiente construcción podemos ver un ejemplo. El pentágono rojo de la derecha mantiene siempre la misma razón con su interpoli azul porque sus cinco vértices se desplazan sobre un haz de rectas paralelas que lo conectan con los vértices de un pentágono regular.

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Observemos que los polígonos regulares cumplen obviamente esa propiedad, pues basta conectarlos con una traslación cualquiera de sí mismos, y podemos también observar que en su caso, por razones de semejanza, la razón interpoli/polígono no varía. Todos los pentágonos regulares, por ejemplo, mantienen la misma razón con sus interpolis, independientemente de su tamaño.

Igualmente, la condición de que el polígono de la izquierda sea regular es necesaria, como podemos comprobar en la siguiente construcción.

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Así que los triángulos y cuadriláteros quizás tengan alguna característica común con los polígonos regulares que los convierta en “especiales”. Si logramos encontrar esa característica tal vez podamos aproximarnos a la propiedad general.

Los ubicuos triángulos

Con este nuevo objetivo, recomencemos la exploración. ¿Qué relación existe entre un triángulo cualquiera y un triángulo regular (equilátero)? Evidentemente, ambos tienen tres lados, tres ángulos cuya suma es 180º... ¿Podemos encontrar alguna otra relación, basada más en la forma o posición que en la cantidad de elementos?

Construyamos un triángulo equilátero. Puede que la siguiente pregunta suene bastante estúpida, pero, curiosamente, en su respuesta reside la idea que nos permitirá avanzar. ¿Lo que estamos viendo es realmente un triángulo equilátero?

triángulo equilátero

Si miramos con detenimiento, con los ojos bien abiertos, es probable que nadie consiga hacernos creer lo contrario. Pero en realidad, ¡mirando con los dos ojos es imposible ver un triángulo equilátero!

No bromeamos. Para ver el triángulo exactamente equilátero sus tres vértices deberán estar a idéntica distancia de nuestros ojos. Pero eso es imposible, salvo que cerremos uno de ellos (o “nos incrustemos” el triángulo entre los dos ojos, lo cual también impediría su correcta visualización). Sólo mirando con un solo ojo, situado justo enfrente del circuncentro del triángulo, podemos afirmar realmente que estamos viendo lo mismo que estamos percibiendo.

Cerremos, pues, un ojo. Efectivamente, ahora podemos ver un triángulo equilátero. Pero, ¿podemos ahora afirmar que ese triángulo es equilátero? Curiosamente, no.

Existen infinidad de figuras de contorno triangular, no equiláteras, que producirían exactamente la misma imagen en nuestra retina: cualquier sección plana (recta u oblicua) de la pirámide triangular que une los vértices del triángulo con nuestra retina produciría la misma imagen. Es más, incluso cualquier corte transversal, no necesariamente plano, seguiría produciendo la misma impresión, pues todos los cortes se eclipsan exactamente entre sí. En la práctica esto no supone ningún inconveniente, pues el poderoso cerebro siempre interpreta nuestro entorno basándose mucho más en la experiencia que en la imagen objetiva formada en la retina (por otra parte, imagen que, al formarse en la superficie curva del fondo del globo ocular, corresponde a un triángulo esférico, cuyos lados curvos restituimos mental y automáticamente en rectos).

Para facilitar el desarrollo posterior de esta idea, imaginemos que convertimos esa pirámide triangular en un prisma triangular por el sencillo procedimiento de situarnos a infinita distancia del triángulo (sólo así convertiremos rectas convergentes en paralelas). Por supuesto, también tendremos que imaginar que tenemos una visión en el ojo abierto extraordinariamente aguda.

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Una vez situados a distancia infinita, imaginemos que lo que estamos viendo es la base equilátera de un prisma triangular (podemos pensar en un Toblerone). ¿Cómo distinguirla de cualquier sección oblicua de ese prisma? Es imposible. Todas las secciones, de cualquier forma, las veremos como si fueran equiláteras. ¡Aquí está la característica común que deseábamos encontrar entre un triángulo regular y cualquier otro!

Resultado 1. Todo triángulo es una sección de algún prisma triangular de base equilátera.

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Observemos que la frase “un triángulo eclipsa a otro” da a entender la percepción del haz de rectas paralelas como no coplanarias (espaciales), como si fueran las tres aristas de un prisma. Bajo este enfoque, el triángulo ABC no sería más que una sección cualquiera de ese prisma de base equilátera A’B’C’. Sin embargo, la construcción realizada es plana, y el haz de rectas es coplanario. Ambas interpretaciones se complementan y fortalecen mutuamente. Para “imaginar” los objetos relacionados es más sencillo pensar en el modelo tridimensional, pero para realizar y justificar la construcción es mejor volver al modelo plano. El título de este artículo se debe precisamente a este juego mental que alterna ambas interpretaciones.

Resultado 2. En todo prisma triangular (recto u oblicuo) puede encontrarse una base equilátera.

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Observemos que en el proceso se construye, efectivamente, un triángulo equilátero. Invitamos al lector o lectora a que intente justificar por qué el procedimiento seguido garantiza que el triángulo gris ha de ser equilátero.

Polígono interior, triángulo exterior y agujero prismático

Dado un triángulo ABC, llamaremos polígono interior a cualquiera cuyos vértices descansen sobre los lados del triángulo. Al triángulo ABC lo denominaremos triángulo exterior.

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En tres dimensiones, el polígono interior se comporta como lo que denominaremos agujero prismático, es decir, como un prisma cuyas aristas siguen la misma dirección que el eje del prisma de base regular. En la siguiente construcción vemos el agujero prismático creado por el interpoli (que es un caso particular de polígono interior).

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Resultado 3. La razón entre las áreas del triángulo interior y exterior de cualquier sección de un prisma triangular con un agujero prismático triangular no depende de la sección, es decir, es siempre constante e igual a la razón correspondiente en la base regular:

ecuación

La demostración es muy sencilla, ya que los lados correspondientes de los triángulos se encuentran en posición de Tales. Observemos que tal posición es consecuencia del paralelismo de las rectas que forman el haz.

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Un caso particular es el que ya conocemos cuando el triángulo interior coincide con el interpoli. En ese caso, la razón es de 1/4, pues la base queda dividida en cuatro triángulos equiláteros iguales.

Resultado 4. La razón entre las áreas del polígono interior y del triángulo exterior de cualquier sección de un prisma triangular con un agujero prismático cualquiera no depende de la sección, es decir, es siempre constante e igual a la razón correspondiente en la base regular.

Cualquier polígono interior se puede descomponer en triángulos interiores. Ahora basta aplicar el resultado 3:

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Observemos que es condición necesaria, para establecer la proporcionalidad, que no haya dos vértices del polígono interior situados en una misma recta del haz de paralelas. Por eso el “modelo espacial” se ajusta mucho mejor que el plano a las condiciones requeridas.

Los difíciles cuadriláteros

Resultado 5. Todo paralelogramo es sección de algún prisma de base cuadrada.

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Resultado 6. Todo cuadrilátero es sección de algún prisma de base cuadrada.

Para cualquier cuadrilátero, el haz de rectas paralelas con dirección igual a la de cualquiera de las dos rectas que unen puntos medios de lados opuestos, o a la de la recta que une puntos medios de las diagonales, permite la construcción de un cuadrado con vértices en ese haz.

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De nuevo, es un ejercicio interesante tratar de justificar por qué el procedimiento anterior genera dos cuadrados. Obsérvese la simetría axial de cada haz de rectas paralelas respecto a la recta central.

En realidad hemos demostrado algo más general. Podemos considerar un prisma de base cuadrada como dos prismas triangulares pegados.

Llamando bisección de un prisma de base cuadrada al corte continuo resultado de seccionar ambos prismas triangulares de forma que obtengamos dos triángulos, no necesariamente coplanarios, con un lado común, la interpretación tridimensional del resultado anterior nos conduce al:

Resultado 7. Todo par de triángulos, no necesariamente coplanarios, que comparten uno de sus lados formando un ángulo diédrico, es bisección de algún prisma de base cuadrada.

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Resultado 8. La razón entre las áreas del cuadrilátero interior y exterior de cualquier sección de un prisma de base cuadrada con un agujero prismático cuadrilátero (cuya sección siempre es un paralelogramo) no depende de la sección, es decir, es siempre constante e igual a la razón correspondiente en la base regular.

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Un caso particular es el que ya conocemos cuando el cuadrilátero interior coincide con el interpoli. En ese caso, la razón es de 1/2, pues en esa razón queda dividida la base cuadrada:

cuadrado

La interpretación espacial del resultado anterior nos conduce al:

Resultado 9. La razón entre la suma de las áreas de los triángulos interiores y la suma de las áreas de los exteriores de cualquier bisección de un prisma de base cuadrada con un agujero prismático cuadrilátero no depende de la bisección, es decir, es siempre constante e igual a la razón correspondiente en la base regular.

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Interpolis regulares

Hemos visto que el valor de la razón entre el área del interpoli y su correspondiente polígono es de 0.25 en los triángulos y 0.5 en los cuadrados. También sabemos que para polígonos con más lados esa razón no se mantiene constante.

Pero, como ya habíamos adelantado, por razones de semejanza es evidente que en el caso de los polígonos regulares esa razón deberá conservarse. ¿Cuál es su valor?

Un sencillo boceto de la situación nos permite averiguarlo:

Resultado 10. El valor r(n) de la razón entre el interpoli y el polígono regular de n lados es el cuadrado de la razón entre sus apotemas, o lo que es equivalente, el cuadrado del coseno de 180º/n.

Casos particulares: r(3)=1/4, r(4)=1/2, r(5) es el cuadrado de la mitad de la razón áurea, r(6)=3/4.

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Polígonos cuerdos (conservan la razón)

Habíamos definido bisección como una serie de dos secciones planas sucesivas de los dos prismas triangulares que componen un prisma cuadrado. Podemos extender esta definición a prismas con más caras. Así, entendemos una polisección como una serie de secciones sucesivas de los prismas triangulares que componen un prisma de base regular, de forma que el corte resultante esté compuesto de varios triángulos, no necesariamente coplanarios, cada uno con un lado común con el siguiente.

Ya disponemos de los resultados suficientes para responder a la cuestión planteada: ¿qué limitaciones debe tener un polígono para que la razón entre su interpoli y él se mantenga constante al desplazar sus vértices?

Resultado 11. La única forma de mantener constante la razón entre el interpoli de un polígono y el propio polígono al cambiar de posición un vértice es que en ambas posiciones los triángulos que componen cada polígono sean los mismos que los que componen una polisección de un prisma de base regular. El valor de esa constante es r(n).

Cuando el polígono es un triángulo o un cuadrilátero, ya lo hemos demostrado (resultados 3 y 9). Observemos que en el caso de los cuadriláteros el prisma regular correspondiente puede ser distinto entre una posición y otra.

Ahora bien, podemos considerar un pentágono como un cuadrilátero al que se le ha anexado un triángulo.

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Al mover un vértice no variamos la proporción existente entre las áreas con respecto al polígono regular más que en el triángulo anexado. Ahora basta aplicar el resultado 4.

Cualquier polígono de más lados se puede descomponer de igual forma, pues sólo un vértice se ve afectado en cada momento.

Los interpolis sólo son un caso particular

Todo lo expuesto continúa siendo válido si generalizamos la definición de interpoli. Habíamos denominado así al polígono resultante de unir los puntos medios de los lados de otro.

Los vértices del interpoli dividen, por tanto, a cada lado en dos partes iguales, es decir, en razón 1/2.

Llamando k-poli al polígono cuyos vértices dividen cada lado del polígono original en una proporción k cualquiera, el interpoli pasa a ser un 0.5-poli. Supondremos que k varía entre 0 y 1, pero podría ser incluso mayor que la unidad (aunque en este caso tendríamos que considerar como “agujero” al polígono original).

Pues bien, si observamos todas las construcciones anteriores, basadas, en última instancia, en el teorema de Tales, caeremos en la cuenta de que en ningún momento se empleó el hecho de que cada lado se dividía exactamente en dos partes iguales, sino que se dividía en cierta proporción (que casualmente coincidía con 1/2).

Evidentemente, lo que sí varía es el valor en función de n y k de la razón entre el k-poli y el polígono:

Resultado 12. El valor r(n, k) de la razón entre un k-poli de un polígono regular es el cuadrado de la razón entre sus apotemas, o lo que es equivalente:

ecuación

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Conclusión

Tomemos un polígono cualquiera P de n lados y construyamos otro P’ con los vértices sobre sus lados (o incluso la prolongación de los mismos) de forma que cada nuevo vértice divida a cada lado en la misma proporción k.

Si el polígono P tiene más de cuatro lados, la razón entre las áreas de ambos, P’/P, normalmente variará al mover los vértices de P.

Sin embargo, esto no ocurrirá si tanto en la posición inicial como en la final los triángulos de los que se compone P se pueden obtener cortando transversalmente cada uno de los prismas triangulares que componen un prisma de base regular. El valor de esa constante es r(n, k).

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