6. (Marzo 2008) Melodías Moduladas
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6. (Marzo 2008) Melodías Moduladas
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Escrito por Rafael Losada   
Sábado 01 de Marzo de 2008

Un día especial

El 12 de mayo, Día Escolar de las Matemáticas y víspera de martes 13, se dedica este año a la relación entre Música y Matemáticas, eje central de esta sección de Divulgamat. Uno de los pilares de esa relación lo representa el sistema de escalas musicales y su conexión con la afinación, tema que se puede ver desarrollado en el artículo de Vicente Liem con el que se inauguró esta sección.

Como dedicatoria al Día Escolar de las Matemáticas, comenzaremos hablando de días especiales y, siguiendo el hilo, retomaremos las escalas musicales desde un punto de vista ligeramente distinto.

Querida Alicia

  • Me la dieron -continuó diciendo Humpty Dumpty con mucha prosopopeya, cruzando una pierna sobre la otra y luego ambas manos por encima de la rodilla- me la dieron... como regalo de no-cumpleaños. (Lewis Carroll, A través del espejo y lo que Alicia encontró al otro lado.)

El más básico sistema de clasificación es el que atiende a opuestos o complementarios: positivo o negativo, cara o cruz, par o impar, sonido o silencio, ser o no ser.

Estas dicotomías toman frecuentemente la forma de criterios con los que dilucidar rápidamente algunas cuestiones. Criterios basados en la paridad son utilizados tanto en matemáticas como en la transmisión codificada de información digital para comprobar la existencia de soluciones o la coherencia de datos. La propia aritmética interna del ordenador es del tipo encendido-apagado.

Estamos ante un caso sencillo de lo que se conoce como clases de equivalencia. Alicia cumple años el mismo día del año, independientemente del año de su vida. Todos estos días tienen, pues, una relación común, llamada relación de equivalencia, que los diferencia de los días de no-cumpleaños.

Para Alicia, los días de cualquier año se separan, bajo esta relación, en dos clases de equivalencia: [cumpleaños] y [no-cumpleaños] (los corchetes denotan que nos referimos a clases).

Sin embargo, estas dos clases no constan de igual número de elementos. Hay muchos más días de no-cumpleaños que días de cumpleaños, así que, como advierte Humpty Dumpty a Alicia, más vale celebrar los primeros que los segundos.

Seven Up

Más interesantes, en un sentido práctico, resultan las clases que reparten por igual los elementos.

Un caso cotidiano -nunca mejor dicho- lo encontramos en las clases llamadas “días de semana”. Arbitrariamente, se elige un día y se le hace corresponder el número 1. Lo denominamos “lunes“, según la norma actual, si bien en sus orígenes hebreos el primer día no fue lunes sino domingo y correspondería al primer día de la creación, fijado en fecha tan reciente, históricamente hablando, como es el 7 de octubre del año 3761 a.C.

Los días siguientes reciben nuevos nombres, hasta el séptimo, “domingo“. A partir de ahí, la secuencia se repite, de forma que el octavo día vuelve a ser “lunes“, el noveno “martes”, etc. Llamamos semana al tiempo que separa (distancia temporal) un día del siguiente del mismo nombre, es decir, de la misma clase. También usamos aquel mismo nombre, semana, para el intervalo de días correspondiente a esa distancia temporal.

Por ejemplo, si hoy es miércoles decimos que para el próximo miércoles falta una semana. Pero también llamamos semana al intervalo que abarca el miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo, lunes y martes, es decir, a la serie de días comprendidos entre dos miércoles consecutivos.

¿Por qué se convino en repetir la secuencia precisamente cada siete días? Seguramente porque cada siete días la luna cambia de fase (llena, menguante, nueva y creciente), por lo que desde tiempos prehistóricos basta su observación para determinar el tiempo transcurrido entre dos acontecimientos alejados algunos días, lo que resulta mucho más práctico que llevar cuenta de los amaneceres.

Si deseamos distinguir un lunes de otro hace falta señalar la semana correspondiente. La forma más sencilla de conseguirlo es numerándolas. A la primera semana, ya sea la supuesta de la creación o cualquier otra semana que convengamos como inicial, le asignaremos el número 0, y a las sucesivas semanas 1, 2, 3, etc. Estos números se mostrarán como subíndices del día de la semana. Por ejemplo, M5 indica el martes de la quinta semana a partir de la inicial (que hemos denotado como semana 0).

En suma, tenemos que las semanas, consideradas como intervalos, abarcan los días de lunes a domingo:

semana 0 (inicial) = {L0, M0, X0, J0, V0, S0, D0} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
semana 1 = {L1, M1, X1, J1, V1, S1, D1} = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}

que los días de la semana son las clases:

[lunes] = {L0, L1, L2, L3, L4, L5...} = {1, 8, 15, 22, 29, 36...}
[martes] = {M0, M1, M2, M3, M4, M5...} = {2, 9, 16, 23, 30, 37...}
...

y también que usamos la palabra semana para la diferencia de siete unidades-día entre dos días consecutivos del mismo nombre:

semana = Ln – Ln-1 = Mn – Mn-1 =... = 7

De oca a oca

Una progresión aritmética es una sucesión -de números- en donde, a partir de un número inicial, la diferencia entre cada término y el anterior siempre es constante (esta constante se denomina, precisamente, diferencia). Por ejemplo, los números impares {1, 3, 5, 7...} forman una progresión  aritmética de primer término 1 y diferencia 2.

Observamos entonces que cada elemento de la clase [martes] forma parte de una progresión aritmética cuyo primer término, el martes de la semana inicial (M0), corresponde al día 2 y cuya diferencia es 7.

El término general, es decir, el número correspondiente al martes de la enésima semana (sin contar la inicial), será:

Mn = M0 + 7n

donde n es cualquier número natural. La expresión anterior sintetiza cada uno de los elementos de la clase [martes]. Por supuesto, esta expresión se puede aplicar a cualquier otro día. Al viernes, por ejemplo:

Vn = V0 + 7n

Congruencias modulares

Analicemos ahora cómo efectuamos los cálculos para averiguar qué día de la semana caerá un día determinado a partir de hoy.

Para ello no emplearemos la notación introducida por Gauss en su obra cumbre, Disquisiciones aritméticas (1801), referencia obligatoria en la Teoría de Números, sino una muy similar –derivada de aquella- que actualmente se utiliza en los programas informáticos.

Carl Friedrich Gauss
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855). Caricatura de la exposición El rostro humano de las Matemáticas.

Como los días de la semana vuelven a repetirse cada 7 días, es decir, vuelven a ser de la misma clase, sumar 7 y no sumar nada viene a ser lo mismo a efectos de cálculo:

7 (mod7) = 0

La expresión anterior se lee “7 módulo 7 es igual a 0”, y significa que el resto del número 7 al ser dividido por 7 es 0.

Una consecuencia de ese resultado es la siguiente igualdad:

L + 7 (mod7) = L (mod7) = 1

Es decir, el resultado de sumar 7 días a un lunes cualquiera vuelve a dar lunes. A este tipo de operaciones se le conoce como aritmética modular. Como los restos posibles de dividir cualquier número entre 7 son 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, el resultado de aplicar a una expresión cualquiera el módulo 7 arrojará como resultado uno de estos números.

Resumiendo, decir que “L+7 es igual que L módulo 7” simplemente significa que ambos días, L+7 y L, pertenecen a la misma clase de equivalencia [lunes] (llamada clase de congruencia en la aritmética modular), y por lo tanto los números correspondientes a esos lunes arrojan el mismo resto 1 al ser ambos divididos por 7.

Sigamos con los cálculos. Observamos que:

L + 14 (mod7) = 1

pues añadir 14 días equivale a sumar dos semanas enteras.

De igual forma, para cualquier número natural n:

L + 7n (mod7) = 1

pues hemos sumado n semanas enteras, por lo que todos ellos son elementos de la misma clase [lunes].

Por otra parte, tenemos que:

L + 8 (mod7) ≡ L+ 1 (mod7) = M (mod7) = 2

pues 8 = 1 + 7, por lo que al sumar 8 y al sumar 1 se obtienen elementos de la misma clase (en este caso, [martes]).

En general, como cada siete días la cuenta vuelve a cero, sumar N días a un día de semana particular equivale a sumar el resto de dividir N entre 7, es decir, sumar N (mod 7), tal como indica la siguiente tabla:

Días añadidos
L
M
X
J
V
S
D
7n
L
M
X
J
V
S
D
7n + 1
M
X
J
V
S
D
L
7n + 2
X
J
V
S
D
L
M
7n + 3
J
V
S
D
L
M
X
7n + 4
V
S
D
L
M
X
J
7n + 5
S
D
L
M
X
J
V
7n + 6
D
L
M
X
J
V
S

Es importante señalar aquí, para nuestros propósitos, que la aritmética modular se puede aplicar con éxito tanto a los días de la misma clase como de diferentes clases porque todos ellos guardan la misma distancia entre sí: entre el lunes y el miércoles de una semana determinada hay la misma distancia que entre el miércoles y el viernes.

El año sin martes 13

Veamos cómo el empleo de la aritmética modular nos permite resolver rápidamente esta cuestión: ¿es posible un año de nuestro calendario actual en donde no coincida ningún agresivo martes con un nefasto 13?

Ya sabemos que no es el caso de este año 2008, pues el día siguiente al Día Escolar de las Matemáticas es el 13 de mayo, martes. Pero, ¿habrá algún año que se libre de esta coincidencia?

Para averiguarlo, tomemos la semana del 13 de enero de ese supuesto año como semana inicial y llamemos C al cardinal o número correspondiente al día de la semana de ese 13 de enero. Así, el número C puede variar entre 1 y 7, es decir, entre lunes y domingo.

Como enero tiene 31 días, lo que ofrece resto 3 al dividirlo por 7, el día de semana correspondiente al 13 de febrero será igual C+3, módulo 7:

C + 31 (mod7) = C + 3 (mod7)

Hagamos lo mismo con los distintos meses. Ya que su número de días, de enero a noviembre, sigue la secuencia {31, 28 (29), 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30}, añadidos al número C y quedándonos con el resto de dividir entre 7, obtenemos:

Tipo de año Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.
365 días C C+3 C+3 C+6 C+1 C+4 C+6 C+2 C+5 C C+3 C+5
Bisiesto C C+3 C+4 C C+2 C+5 C C+3 C+6 C+1 C+4 C+6

Por ejemplo, en este año bisiesto 2008 los días de la semana correspondientes al 13 son:

Año Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.
2008
D
X
J
D
M
V
D
X
S
L
J
S

Ordenando los días de la semana entre C y C+6, como muestra la siguiente tabla, observamos que cada uno aparece al menos una vez. Esto significa que independientemente del valor de C, el día 13 cae al menos una vez en cada uno de los días de la semana. Luego es imposible que exista un año en el que ningún 13 caiga en martes. Lo sentimos por los supersticiosos.

Día de semana
del 13
Frecuencia
(año de 365 días)
Frecuencia
(año bisiesto)
C
2
3
C + 1
1
1
C + 2
1
1
C + 3
3
2
C + 4
1
2
C + 5
2
1
C + 6
2
2

Es más, gracias a esta tabla de frecuencias también podemos predecir cuáles son los fatídicos años en donde hasta tres veces el día 13 coincide en martes: son los años no bisiestos en donde el 13 de enero (C) corresponde a sábado (y por lo tanto C+3 a martes) y los años bisiestos en donde el 13 de enero cae en martes. Eso fue lo que sucedió en el 2007 y, afortunadamente, no volverá a suceder hasta el año 2018.

Mientras tanto, vamos a ver qué tiene que ver todo esto con la música.

La Octava

Si emitimos un sonido -Sonido 1- a cierta frecuencia (es decir, con cierta agudeza o gravedad) y lo volvemos a emitir a doble frecuencia -Sonido 2- obtenemos un sonido más agudo que el primero. Sin embargo, percibimos cierta similitud entre ambos sonidos. Más aún, escuchados simultáneamente, comprobamos que se “acoplan” bien, de forma agradable, con consonancia.

Existe una causa física para este “perfecto acople”. Generalmente, al vibrar, un objeto no emite una única frecuencia fundamental F, sino que además emite otros sonidos parciales, de menor intensidad, que en muchos casos son armónicos, es decir, sonidos cuya frecuencia es un múltiplo de la fundamental. Este fenómeno ya se ha analizado en el artículo Análisis Armónico.

Lo que percibimos como “similitud” no es más que la coincidencia de frecuencias entre todos los armónicos, incluido el primero o fundamental, del Sonido 2 con los armónicos pares del Sonido 1, como podemos ver en la siguiente tabla (en color naranja, las frecuencias fundamentales de cada uno):

Sonido 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F
Sonido 2 2 F 4 F 6 F 8 F 10 F 12 F

A la distancia (entendiendo como tal la razón o proporción entre frecuencias, en este caso 2:1) de ambos sonidos le llamamos octava. El motivo de este nombre se verá más adelante. Por otra parte, también se conoce como octava al intervalo de frecuencias entre dos sonidos separados por esa distancia.

Lá, la-la lá

Veamos un ejemplo. La frecuencia que se toma como referencia para afinar un piano es la de 440 Hz, correspondiente a una nota La. Tomando esta frecuencia como Sonido 1, decimos que el Sonido 2 de 880 Hz está una octava por encima porque la razón de sus frecuencias es 2:1.

¿Cómo llamaremos al nuevo sonido de 880 Hz? Pues exactamente igual que al que está una octava por debajo: La. Pero, ¿por qué? ¿No es liar las cosas llamarle igual a dos sonidos diferentes?

El origen de conservar el mismo nombre reside en la diferencia de altura (percepción de la frecuencia) entre las voces humanas (y muchos instrumentos). Las hay más agudas y las hay más graves. Las de los hombres suelen ser más graves que las de las mujeres. Si varias personas cantan la misma melodía “Do-Sol-Fa” cada una lo hará con distinta frecuencia, pero aún así reconocemos en cada una de esas voces los mismos intervalos (de Do a Sol y de Sol a Fa), independientemente de la octava, por lo que nos parece que cantan “lo mismo”. Es decir, el oído atiende más a las distancias entre frecuencias que a las propias frecuencias, siempre que exista consonancia entre los armónicos (siempre que armonicen).

Como vemos, la situación es muy similar a la de los días de la semana. El domingo 20 no es el mismo día que el domingo 27, pero su distancia al resto de los días de la semana permanece invariable. A cada domingo le sucede, desgraciadamente, un lunes.

En música, se llama [La] a la clase de equivalencia formada por la frecuencia 440 Hz y todos sus múltiplos y submúltiplos, no necesariamente enteros, obtenidos al multiplicar o dividir esa frecuencia por una potencia de 2. Así, si deseamos determinar la frecuencia de una nota musical no basta con saber su nombre (Do, La, Mi...) sino que además debemos señalar la octava correspondiente.

Ya habíamos visto que para determinar un día del año no basta decir si es lunes o jueves, se debe especificar la semana. Igualmente, necesitamos numerar las octavas para poder concretar el sonido de una nota.

Por un convenio establecido en función de la capacidad de percepción sonora del oído humano, la octava 4 corresponde al intervalo que incluye a la nota La de 440 Hz, La4, mientras que la nota La de 880 Hz, denotada como La5, corresponde a la octava 5. En la siguiente imagen las teclas del piano correspondientes a La4 y La5, normalmente blancas, aparecen ahora en rojo:

Teclas del piano

En la siguiente tabla se puede ver la correspondencia entre cada octava de un piano y la frecuencia de la nota La dentro de ella (al menos teóricamente, pues en la práctica se reajustan las frecuencias a medida que se alejan del La4 buscando un sonido más acorde con la percepción esperada por el oído):

Número de octava
0
1
2
3
4
5
6
7
Frecuencia de La (Hz)
27,5
55
110
220
440
880
1.760
3.520

El oído humano puede percibir un rango mayor de frecuencias, desde los 16 ó 20 Hz hasta los 16.000 ó 20.000 Hz, es decir, casi diez octavas. No obstante, a partir de unos 4.000 Hz los sonidos se perciben demasiado agudos tanto para resultar agradables como para diferenciar con precisión su altura.

Doble o nada

Una progresión geométrica es una sucesión de números en donde, a partir de un número inicial,  la razón entre cada término y el anterior siempre es constante (esta constante se denomina, precisamente, razón).

En la tabla anterior se observa que cada frecuencia se duplica entre una octava y la siguiente, lo cual es evidente por la propia definición de octava.

Esta secuencia abarca los primeros términos de una progresión geométrica cuyo primer término, La0, corresponde 27,5 Hz y cuya razón es 2.

El término general, es decir, la frecuencia correspondiente a la nota La de una octava cualquiera a partir de la inicial, se puede expresar entonces como:

Lan = La0 · 2n

La expresión anterior sintetiza cada uno de los elementos de la clase [La]. Por supuesto, esta relación se puede generalizar a cualquier otra nota. Por ejemplo:

Don = Do0 · 2n

Teclas blancas: incongruencias módulo 7

Volvamos al piano, con sus 52 teclas blancas (del total de 88 teclas):

Teclas

Observamos que cada octava, entre la 1 y la 7, comprende siete teclas blancas que, de izquierda a derecha, corresponden a las notas Do, Re, Mi, Fa, Sol, La y Si.

Podemos comprobar la gran similitud entre las definiciones de octava y nota con las ya mencionadas de semana y día de semana:

semana 1 = {L1, M1, X1, J1, V1, S1, D1}
octava 1 = {Do1, Re1, Mi1, Fa1, Sol1, La1, Si1}

[viernes] = {V0, V1, V2, V3, V4, V5...} = {5, 12, 19, 26, 33, 40...}
[La] = {La0, La1, La2, La3, La4, La5...} = {27.5, 55, 110, 220, 440, 880...}

¿Estamos entonces ante la misma situación que los siete días de la semana, correspondiendo Do al lunes y Si al domingo? No exactamente, por desgracia.

La diferencia fundamental reside en que la distancia de un lunes al día siguiente, martes (más precisamente, la distancia entre el comienzo de ambos días), es de un día, la misma que hay entre un miércoles y su consecutivo jueves. Sin embargo, la “distancia sonora” (razón entre frecuencias) entre el Do y el Re es mayor que entre el Mi y el Fa.

Pero, ¡esto es un gran problema! Si las distancias no son iguales, los cálculos con aritmética modular se vienen abajo, pues sólo son practicables con notas del mismo nombre (separadas un número entero de octavas). Así que... ¡es preciso modular la escala!

El ciclo de quintas

El origen de este problema se remonta al nacimiento de esas notas, cuyos intervalos o distancias fueron establecidas por los pitagóricos. En esencia, los pitagóricos aplicaron sistemáticamente dos intervalos fijos, la octava y la quinta, para obtener los demás, aparte de la cuarta (ver el artículo de Vicente Liem ya mencionado). Los intervalos resultantes resultaron simples, pero desiguales, dando lugar a la popular escala diatónica: Do, Re, Mi...

La quinta es el intervalo que separa la altura de sonidos cuyas frecuencias están en proporción 3:2.

Así, partiendo del La4, y subiendo cada vez una quinta, se obtienen las siguientes frecuencias:

Número de quintas aplicadas
0
1
2
3
4
Frecuencia (Hz)
440
660
990
1.485
2.227,5

Ejemplificaremos ahora el método seguido por los pitagóricos para construir la escala diatónica. Los pitagóricos se dieron cuenta que había cierta relación entre la longitud de una cuerda y el sonido que producía. Hoy sabemos que esa relación se basa en que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud.

Empezamos con una frecuencia determinada (correspondiente a la frecuencia fundamental de vibración de una cuerda de longitud dada). Supondremos, para mayor claridad, que esa frecuencia F es justamente la del Do central del piano: Do4. Sigamos los siguientes pasos:

  • Do4 = F (unísono).
  • Dividiendo la cuerda en dos partes iguales (no hace falta cortarla, basta sujetarla), se obtiene una cuerda la mitad de larga que, al ser pulsada, emite una frecuencia fundamental exactamente el doble que la anterior: Do5 = 2 F. Ya tenemos el intervalo de octava (en griego, diapasón), que es el intervalo que queremos dividir en intervalos menores.
  • Dividiendo la cuerda original en tres partes iguales, la cuerda de longitud 2/3 emite una frecuencia fundamental exactamente 3/2 de veces la original: Sol4 = 3/2 F. Este es el intervalo de quinta (en griego, diapente).
  • Dividiendo la cuerda original en cuatro partes iguales, la cuerda de longitud 3/4 emite una frecuencia fundamental exactamente 4/3 de veces la original: Fa4 = 4/3 F. Este es el intervalo de cuarta (en griego, diatesaron).

Observemos que las notas creadas guardan gran consonancia entre sí (entre paréntesis se señala el número del armónico correspondiente):

Unísono: Do4
F
(1)
2 F
(2)
3 F
(3)
4 F
(4)
5 F
(5)
6 F
(6)
7 F
(7)
8 F
(8)
9 F
(9)
10 F
(10)
11 F
(11)
12 F
(12)
Octava: Do5
2 F
(1)
4 F
(2)
6 F
(3)
8 F
(4)
10 F
(5)
12 F
(6)
Quinta: Sol4
3/2F
(1)
3 F
(2)
6 F
(4)
9 F
(6)
12 F
(8)
Cuarta: Fa4
4/3F
(1)
4 F
(3)
8 F
(6)
12 F
(9)

Ahora proseguimos con el método conocido como ciclo de quintas:

  • Subiendo una quinta a partir de la quinta, es decir, tomando 4/9 de la longitud de la cuerda obtenemos la nota Re5 = 9/4 F. Como hemos sobrepasado la octava, nos quedamos con el doble de esa longitud, y por tanto la mitad de frecuencia: Re4 = 9/8 F. Este es el intervalo de segunda.
  • Subiendo de nuevo una quinta, es decir, tomando 2/3 de 8/9 de la longitud original, obtenemos una nueva longitud de cuerda cuya frecuencia corresponde a La4 = 27/16 F. Este es el intervalo de sexta.
  • Subiendo otra quinta a partir de la anterior obtenemos Mi5 = 81/32 F. Como nos volvemos a pasar de octava, duplicamos la cuerda para obtener la mitad de frecuencia: Mi4 = 81/64 F. Este es el intervalo de tercera.
  • Por último, subiendo otra quinta más a partir de la anterior obtenemos Si4 = 243/128 F. Este es el intervalo de séptima.

Veamos como quedaron las frecuencias, tomando F como unidad:

Nota
Do
Re
Mi
Fa
Sol
La
Si
Do
Frecuencia
1
9
8
81
64
4
3
2
3
27
16
243
128
2
Factor de
incremento
9
8
9
8
256
243
9
8
9
8
9
8
256
243

Pulsa en el siguiente enlace para ver el proceso seguido, paso a paso: construcción de la escala.

El nombre de la Octava

Ahora ya podemos conocer la procedencia de este nombre. Corresponde al número de notas que marcan la escala diatónica. Como hay 7 intervalos (5 de tono y 2 de hemitono), el número total de notas necesarias para definirlos es ocho. Por ejemplo: Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si-Do. Así, si la primera nota es un Do, la “octava” nota también lo es.

Por ejemplo, si tocamos un Re, decimos que para el próximo Re falta una octava. Pero también llamamos octava al intervalo que abarca el Re, Mi, Fa, Sol, La, Si y Do, es decir, a la serie de notas comprendidas entre dos Re consecutivos.

Escala, modo y tonalidad

Podemos imaginar una escala musical como la distribución de peldaños, no necesariamente de la misma altura, en una escalera. Esta distribución es periódica, cualquier tramo con un número predeterminado de peldaños se repite a lo largo de la escalera. Los protagonistas de Sonrisas y Lágrimas juegan con esta analogía al final de la famosa escena de la canción Do-Re-Mi.

En la escala diatónica, este número predeterminado es de 7 peldaños. Si empezamos en la nota Do, estos 7 peldaños son: el que va de Do a Re, de Re a Mi, etc., hasta el último que une Si con el Do correspondiente al siguiente tramo.

El problema es que, como hemos visto, la altura de estos peldaños en la escala diatónica no es siempre igual. Hay peldaños “altos” como el que va de Do a Re, y peldaños “bajos”, como el que va de Mi a Si. A la altura del peldaño alto se le llama tono (T = 9/8) y a la del peldaño bajo hemitono (h = 256/243).

Por ejemplo, a partir de un Do, resulta que las sucesivas distancias o “subidas” son las que muestra la siguiente tabla:

Nota
Do
Re
Mi
Fa
Sol
La
Si
Do
Subida
T
T
h
T
T
T
h

Toda la escalera seguirá entonces el patrón:

...T h T T h T T T h T T h T T T h T T h T T T h T T h T T ...

¿Y por qué partir de Do? Podemos elegir otro peldaño de partida para establecer otro tramo periódico. Por ejemplo, partiendo de La obtenemos la misma escala (escalera):

Nota
La
Si
Do
Re
Mi
Fa
Sol
La
Subida
T
h
T
T
h
T
T

Como se ve, la distribución de los peldaños en el tramo ha cambiado, pero la distribución de toda la escalera permanece invariable.

Podemos obtener distintos tramos, pero en esencia la escala no varía. A cada uno de estos tramos-patrón se le conoce como modo, y a su primera nota tónica. Los dos modos anteriormente representados son los modos principales usados en la música occidental. La información conjunta de la tónica y el modo se denomina tonalidad.

Así, a la secuencia T T h T T T h se le conoce como modo Mayor, y a la tonalidad que sigue esa secuencia comenzando en Do se le llama “Do mayor”.

Análogamente, la serie T h T T h T T se denomina modo Menor, y la tonalidad que sigue esa pauta empezando en  La se llama “La menor”.

Pulsa en los siguientes enlaces para oír ambos modos y sendas composiciones basadas en ellos:

Modo
Ejemplos
Mayor: T T h T T T h
Menor: T h T T h T T

El siguiente gráfico muestra la distribución periódica de la escala diatónica. Para establecer una tonalidad basta elegir una nota inicial (tónica) y seguir el sentido señalado.

Gráfico

La escala cromática

Pero, ¿qué sucede si elegimos la tonalidad Do menor? Es decir, empezar en Do pero siguiendo la pauta:

T h T T h T T

marcada por el modo menor. La respuesta fácil sería: “no se puede” y ya está. Pero esta respuesta no es satisfactoria, pues el motivo de la pregunta no es caprichoso.

Podemos imaginar una melodía como una serie de instrucciones para subir o bajar los peldaños de la escala-escalera, al estilo “sube 1, después baja 3 y vuelve a subir 4”. Tal como están las cosas, si dos personas quieren cantar a la vez la misma melodía, sólo se ajustarán sus voces si la diferencia de altura entre ambas es exactamente un número entero de octavas. Lo mismo pasará con los diferentes instrumentos.

Por ejemplo, si una persona comienza a cantar en Do y sube un peldaño se encuentra en Re, mientras que otra que suba la misma altura comenzando en Mi se encontrará en... ¿en dónde? Según el gráfico, en un punto intermedio entre Fa y Sol, que no corresponde con ninguna nota de la escala diatónica.

Hace falta añadir nuevas notas intermedias o, como se dice en Música, añadir color. Según el gráfico necesitamos notas entre cada dos separadas por un tono. Estas nuevas notas, cinco en total, reciben el nombre de alteraciones. Por ejemplo, podemos considerar la nueva nota entre Re y Mi como una alteración del Re (Re sostenido, Re#), aumentando un hemitono la frecuencia del Re, o una alteración del Mi (Mi bemol, Mi♭), disminuyendo un hemitono su frecuencia:

Tónica
Modo
Tonalidad
Do
Mayor
Tonalidad
Do
Menor

La escala así obtenida, con más color, se denomina escala cromática. Como ahora hay doce notas posibles que puedan elegirse como iniciales (tónicas), existirán 12 tonalidades diferentes en modo mayor y otras 12 tonalidades diferentes en modo menor.

Escala cromática

Pero observamos que el problema está resuelto a medias. Hemos creado las cinco nuevas notas, en un proceso conocido como transposición, disminuyendo un hemitono las notas Re, Mi, Sol, La y Si, por lo que los intervalos rojos y azules coinciden en medida. Sin embargo, no son exactamente iguales a los intervalos verdes. El factor de incremento del hemitono es de 28/35, mientras que el de cada intervalo verde es de 37/211. Ambas fracciones no son equivalentes. Dicho de otra forma, Re sostenido (Re aumentado un hemitono) no coincide con Mi bemol (Mi disminuido un hemitono).

Para que ambas notas alteradas coincidiesen, es decir, para que las anteriores fracciones fuesen equivalentes, la fracción 312/219 =1,0136... debería ser exactamente la unidad. O, si se prefiere, 12 quintas (312/212) deberían coincidir con 7 octavas (27).

Este pequeño desajuste, conocido como “coma pitagórica”, ha sido motivo de preocupación e investigación durante siglos. El problema es que este desajuste, aunque ligero, es acumulativo, es decir, a medida que nos alejamos de la tónica, desplazándonos entre distintas octavas, el desajuste entre los intervalos se hace más evidente al oído.

Melodías moduladas

Decíamos que podemos imaginar una melodía como una serie de instrucciones para subir o bajar los peldaños de la escala-escalera, tipo “sube 2, baja 5 y sube 6”. Para que la altura alcanzada en cada paso al seguir estas instrucciones, medida desde el peldaño de partida (tónica), no dependa del peldaño inicial (no dependa de la tonalidad), todos los peldaños deberían tener la misma altura.

Pero ya hemos visto que en la escala cromática esto no se cumple. La distancia entre Mi bemol y Fa, por ejemplo, no alcanza el tono entero. El tono corresponde a una razón de 9:8, mientras que el hemitono equivalía a la razón 256:243. Aplicar dos hemitonos consecutivos equivale a multiplicar por (256/243)2 que no llega a alcanzar el valor 9/8.

Esto significa que no podemos cambiar de modo, y por tanto de tonalidad, a lo largo de la melodía. Los compositores e intérpretes rechazan esta limitación. Un cambio de tonalidad se denomina modulación y abre las puertas a toda la riqueza de expresión musical, al poder desplazarse sin problemas entre distintas octavas. Además, los instrumentos afinados con una escala modulada podrían interpretar cualquier tonalidad sin reajustar continuamente su afinación (lo que no siempre es posible).

Una posible idea para atajar este problema consiste en considerar otro hemitono auxiliar, la raíz cuadrada de 9/8, para dividir en dos partes semejantes el tono diatónico. De esta forma, el tono de la escala diatónica se mantiene y dos hemitonos auxiliares equivalen exactamente a un tono. Desgraciadamente, esta idea no iguala los peldaños, pues los hemitonos originales no coinciden con estos auxiliares.

Exponencial base 2

Por supuesto, esto no podía quedar así. Para distribuir por igual las notas, se necesita que formen el mismo tipo de progresión que se guardaba entre las octavas: una progresión geométrica. Para ello, los hemitonos deben ser siempre iguales, aunque esto conlleve variar ligeramente las frecuencias de las notas diatónicas (con la consiguiente pérdida de consonancia perfecta que ello supone). Estos nuevos intervalos básicos que buscamos los llamaremos semitonos, de forma que subir dos semitonos debe equivaler a subir un tono.

Observemos la tabla de frecuencias:

Nota
Do
Re♭
Re
Mi
Mi
Fa
Sol♭
Sol
La♭
La
Si♭
Si
Do
Frecuencia
f0
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
f9
f10
f11
f12

Por una parte, entre el primer Do y el segundo Do, separados por una octava, la razón tiene que ser 2:1. Por otra, entre una nota y la anterior tiene que haber la misma razón de frecuencias, el semitono (s) que queremos hallar:

f12 = 2 f0
fn = s fn-1

Iterando sucesivamente la segunda igualdad, para n igual a 12, obtenemos:

f12 = s f11 = s2 f10 = s3 f9 = ... = s12 f0

Lo que, al reunirlo con la primera igualdad, nos permite hallar el valor buscado para el semitono:

s12 f0 = 2 f0 ⇒ s12 = 2 ⇒ s = 12√2

Hemos encontrado que, para permitir la modulación sin problemas, cada semitono debe establecerse en la raíz duodécima de 2.

Juntándolo todo, vemos que las frecuencias siguen la función exponencial:

f(x) = f0 2x/12

donde f0 es la frecuencia inicial y las notas corresponden a valores enteros de x.

Logaritmo base 2

La relación anterior entre la frecuencia de las notas, de tipo funcional, se vuelve más manejable si atendemos sólo al exponente. La forma matemática de conseguirlo es mediante aplicación del logaritmo de la base utilizada, en este caso 2:

log2(f(x)) = log2(f0 2x/12) = log2(f0) + x/12

12 log2(f(x)/f0) = x

Esta nueva relación entre los logaritmos de frecuencias, de tipo lineal, se ajusta además mucho mejor a lo que normalmente percibimos como “distancia de altura sonora” entre dos frecuencias distintas. El oído se comporta realmente como si siguiera esta relación lineal entre la diferencia de logaritmos, pues nuestra percepción de las frecuencias es también de tipo logarítmico. Es decir, percibimos la misma diferencia de altura entre la frecuencia F y la frecuencia 2F que entre esta última y la frecuencia 4F.

Teclas blancas y negras: congruencias módulo 12

La nueva escala obtenida, basada en el semitono “igual”, se denomina escala cromática de temperamento igual, y es la que se utiliza en el piano moderno. Las nuevas notas intermedias obtenidas corresponden a las teclas negras del piano.

Teclas

La tabla de logaritmos de frecuencias, a partir de la primera tecla La0, con frecuencia f0 = 22,5 Hz, muestra la proporcionalidad ya señalada:

Nota
La0
Si0
12 log2(f(x)/f0)
0
1
2
Nota
Do1
Re1
Mi1
Fa1
Sol1
La1
Si1
12 log2(f(x)/f0)
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Nota
Do2
Re2
Mi2
Fa2
Sol2
La2
Si2
12 log2(f(x)/f0)
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Nota
Do3
Re3
Mi3
Fa3
Sol3
La3
Si3
12 log2(f(x)/f0)
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
Nota
Do4
Re4
Mi4
Fa4
Sol4
La4
Si4
12 log2(f(x)/f0)
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Nota
Do5
Re5
Mi5
Fa5
Sol5
La5
Si5
12 log2(f(x)/f0)
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
Nota
Do6
Re6
Mi6
Fa6
Sol6
La6
Si6
12 log2(f(x)/f0)
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
Nota
Do7
Re7
Mi7
Fa7
Sol7
La7
Si7
12 log2(f(x)/f0)
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
Nota
Do8
12 log2(f(x)/f0)
87

Observamos que ahora sí sucede lo mismo que con los días de la semana. Claro que esta semana tiene 12 días en vez de siete:

Lan = La0 + 12n

La tabla de la “suma módulo 12” queda ahora así:

Semitonos
añadidos
La
La#
Si
Do
Do#
Re
Re#
Mi
Fa
Fa#
Sol
Sol#
12n
La
La#
Si
Do
Do#
Re
Re#
Mi
Fa
Fa#
Sol
Sol#
12n + 1
La#
Si
Do
Do#
Re
Re#
Mi
Fa
Fa#
Sol
Sol#
La
12n + 2
Si
Do
Do#
Re
Re#
Mi
Fa
Fa#
Sol
Sol#
La
La#
12n + 3
Do
Do#
Re
Re#
Mi
Fa
Fa#
Sol
Sol#
La
La#
Si
12n + 4
Do#
Re
Re#
Mi
Fa
Fa#
Sol
Sol#
La
La#
Si
Do
12n + 5
Re
Re#
Mi
Fa
Fa#
Sol
Sol#
La
La#
Si
Do
Do#
12n + 6
Re#
Mi
Fa
Fa#
Sol
Sol#
La
La#
Si
Do
Do#
Re
12n + 7
Mi
Fa
Fa#
Sol
Sol#
La
La#
Si
Do
Do#
Re
Re#
12n + 8
Fa
Fa#
Sol
Sol#
La
La#
Si
Do
Do#
Re
Re#
Mi
12n + 9
Fa#
Sol
Sol#
La
La#
Si
Do
Do#
Re
Re#
Mi
Fa
12n + 10
Sol
Sol#
La
La#
Si
Do
Do#
Re
Re#
Mi
Fa
Fa#
12n + 11
Sol#
La
La#
Si
Do
Do#
Re
Re#
Mi
Fa
Fa#
Sol

El reloj musical

Las congruencias módulo 12 que recoge la tabla anterior tal vez resulten familiares. Es el mismo tipo de congruencia que aplicamos al declarar que las 19 horas son las 7 de la tarde. Cada semitono reemplaza a cada hora:

19 (mod12) = 7

Chopin

El compositor polaco Chopin describió la fuga como lógica pura. Era un gran admirador de la obra de Bach. Siguiendo sus pasos, aplicó el principio del contraste, alternando los modos mayor y menor, en su obra 24 preludios (op. 28). Las tonalidades de estos preludios de Chopin siguen el orden:

Do mayor, La menor, Sol mayor, Mi menor, Re mayor...

¿Qué orden es éste?

Reloj 1

Podemos disponer estas 24 tonalidades en un reloj. La parte externa indica el modo mayor y la interna el modo menor. Así expuesto, se ve claramente que Chopin sigue el ciclo de quintas. Es decir, cada nueva tonalidad está 7 semitonos más arriba que la tonalidad anterior del mismo modo. Matemáticamente, esto equivale a sumar 7 (módulo 12) en sentido horario:

Reloj 2

 

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