7. (Mayo 2008) Melodías Desmoduladas
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7. (Mayo 2008) Melodías Desmoduladas
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Escrito por Rafael Losada   
Jueves 01 de Mayo de 2008

En busca de las moléculas musicales

Los músicos, musicólogos y matemáticos fueron paulatinamente percibiendo que detrás de cualquier composición musical existe un orden analizable, ya sea sencillo o complejo, no sólo en la obra como conjunto sino también en sus partes moleculares.

La búsqueda de un sistema “universal” de análisis de ese orden sigue vigente. En el siglo XX destaca un método que permite, en cierta medida, la clasificación y comparación de “moléculas musicales”, que puede aplicarse tanto a composiciones renacentistas como a modernas. Este método, denominado Teoría Musical de Conjuntos, nos sumerge de nuevo en la combinatoria y en la aritmética modular.

Erik Satie
Erik Satie (1866–1925)

Parece encontrarse suficientemente documentado que ya a finales del siglo XIX compositores como Satie, utilizaban métodos sistemáticos de composición. No por ello, curiosamente, son menos emotivas sus -generalmente breves- piezas.

También se puede generar (recuérdese el juego combinatorio de Mozart) música al azar. Si las notas son completamente aleatorias se consigue un pobre resultado ("música blanca"). Pero si se dictan unas normas (unos patrones), los resultados mejoran.

La atonalidad

A finales del siglo XIX se comenzó a cuestionar la base tonal de la música occidental. Hasta entonces, las notas que conformaban una composición formaban una red de órbitas alrededor de un centro gravitatorio que las cohesionaba. Por ejemplo, una obra compuesta en la tonalidad de Si bemol mayor desarrolla esa estructura tonal.

Cuando escuchamos una obra compuesta bajo el sistema tonal, es decir, prácticamente cualquiera entre los siglos XV y XIX, podemos intuir –antes de oírlas- muchas de las notas siguientes a las que escuchamos, especialmente las que cierran las frases melódicas. Esto es consecuencia de la estructura tonal. Nuestro oído espera constantemente un regreso a las cercanías del tono o tonos que sirven de centros gravitatorios, de los cuales el fundamental es la tónica.

A principios del siglo XX los compositores buscan una estructura que evite la presencia de esos centros tonales, de forma que el oyente no pueda anticiparse en ningún momento a la frase musical antes de terminar de oírla. Esta nueva estructura se conoce como atonalidad.

Los adelantados

El uso extremo del cromatismo, es decir, el empleo del semitono más que del tono como base de la composición, reduce considerablemente la percepción de tonalidad. Este recurso ya fue usado por Wagner y Debussy en algunas partes de sus obras.

Richard  Wagner
Richard Wagner (1813–1883)
Claude  Debussy
Claude Debussy (1862–1918)

Otros compositores, como Charles Ives, también lograron reducir, e incluso hacer desaparecer, la influencia de los atractores tonales mediante diversas técnicas.

El musicólogo y matemático Graeser fue el primer teórico de la música que aplicó sistemáticamente "grupos de simetrías" al análisis musical.

Wolfgang Graeser
Wolfgang Graeser (1906–1928)

La Segunda (?) Escuela de Viena

Sin embargo, fue Schönberg el primer compositor en aplicar conscientemente órbitas completas de "grupos de simetrías" a la composición musical. La técnica dodecafónica de Schönberg (hacia 1920) es la primera aplicación sistemática de un método algorítmico de composición. En su obra Pierrot Lunaire, también aparece un fragmento palíndromo.

Arnold  Schönberg
Pierrto  Lunaire
Arnold Schönberg (1874–1951)

Este método o sistema de composición, conocido como serialismo dodecafónico, se basa en asignar el mismo protagonismo a cada uno de los 12 semitonos que componen la octava, independientemente de su altura. Es decir, todas las notas del mismo nombre, como Re bemol, se consideran equivalentes e igualmente importantes.

Anton  Webern
Anton Webern (1883–1945)
Alban Berg
Alban Berg (1885–1935)

La repercusión de este sistema en la música del siglo XX fue enorme. A Schönberg, junto con sus discípulos en Viena, Anton Webern y Alban Berg, se les concedió el nombre colectivo de La Segunda Escuela de Viena, aludiendo, por contraste, al grupo de influyentes compositores (Haydn, Mozart, Beethoven y Schubert) vinculados desde antiguo a esa ciudad, que formarían parte de una supuesta Primera Escuela de Viena que en realidad nunca existió.

Descentralización

La ruptura con la tonalidad coincide, históricamente, con la aparición del cubismo.

Perspectiva monocéntrica
Visión policéntrica
Perspectiva monocéntrica
Visión policéntrica

De la perspectiva monocéntrica se pasa a la visión policéntrica, en donde un objeto aparece desde múltiples puntos de vista. Cada punto del espacio tiene iguales posibilidades de ser centro. Igual ocurre con los semitonos en la dodecafonía: todos juegan el mismo papel.

Pentagramas

Percepción

Junto con la ruptura de la tonalidad, surge una pregunta: ¿somos capaces de aceptar una música sin tono central y sin las usuales pautas (los acordes y sus transformaciones isométricas)? En la imagen se observan las simetrías tonales en el análisis de una obra musical tonal.

Image

En el sistema dodecafónico, las clásicas transformaciones isométricas son ahora reemplazadas por permutaciones simétricas módulo 12. Es decir, para ver las simetrías e inversiones es necesario, previamente, reducir módulo 12.

Veamos un ejemplo. En la parte inferior de la imagen siguiente, aparece una melodía atonal. Su gráfica parece caótica, desmodulada. Sin embargo, una vez realizada la reducción módulo 12, es decir, trasladando todas las notas del mismo nombre a la misma octava, las simetrías vuelven a aparecer, como muestra la parte superior de la imagen.

Image

De esta forma, la simetría estática del sistema tonal clásico es sustituida por una simetría dinámica basada en permutaciones de un sistema secuencial (serial).

Paul Hindemith
Paul Hindemith (1895–1963)

Hindemith ejemplifica cómo las simetrías mantienen su papel principal en su Ludus tonalis, creando un postludio que coincide con el preludio tras un giro de 180 grados.

Ludus tonalis


La Teoría Musical de Conjuntos de Hanson y Forte

Esta teoría, iniciada por Hanson para el análisis de la música tonal y posteriormente desarrollada por Forte para el análisis de la música atonal, contempla la definición de conjuntos de notas susceptibles de organizar la música en torno a ellos y sus distintas manipulaciones.

Howard Hanson
Allen Forte
Howard Hanson (1896–1981)
Allen Forte (1926–)

El análisis de las clases de estos conjuntos es el resultado de los esfuerzos de los teóricos de la música por revelar los sistemas que compositores como Schönberg y sus seguidores usaron para organizar el contenido tonal en sus trabajos.

De la misma forma que los vectores y matrices permiten calcular resultados de movimientos en el plano, los vectores y matrices de Forte permiten calcular resultados de movimientos melódicos o armónicos.

Hay que tener presente que los conjuntos y sus clases, que veremos a continuación, determinan únicamente el contenido tonal; los compositores continúan libres de modificar cualquier otro aspecto musical de acuerdo con sus deseos artísticos.

Calculadora musical

Para la mejor comprensión de los términos empleados, nos serviremos de una calculadora... musical. Se trata de un applet de Java, basado en el original realizado en 1997 por Jay Tomlin, muy útil para ensayar y comprobar los distintos procedimientos que iremos detallando.

Para abrir la calculadora, basta pulsar en la siguiente imagen. Para elegir las notas, o desactivarlas, se pulsa sobre los números del disco (parte inferior izquierda). En el caso de que algún elemento gráfico deje de visualizarse, deberemos pulsar el botón Repintar. En cualquier momento se puede pulsar directamente sobre el teclado para oír el sonido de la nota correspondiente.

Calculadora

Los conjuntos tonales

Un conjunto tonal es simplemente una colección desordenada de entre 12 notas. Las doce únicas notas del teclado (en una octava) son numeradas de 0 a 11, empezando por Do. Por ejemplo, el conjunto tonal de las notas Do, Mi, Sol se puede escribir como (0,4,7).

Número
Nombre Intervalo (desde Do)
0
Do Unísono
1
Do sostenido 2ª menor
2
Re 2ª mayor
3
Re sostenido 3ª menor
4
Mi 3ª mayor
5
Fa 4ª justa
6
Fa sostenido 4ª aumentada o 5ª disminuida
7
Sol 5ª justa
8
Sol sostenido 6ª menor
9
La 6ª mayor
10
La sostenido 7ª menor
11
Si 7ª mayor
12 (= 0 mod12)
Do

Los compositores tratan estos conjuntos con diversos grados de libertad cuando aplican el método a su música atonal. El conjunto (0,1,6) se hizo tan popular entre Schönberg y sus discípulos que ha sido bautizado como El tricorde vienés.

Calculadora. Ejercicio 1

Cuando la calculadora se inicia, el conjunto (0,1,6) es el que aparece por defecto. Para introducir un nuevo conjunto, se puede elegir entre:

A. Pulsar el botón Escala, seleccionar un conjunto predefinido y pulsar OK.
B. Escribir sobre el campo "Conjunto tonal" y presionar la tecla Intro.
C. Introducir el conjunto directamente sobre el disco numérico, con el ratón.

Cuando se escriba un conjunto (opción B) hay que asegurarse de que los números quedan separados por comas. Cualquier número superior a 11 se reducirá automáticamente a su equivalente módulo 12. Los espacios en blanco serán ignorados.

La elección quedará señalada automáticamente sobre el disco de números y sobre el teclado del piano. Para oír el conjunto tonal, basta pulsar el botón Toca que aparece bajo el teclado. Se puede elegir entre escuchar las notas una a una (melodía) o simultáneamente (acorde). En el primer caso, se respetará el orden del conjunto. También se puede usar el botón Rotar para cambiar este orden.

Inversiones

Una melodía es invertida cambiando el sentido de los intervalos. Si el original es una tercera menor, la inversión devolverá una sexta mayor. En la Teoría de Conjuntos, cualquier nota puede ser invertida por sustracción de 12 (la inversión de 1 es 11, la de 2 es 10, etc.; las notas 0 y 6 son inversas de sí mismas).

Observando el disco de números, se aprecia que la inversión de un conjunto produce su imagen reflejada en un espejo. El eje de inversión es la recta que une 0 y 6, así que veremos la inversión como si el original sufriese una reflexión horizontal.

Calculadora. Ejercicio 2

Para invertir el conjunto en la calculadora, se pulsa el botón Invertir. Observemos en el disco de números que el conjunto queda reflejado respecto al original.

También podemos obtener el complementario de un conjunto pulsando sobre el botón del mismo nombre, que cambia el conjunto por uno nuevo en donde figuran todas las notas que no pertenecían al conjunto original.

Intervalos mínimos

Los conjuntos pueden ponerse en intervalo mínimo, que es la forma de ordenar las notas del conjunto de manera que sea la más “compacta”. Esto significa que el mayor de los intervalos entre dos notas consecutivas pase a ser el que separa la primera y última nota. Si observamos el disco de números, el intervalo mínimo representará el recorrido más corto que recorra todas las notas.

El conjunto (2,9,10), por ejemplo, no está escrito como intervalo mínimo porque el intervalo entre 2 y 9 es mayor que el intervalo entre 9 y 10 o entre 10 y 2. Para poner el conjunto (2,9,10) como intervalo mínimo, deberemos escribirlo como (9,10,2). Así, el intervalo más grande quedará "fuera".

Si no existe ningún intervalo mayor que el resto, entonces el intervalo mínimo es la representación del conjunto en la que los intervalos más pequeños queden al principio del conjunto y los mayores al final, o dicho de otra forma, “más compactado a la izquierda”.

Por ejemplo, el intervalo mínimo de (0,4,5,8) es (4,5,8,0).

Calculadora. Ejercicio 3

La calculadora encuentra automáticamente el intervalo mínimo de cada conjunto, como podemos comprobar ensayando con distintos conjuntos.

Formas básicas o clases de conjuntos

Si obtenemos el intervalo mínimo de un conjunto y el intervalo mínimo de su inversión, entonces su forma básica es el conjunto más "compacto" de los dos anteriores, trasladado al 0.

Por ejemplo, consideremos el conjunto (7,8,2,5), que llamaremos A:

  • El intervalo mínimo de A es (2,5,7,8).
  • La inversión de A es (5,4,10,7).
  • El intervalo mínimo de la inversión de A es (4,5,7,10).

Como (4,5,7,10) está más compactado a la izquierda que (2,5,7,8), elegimos (4,5,7,10) y lo trasladamos para que comience en 0. Obtenemos (0,1,3,6) que es la forma básica.

Las representaciones en forma básica también son nombradas como clases de conjuntos. Por ejemplo, los conjuntos tonales (1,2,7), (8,2,3), y (0,11,6) pertenecen a la misma clase de conjuntos (0,1,6).

Aplicación de las formas básicas

La forma básica es una abstracción de las clases de conjuntos que nos ofrece una única imagen de esa colección particular de notas. Si dos conjuntos tienen la misma forma básica podemos asegurar que sonarán parecidos uno al otro.

Los conjuntos con la misma forma básica contienen el mismo número de notas y la misma colección de intervalos entre ellas, así que existe una cierta equivalencia auditiva, de la misma forma que todos los acordes mayores son auditivamente equivalentes en la música tonal.

Calculadora. Ejercicio 4

La calculadora encuentra automáticamente la forma básica de cada conjunto.

Números de Forte

Forte catalogó cada forma básica de conjuntos de 3 a 9 elementos y las ordenó de acuerdo a su contenido de intervalos. Asignó a cada forma básica un código, como "5-35". En este código, el primer número es un índice que indica el número de notas del conjunto, y el segundo número fue asignado por Forte.

Los conjuntos complementarios tienen el mismo número de catálogo en el sistema de clasificación de Forte (por ejemplo, el complementario de 5-35 es 7-35).

Aquí puedes ver una breve lista de algunos números de Forte populares:

Forma Básica
Número de Forte
Tricordio vienés
(0,1,6)
3-5
Tríadas mayor y menor
(0,3,7)
3-11
Escalas mayor y menor
(0,1,3,5,6,8,10)
7-35
Escala octatónica
(0,1,3,4,6,7,9,10)
8-28


Calculadora. Ejercicio 5

La calculadora encuentra automáticamente el número de Forte de cada conjunto. Para ver una lista completa de los números de Forte, pulsemos el botón Escala y elijamos "Números de Forte" como criterio para seleccionar un conjunto predefinido.

Vectores de clases de intervalos

Los intervalos que son inversos uno del otro están en la misma clase de intervalo. (Los intervalos 1 y 11 están en la clase 1; 2 y 10 en la clase 2; 3 y 9 en la clase 3, y así sucesivamente.) Sólo hay 6 clases diferentes de intervalos, desde el 1 al 6. Así, el intervalo entre las notas 2 y 9 es 7 y pertenece a la clase de intervalos 5. Observa que los intervalos no tienen relación con las notas, sino con la distancia entre ellas.

El vector de clase de intervalo es una disposición ordenada de 6 números <i1,i2,i3,i4,i5,i6> correspondientes al número de apariciones de cada clase de intervalo encontradas en un conjunto tonal.

Por ejemplo, consideremos el conjunto (2,3,9). Aparece una vez la clase de intervalo 1 (entre 2 y 3), una vez la clase de intervalo 6 (entre 3 y 9) y una vez la clase de intervalo 5 (entre 2 y 9). Así, el vector de clase de intervalo correspondiente a (2,3,9) es <1,0,0,0,1,1>.

Aplicación de los vectores de clases de intervalos

El vector de clase de intervalo ofrece un resumen del contenido interválico de un conjunto y, por ello, una fiable indicación sobre su sonido.

Calculadora. Ejercicio 6

La calculadora encuentra automáticamente el vector de clase de intervalo de un conjunto.

T(n) y T(n)I

La notación T(n) indica otro conjunto cuyas notas han sido trasladadas n semitonos respecto al original. Por ejemplo, si el conjunto original es (1,2,7), entonces T(3) deberá ser (4,5,10).

La notación T(n)I significa lo mismo, pero con respecto a la inversión del original.

Calculadora. Ejercicio 7

La calculadora encuentra automáticamente T(n) y T(n)I. Para cambiar el valor de n se utiliza la barra vertical a la izquierda de los campos T(n) y T(n)I.

Para trasladar el propio conjunto se utiliza el botón < y el botón >.

Matrices

Cada matriz normal se genera como diferencia (T-matriz) o suma (I-matriz) de un conjunto consigo mismo, elemento a elemento. Por ejemplo, la matriz normal (I-matriz) generada por el conjunto (2,3,9) es:

2
3
9
2
4
5
11
3
5
6
0
9
11
0
6


Aplicación de las matrices

Se puede usar una matriz para determinar si existe o no una inversión de sí mismo, y si es así, dónde. Por “inversión en sí mismo” se entiende la propiedad inherente a algunos conjuntos por la cual existe algún número n tal que T(n)I devuelve el mismo conjunto original.

Para un conjunto con x notas, si existe un número n que aparece exactamente x veces en la matriz, entonces T(n)I contendrá las mismas notas que el conjunto original. Tomemos, por ejemplo, el conjunto (0,1,2,5,9):

0
1
2
5
9
0
0
1
2
5
9
1
1
2
3
6
10
2
2
3
4
7
11
5
5
6
7
10
2
9
9
10
11
2
6

Como (0,1,2,5,9) tiene 5 elementos, buscaremos algún número en el interior de la matriz que aparezca 5 veces. En este caso, sólo aparece uno de estos números: el 2. Esto significa que T(2)I nos devuelve el conjunto original: T(2)I de (0,1,2,5,9) es (2,1,0,9,5). Los compositores y teóricos llaman a esta propiedad combinabilidad.

Calculadora. Ejercicio 8

Para generar la matriz de un conjunto, se pulsa el botón Matrices. Aparecerán nuevos botones que permitirán elegir entre la forma normal de la matriz, o invertir previamente el conjunto original.

Sugerencia: Si un conjunto es combinable, ensayemos a pulsar el botón Rotar las veces suficientes para que un mismo número aparezca en la diagonal secundaria (arriba derecha - abajo izquierda) de la matriz. En el ejemplo anterior, si pulsamos Rotar cuatro veces, esa diagonal aparece cubierta por el número 2.


9
0
1
2
5
9
6
9
10
11
2
0
9
0
1
2
5
1
10
1
2
3
6
2
11
2
3
4
7
5
2
5
6
7
10

 

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