10. (Noviembre 2008) Pequeños Terremotos
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10. (Noviembre 2008) Pequeños Terremotos
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Escrito por Rafael Losada   
Sábado 01 de Noviembre de 2008

Pop art

En la siguiente figura aparecen 30 patrones dispuestos en cinco columnas. ¿Se trata de una obra de arte abstracto? ¿Quizás dibujos ornamentales hallados en tallas, cerámicas o telas de algún pueblo africano? ¿Serán diseños para la moda de la próxima temporada?

Obra

¿Qué decir de estos otros enmarcados en cuadrados, como si fueran baldosas? ¿Tienen el mismo origen que los anteriores? ¿Qué representan, de dónde surgen?

Obra

Estos motivos son tan conocidos entre muchos científicos que incluso existen versiones comerciales con llamativos colores, como esta del físico Eric Heller:

Obra

Olas superpuestas

En el artículo Análisis Armónico comentábamos  el problema de la cuerda vibrante:

Al pulsar la cuerda se produce una onda transversal viajera, como una ola, que recorre la cuerda hasta los extremos, con una cierta amplitud (separación máxima respecto del punto de reposo). Allí, incapaz de continuar su propagación, se refleja. Esto ocasiona que dos ondas reflejadas en los extremos viajen una contra otra hasta superponerse en la cuerda.

La suma de estas dos ondas reflejadas es una onda longitudinal llamada onda estacionaria. Este nombre se debe a que, al superponerse, las ondas reflejadas parecen dejar de propagarse, convirtiéndose en una oscilación de la cuerda. Esta oscilación es la que se propagará al aire.

Cada onda reflejada habrá recorrido dos veces la longitud de la cuerda hasta encontrarse de nuevo en el extremo de partida. Así que la longitud de la onda estacionaria es el doble de la longitud de la cuerda. Ahora bien, al superponerse las dos ondas transversales para formar la onda estacionaria, podrán aparecer puntos (vientres) en donde las dos ondas coincidan en fase, así que la amplitud será el doble. También pueden aparecer puntos (nodos) en donde las ondas se encuentren desfasadas 180º, así que en ellos la amplitud será nula (no se mueven). Estos nodos actúan como extremos fijos de partes de la cuerda, por lo que la vibración de estas partes emitirá un sonido más agudo (con mayor frecuencia).

Si ahora añadimos una dimensión más, pasando de la linealidad de una cuerda a las dos dimensiones de la superficie de una placa, un platillo o una membrana tirante, obtenemos el mismo fenómeno de superposición de ondas transversales. Ahora, sin embargo, los nodos (puntos donde una onda y su reflejo se superponen anulándose) no son puntos aislados sino que forman líneas nodales en donde la placa o membrana no vibra.

El sonido puede verse

Hacia 1787, el alemán Chladni, considerado uno de los pioneros de la física acústica, estudia por primera vez estas líneas nodales.

Ernst Chladni
Ernst Chladni (1756 - 1827)

Con estudios de Derecho, músico aficionado y un entusiasta de la ciencia, Chladni encuentra la ley que lleva su nombre, una relación sencilla entre los modos propios de vibración de una placa. Para ello, se valió de placas sujetas por el centro sobre las que espolvoreaba arena fina. Al hacerlas vibrar con un arco de violín, los patrones de las líneas nodales se hacen visibles, pues sobre esas líneas se acumula la arena rebotada de las otras zonas vibrantes.

Arena rebotada

Arena rebotada

Arena rebotada

De esta forma, cada frecuencia natural de vibración de la placa corresponde con un patrón determinado. Chladni trasladó cuidadosamente al papel cada uno de los patrones que iba encontrando, lo que permitió popularizarlos, mientras se dedicaba a realizar demostraciones ante el fascinado público europeo.

Akustik
Pulsa sobre la imagen para ver el resto

Cuando Chladni repitió este experimento en la Academia de Ciencias de París, en 1808, se oyó una exclamación de asombro: “¡el sonido puede verse!”. Era la voz de Napoleón Bonaparte.

La ley de Chladni relaciona la frecuencia aproximada de la vibración de un platillo circular, de centro fijo, con el número de líneas nodales radiales (m) y no radiales (n):

f = C (m + 2n)2

donde el valor de la constante C sólo depende, en principio, de las propiedades del platillo. Sin embargo, el exponente puede sufrir variaciones en distintos rangos de frecuencias incluso para el mismo platillo, aunque siempre ronda el valor 2. Una expresión más general, del tipo:

f = C (m + bn)c

amplía la relación anterior, para distintos valores de b y c, a platillos circulares no planos como los címbalos, las campanas y las campanillas.

En el caso de placas y membranas circulares sujetas por su borde (tambores y timbales, por ejemplo), los patrones obtenidos se componen de diámetros y circunferencias concéntricas. En la siguiente imagen vemos algunos. Debajo de cada dibujo aparece la frecuencia relativa con respecto a la frecuencia fundamental. Observemos que, al contrario de lo que pasaba con la cuerda vibrante, las sucesivas frecuencias naturales (los sucesivos parciales) no son múltiplos enteros de la fundamental (no son armónicos).

Timbal

Curiosamente, patrones similares aparecen al representar gráficamente la función de probabilidad de los distintos orbitales de los electrones:

Orbitales

La protagonista

Pero la ley de Chladni, además de ser una aproximación, sólo recoge la observación del fenómeno, clasificando las figuras obtenidas, pero no las explica. Napoleón había quedado tan profundamente impresionado por las figuras que mostraban las placas que ofreció una fuerte recompensa por una explicación.

Naturalmente, para encontrar esta explicación será necesario modelizar matemáticamente el fenómeno físico. En 1809, la matemática francesa Sophie Germain comienza a trabajar en el problema, pero no es hasta 1816 cuando, en su tercer intento, consigue ganar el premio otorgado por la Academia Francesa de las Ciencias.

El éxito de Germain se considera mucho más que un premio. Ella había luchado toda su vida por poner su talento por encima de los prejuicios contra su sexo. También es sabido que mantuvo correspondencia y amistad con el príncipe de las matemáticas, Gauss, a quien le protegió, gracias a su influencia con Napoleón, al invadir las fuerzas napoleónicas la ciudad natal de Gauss, Brunswick (cerca de Hannover), por temor a que le ocurriese algo similar a lo que le sucedió a Arquímedes.

En la siguiente imagen podemos ver la caricatura de esta valiente matemática, reproducción de la que aparece en la exposición El rostro humano de las Matemáticas.

Sophie Germain
Sophie Germain (1776 - 1831)

La aceptación de la Academia de los argumentos de Germain, pese a “su condición de mujer”, es un hito más en la lucha de la mujer a lo largo de la historia por ser aceptada como igual en los diferentes sectores intelectuales “reservados para hombres”.

Gong Germain

La ecuación anterior pertenece al trabajo de Germain sobre platillos. En la siguiente imagen, siguiendo el estilo pop, hemos coloreado a nuestro antojo la ilustración que aparece en la página dedicada a ella en “El rostro humano de las matemáticas”.

Germain pop

Resonancia

La placa se puede hacer vibrar por excitación directa, frotándola con un arco o agitándola con algún tipo de sistema mecánico o electromecánico. Pero también podemos conseguir que vibre por resonancia, mediante un emisor de sonidos con suficiente intensidad. Esto suele hacerse colocando un altavoz justo encima o debajo de la placa, como sucede en la siguiente película, en donde la arena ha sido reemplazada por sal.

Placa
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Vibraciones líquidas

Si, en vez de provocar la vibración de una superficie sólida, usamos una fina película líquida colocada sobre una membrana tirante y la exponemos a una intensa iluminación lateral, el resultado puede ser realmente espectacular, como muestran las siguientes fotografías de Alexander Lauterwasser (cuyo apellido resulta ser de lo más apropiado).

Agua
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Los instrumentos de cuerda

Los patrones que hemos visto resultan de gran utilidad para mejorar la calidad en la construcción de violines y otros instrumentos de cuerda al poder comprobar el luthier si se reproducen o no las figuras de Chladni sobre la tapa y la base, corrigiendo cualquier asimetría que pudiera presentarse.

En esta fotografía podemos ver el resultado de un experimento sobre el fondo de la caja de un violín.

Violín

Los siguiente dibujos corresponden a distintos modos naturales de vibración de una guitarra.

Vibración de una guitarra

Laboratorio virtual

Con ayuda de los siguientes applets de Paul Fasltad podemos recrearnos en la visualización (en dos o en tres dimensiones) de los distintos modos de vibración de membranas rectangulares y circulares. Aunque las etiquetas y las instrucciones se encuentran en inglés, basta jugar un poco con el ratón y los deslizadores (lo que recomendamos vivamente) para apreciar el funcionamiento. ¡Incluso podemos oír el sonido correspondiente, activando la casilla Sound!

Resulta particularmente atractiva la opción “Mouse = Poke membrane” (Display 3D), pues con ella basta hacer un clic en la ventana de la membrana para visualizar tanto la onda transversal inicial como sus sucesivos reflejos.

Laboratorio de membranas rectangulares:

Membranas rectangulares
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Laboratorio de membranas circulares:

Membranas circulares
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Figuras de Lissajous

Estas curvas fueron descubiertas y estudiadas por el matemático francés J.A. Lissajous al intentar hacer visible el movimiento vibratorio provocado por el sonido. En el experimento original, Lissajous tomó dos diapasones de distintas frecuencias de vibración y colocó un espejo pequeño sobre cada diapasón. Después colocó el conjunto de forma que un rayo de luz se reflejase, sucesivamente, en ambos espejos antes de proyectarse sobre una pantalla. La imagen que aparece en la pantalla (con apariencia de continuidad, dada la su persistencia en la retina del espectador) es la figura. Estas figuras también se pueden trazar con un armonógrafo simple.

Lissajous
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Armonógrafo simple

Un armonógrafo simple es un aparato que traza figuras, compuesto de dos péndulos. Un péndulo mueve la punta que dibuja a lo largo de una dirección, adelante y atrás. El otro péndulo empuja, al mismo tiempo, la punta a lo largo de una dirección perpendicular a la anterior. Variando la relación de las frecuencias entre ambos péndulos (y la fase en que se encuentra cada uno), se pueden crear multitud de patrones diferentes: circunferencias, elipses, “ochos” y otras figuras de Lissajous.

Armonógrafo
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El fonoautógrafo

El armonógrafo, las curvas de Lissajous y las figuras de Chladni son los precursores de un instrumento actualmente básico en el análisis de ondas: el osciloscopio. Sin embargo, también pueden considerarse como precursores de uno de los grandes inventos de la humanidad: el grabador-reproductor de sonidos.

En 1857, el francés Édouard-Léon Scott de Martinville inventa el primer grabador de sonido: el fonoautógrafo, pretendiendo conseguir una figura gráfica de la voz humana. Para ello, se inspiró en el oído medio: conectó una membrana elástica (un tímpano) a un estilete de forma que la vibración del tímpano se trasladase hasta extremo suelto del estilete que descansaba sobre un cilindro recubierto de papel ahumado. Al girar el cilindro, el estilete iba dejando la huella de las sucesivas vibraciones.

El fonoautógrafo
El fonoautógrafo

Evidentemente el  Fonoautógrafo se  limitó a trazar una gráfica y nunca llegaría a grabar ningún sonido, en el sentido de poder reproducir la grabación, pero quedaban formulados unos principios teóricos que más tarde se retomarían.  Posteriormente, en 1877, Edison inventaría el fonógrafo, el primer grabador-reproductor.

El sonido de otro tiempo

Sin embargo, la tecnología actual nos permite reinterpretar aquellas señales dejadas en el papel ahumado y  oír algunas de aquellas grabaciones en papel realizadas años antes del invento del fonógrafo. Entre ellas destaca la que se considera la primera huella sonora reconocible -aunque francamente, con bastante imaginación- de una voz humana.

NY Times Fonoautógrafo

La grabación, del año 1860, corresponde a una voz de mujer que canta una canción tradicional francesa, Au Clair de la Lune. Este papel con la gráfica de apenas diez segundos de voz humana (aunque no lo parezca y cause más bien escalofríos) fue descubierta en marzo de este año 2008 por un grupo de historiadores en París y convertido nuevamente en sonidos por un laboratorio especializado de California.

 

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