11. (Enero 2009) Como lo oyes
DivulgaMAT
Inicio - DivulgaMAT Facebook - DivulgaMAT Twitter - DivulgaMAT

11. (Enero 2009) Como lo oyes
PDF Imprimir Correo electrónico
Escrito por Rafael Losada   
Jueves 01 de Enero de 2009

La tesitura

La altura de un sonido es la percepción que tenemos de la frecuencia. Esto nos permite clasificar algunos sonidos como agudos y otros como graves.

Cuanto más alta sea la frecuencia de un sonido, más agudo lo percibiremos. Generalmente, las mujeres tienen la voz más aguda que los hombres (esto es, sus cuerdas vocales vibran más rápido). En lenguaje musical se dice que un sonido agudo tiene un tono alto y que uno grave tiene un tono bajo.

Las notas musicales se caracterizan por su altura o frecuencia. En un piano, por ejemplo, a cada tecla le corresponde un sonido diferente de frecuencia. Las teclas que se hallan a la izquierda del pianista corresponden a las notas de frecuencia baja (sonidos graves, tonos bajos), y las de la derecha son las notas de frecuencia elevada (sonidos agudos, tonos altos).

Los instrumentos y los cantantes de música clásica se clasifican de acuerdo con la frecuencia de las notas que son capaces de reproducir. Al conjunto de frecuencias que un instrumento o una voz puede emitir se le llama tesitura.

Pulsando sobre la siguiente imagen podremos oír el rango de frecuencias correspondiente a cada una de las voces. Hay que advertir que sólo son valores medios, pues en cada una de esas voces existen fluctuaciones. Por ejemplo, hay sopranos que pueden cantar con mayor rango de frecuencias o en frecuencias más altas. Además, como veremos, el timbre también es otra cualidad a tener en cuenta. Así, se distinguen entre voces de soprano líricas, ligeras y dramáticas, entre otras.

Tesitura
Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

El timbre

Pero incluso ante dos voces que cantan con la misma frecuencia fundamental, normalmente observamos sin dificultad diferencias, a menudo lo suficientemente grandes para poder identificar cada una sin temor a equivocarnos.

En anteriores artículos habíamos visto que cuando introducimos energía en una cuerda al pulsarla, la energía se reparte entre varios modos naturales de oscilación de la cuerda. La cuerda vibrará en una superposición de todos ellos, sin vibrar en una frecuencia pura. Esta combinación de frecuencias (múltiplos de la fundamental) caracteriza el sonido, de forma que dependiendo del instrumento (violín, guitarra, voz humana, etc.) se obtendrán distintos sonidos con la misma frecuencia fundamental. Esta característica se denomina timbre.

En el artículo Análisis Armónico, podíamos leer:

El sonido fundamental no es el único que emite la cuerda al vibrar. Simultáneamente, se producen otros sonidos (parciales) de menor intensidad. La distribución e intensidad de estos parciales (timbre) diferencian instrumentos o voces que ejecuten la misma nota.

En el caso de los instrumentos de cuerda y viento, las frecuencias de estos parciales son múltiplos de la frecuencia fundamental.

Y en el artículo Geometría Musical (2):

Algunos movimientos son mucho más fáciles de reconocer que otros, debido a nuestra abundante experiencia sobre ellos. El caso más evidente lo tenemos en la traslación en la altura, tan familiar que incluso decimos que el sonido es “el mismo” aunque suena más grave o más agudo. Esto se conoce como “transporte”.

Cualquier frase dicha (o cantada) por voces con distinta altura es un ejemplo cotidiano de transporte. Al transportar se conservan los intervalos entre dos notas consecutivas mientras permanece inalterada la secuencia de los mismos.

No nos cuesta ningún esfuerzo, dada nuestra experiencia cotidiana, reconocer la similitud entre una melodía cualquiera y su transporte a cualquier otra altura. Nosotros mismos, a voluntad, podemos muy fácilmente bajar o subir la altura de nuestra voz sin dejar de entonar la misma canción.

De todo ello, concluimos que por timbre entendemos la distribución de diversos sonidos que, por razones inherentes a la naturaleza de la vibración, forman un conjunto. Este conjunto de sonidos elementales caracteriza a una voz humana o a un instrumento, independientemente de la altura del registro sonoro.

En cierta forma, podemos “fotografiar” el timbre de un sonido. Para ello, basta obtener el espectrograma que nos muestra el conjunto de intensidades de todas las frecuencias producidas por el objeto vibrante según pasa el tiempo. Ese espectrograma viene a ser como una “radiografía” del timbre.

De esta forma, el espectrograma de un instrumento tocando “re” es la traslación, en la altura, del mismo espectrograma tocando en “do”, puesto que la distribución de parciales permanece invariable. Observemos que este es un caso especial de traslación de la altura, así que una línea muy fina separa el timbre de la armonía.

Espectrogramas

Pulsando sobre la siguiente imagen podremos oír la misma secuencia de cuatro notas producidas por ocho instrumentos diferentes. Al oído no le cuesta trabajo ni identificar la secuencia como “la misma” en todos los casos ni decidir que se trata de distintos instrumentos.

Timbre
Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

Veamos ahora los espectrogramas de siete de ellos (prueba de observación: ¿cuál falta?) y del diapasón, en la nota do.

Armónicos
Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

Podemos realizar una serie de observaciones. El espectrograma del diapasón muestra el tono fundamental con toda intensidad, y apenas nada más. Bajo él, el espetrograma del órgano añade algunos armónicos, también muy marcados. A la izquierda del órgano, los tres instrumentos de viento muestran líneas de armónicos bastante definidas, al contrario de lo que sucede con los tres instrumentos de cuerda sobre ellos.

La onda

Otra forma de recoger la información del timbre es mediante la gráfica de la onda sonora, es decir, de la serie de Fourier (ver el artículo Análisis Armónico) correspondiente a la suma baremada, según su intensidad, de todos esos sonidos parciales.

Veamos la onda del diapasón:

Diapasón

Su sencilla forma senoidal refleja la sencillez de su composición. Se trata de prácticamente un único sonido fundamental, sin parciales apreciables.

Comparemos la gráfica anterior con la correspondiente a una trompeta:

Trompeta

La presencia de varios armónicos complica la gráfica, provocando crestas e irregularidades. Veamos ahora la gráfica de un clarinete:

Clarinete

Podemos apreciar que ahora la distribución de armónicos es todavía más compleja. Esa riqueza de matices muestra al clarinete como más próximo a la voz humana, más “cálido” o “íntimo”, bajo nuestra percepción.

Luthiers

En el artículo Prehistoria musical, aparece:

Dada la enorme cantidad de vibraciones que simultáneamente pueden incidir en nuestro tímpano, haciéndolo vibrar a su vez, hemos desarrollado un complejo sistema discriminatorio, capaz de “separar” la combinación recibida en “partes más simples”. Este sistema se basa en la disposición, en el oído interno, de células especializadas en activarse sólo ante determinadas frecuencias, al estar situadas en medios que sólo entrarán en resonancia en esas frecuencias.

Simplifiquemos un poco en aras de mayor claridad. Nuestro oído puede percibir vibraciones con frecuencias comprendidas entre unos 18 Hz y unos 18.000 Hz. Si percibimos un sonido resultado de la combinación de cuatro vibraciones: sonido={200, 708, 1.524, 3.967}, las células especializadas en la recepción de cada tipo de vibración cribarán las componentes del sonido: sólo se activarán las células situadas en zonas que entren en resonancia con las frecuencias 200, 708, 1.524 y 3.967. Al sonido percibido lo podemos llamar “200-708-1.524-3.967”, pero es muy importante para la comprensión de la relación entre música y matemáticas tener en cuenta desde un principio que registramos cada frecuencia por separado.

Cuantas menos vibraciones compongan un sonido, menos actividad se registrará en nuestro oído. Nuestra percepción mental es de un sonido “puro”, “claro”, “nítido”. El sonido producido por un diapasón es un buen ejemplo. Su equivalente visual podría ser un cielo despejado.

Por el contrario, si son muchas y de diverso tipo las vibraciones que conforman el sonido, percibiremos éste como “oscuro”, “confuso”, “impreciso”. Su equivalente visual podría ser un tupido bosque.

Además, aunque en principio la intensidad del sonido es independiente de la frecuencia, no lo es en nuestra recepción del sonido. Nuestro oído es más sensible a las altas frecuencias, de forma que con la misma intensidad de sonido percibimos un volumen mayor en frecuencias altas respecto a las bajas.

Las combinaciones de vibraciones componen el timbre de cada instrumento. En la creación de los instrumentos se resaltan aquellos armónicos naturales que le confieren timbre propio. La misión principal de un luthier es justamente dotar al instrumento del timbre que se espera de él.

Sirva la mención al luthier como excusa para mencionar a aquellos que “unen canto con humor”, el grupo argentino autor de una de las escasísimas canciones dedicadas expresamente a las matemáticas: el divertimento matemático opus 48, Teorema de Thales, plagio milimétrico de la obra del mismo nombre del casi siempre impresentable compositor Johann Sebastian Mastropiero. Pulsando sobre la siguiente imagen podemos oír una frase musical de esta obra y el sonido de uno de los originales instrumentos creados por Les Luthiers.

Luthiers
Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

Intensidad y frecuencia

La presión es una medida objetiva de la intensidad del sonido, pero está lejos de representar con precisión lo que realmente se percibe. Esto se debe a que la sensibilidad del oído depende fuertemente de la frecuencia.

En general, hace falta menos intensidad para oír un sonido agudo que uno grave. Mientras que un sonido de 1.000 Hz y 3 dB ya es audible, es necesario llegar a los 50 dB para poder escuchar un tono de 50 Hz, aunque sólo un uno por ciento de las personas pueden oír esta frecuencia tan baja a ese volumen.

En la siguiente imagen podemos comprobar gráficamente que el oído no se muestra igual de sensible en el rango de frecuencias. Este tipo de gráficas se conocen como curvas de audibilidad. Recogen el resultado de experimentar con un conjunto de personas su percepción de la intensidad de un sonido a medida que variamos su frecuencia.

Intensidad

Observemos que la escala de frecuencias (en hercios) sitúa a igual distancia las sucesivas potencias de diez. A este tipo de escalas se les llama escalas logarítmicas y se utilizan cuando la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo es muy grande, como en este caso.

Cada curva de la gráfica parte de la percepción de volumen que tenemos de una intensidad (por ejemplo de 40 dB) cuando la frecuencia es de 1.000 Hz. Después, variamos la frecuencia y registramos en la gráfica las variaciones necesarias de intensidad para mantener constante nuestra percepción de volumen.

La línea inferior marca el umbral de audición (por debajo de ella no se oye nada), mientras que la curva superior señala la cota a partir de la cual sentimos dolor.

La línea que marca el umbral de audición recoge los datos de los que tienen un oído muy fino. El umbral de audición de la mayoría de las personas sigue la línea azul. La línea que marca el umbral de dolor varía poco, manteniéndose alrededor de los 110 dB, salvo en las proximidades de los 4 kHz, que es la zona en donde el oído humano se muestra más sensible.

Originalmente (curvas correspondientes al diagrama anterior, calculadas por Fletcher y Munson) el umbral de audibilidad había sido definido como la mínima presión necesaria para percibir un diapasón de 1 kHz, es decir, el umbral de audibilidad era de 0 dB para 1 kHz. Sin embargo, cálculos posteriores y más precisos de las curvas mostraron que el umbral de audibilidad es de 3 dB para 1 kHz.

Esa maravillosa espiral llamada caracol

Dentro del oído interno, un tubo espiral llamado caracol (o cóclea) mantiene en su interior tres estanques llenos de líquido, separados por dos membranas (basilar y tectorial). En el que se encuentra entre estas dos membranas reside nuestro receptor de sonidos: el órgano de Corti, una formación de cuatro largas hileras con unas seis mil células ciliadas (o pilosas) cada una conectadas al nervio auditivo.

En la siguiente imagen se muestra una fotografía de una de esas 24.000 células ciliadas, nuestros fonorreceptores.

Célula ciliada

Ahora bien, ¿cómo se las arreglan estas células para discriminar las distintas frecuencias que componen el sonido de una única onda sonora compleja? ¿Cómo podemos distinguir varios instrumentos tocando a la vez, así como los distintos armónicos de cada uno?

La clave está en la membrana basilar. Esta membrana no tiene un grosor ni rigidez uniforme, de manera que vibran sólo aquellas partes de la membrana correspondientes a la frecuencia capaz de hacerlas resonar. En la figura podemos ver un esquema de la membrana basilar, desenrrollada. Las células ciliadas recogen esta información mecánica y convierten ese movimiento en impulsos eléctricos. De esta forma, las células ciliadas crean series distintas de impulsos, cuya combinación se comporta como un auténtico “espectrograma” de la onda sonora, diferenciando cada frecuencia.

Cóclea

Desgraciadamente, las células ciliadas no pueden regenerarse, así que una lesión en esa zona puede provocar la sordera total e irreparable. Por otra parte, la membrana basilar pierde elasticidad con la edad, por ello la sensibilidad o agudeza auditiva también merma al envejecer. Afortunadamente (no todo en el paso del tiempo van a ser inconvenientes) la experiencia de un oído entrenado permite al sujeto captar matices que para un oído inexperto resultan inexistentes.

Para hacernos una idea de la alta especialización y eficacia de nuestro sistema fonorreceptor, hagamos una comparación con otra joya de la evolución, sin duda uno de los milímetros cuadrados más valiosos del cuerpo: la fóvea, nuestra área fotorreceptora dentro de la retina. En la fóvea se distribuyen casi cien millones de células fotorreceptoras, entre bastones y conos. Es decir, hay cuatro mil células “encargadas de ver” por cada una “encargada de oír”. Sin embargo, somos capaces de percibir frecuencias sonoras de 16.000 Hz (ciclos/segundo), mientras que un avance a una velocidad de tan solo 24 cuadros por segundo nos hace percibir movimiento donde sólo hay imágenes estáticas (de ahí el éxito del cine).

Ilusiones

En el artículo Geometría Musical (2), nos divertimos con algunas ilusiones ópticas.

Experiencia 1
Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

 

Experiencia 2
Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

Veamos ahora alguna ilusión acústica. A pesar de la eficacia y fidelidad de nuestro sistema auditivo, existen algunos fenómenos que consiguen que percibamos de forma indebida algunos sonidos.

El efecto muaré y el sonido diferencial

Cuando dos patrones visuales similares se superponen se produce una interferencia. Nuestro cerebro tiende a encontrar nuevos patrones en estas interferencias. Esto se conoce como el efecto muaré.

A veces podemos observar cómo algunos diseños o líneas supuestamente inmóviles comienzan a "bailar" ante la vista, produciendo "figuras fantasmas" que percibimos aunque realmente no existan. Aparecen frecuentemente en fotografía y en las imágenes televisivas, cuando reproducen una serie de líneas paralelas, o casi paralelas, demasiado juntas (por ejemplo, en una camisa de rayas finas). También aparecen al imprimir o escanear algunas imágenes, debido al tramado usado en la impresión. Las líneas pueden ser rectas o curvas, en cada caso podrán formarse patrones muy diversos.

Los que vemos como "arcos o círculos fantasmas" no son más que la forma que tiene nuestra mente de percibir un alto número de intersecciones demasiado próximas. Cada intersección es "un punto notable", es decir, un punto que capta más la atención que los que le rodean (hay mayor longitud de borde o frontera de contraste claro-oscuro en sus proximidades). Si observamos varios "puntos notables" próximos, inmediatamente intentamos captar la configuración de su distribución, en este caso circular.

En la siguiente construcción, cuanto más cercanos se encuentren los círculos azules, menor será el ángulo de corte en cada intersección, por lo que parecerá que las rectas, en vez de cortarse en un solo punto, se cortan a lo largo de un segmento. Al marcar los puntos de intersección, el efecto de "círculos, lunas o lúnulas fantasmas" desaparece.

Muaré
Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

Pues bien, en música existe un fenómeno similar, denominado “sonido diferencial” o “tono de Tartini”. Es muy frecuente que percibamos un sonido que no ha sido emitido sino que es una percepción nuestra causada por la interferencia de dos notas. El sonido que percibimos se produce en nuestro propio oído y corresponde a la diferencia de frecuencias entre las dos notas.

Curiosamente, ambos fenómenos tienen aplicaciones prácticas. El efecto muaré sirve para la detección de la fatiga en los materiales, pues al superponer dos patrones que deberían ser iguales cualquier mínima desviación en una de ellas provocará el efecto y alertará de su deterioro. La aparición del sonido diferencial es útil para determinar que dos cuerdas se encuentran perfectamente afinadas una respecto a la otra (generalmente con una octava exacta de diferencia), pues es entonces cuando surge el “tono de Tartini” y nos parece percibir un sonido inexistente de frecuencia más baja.

El efecto Shepard

Al igual que se puede utilizar la perspectiva óptica para engañar a los ojos (como en la famosa Escalinata de Penrose, que da más y más vueltas sin perder altura, lo que se puede apreciar en el famoso cuadro de Escher, Ascendiendo y Descendiendo), la perspectiva acústica puede engañar a nuestros oídos.

Ascendiendo y Descendiendo

Pulsa en la siguiente imagen para escuchar una ilusión sonora denominada efecto Shepard. Nos parece estar oyendo una subida continua en la altura sonora, mientras que la realidad es que al final no nos hemos elevado en absoluto: el último sonido es equivalente al primero. El engaño se produce porque cada nota es en realidad un acorde compuesto por la misma nota en distintas octavas. A pesar de lo maravillosamente que funciona nuestro oído, esto consigue engañarlo.

Efecto Shepard
Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

La siguiente imagen corresponde al espectrograma del efecto Shepard. Observemos que aunque efectivamente se produce un movimiento creciente en las frecuencias, las más altas van desapareciendo paulatinamente, mientras que surgen nuevos sonidos de baja frecuencia que paulatinamente ganan en intensidad. Al final, obtenemos una combinación de frecuencias similar a la de partida.

Espectro

Si repetimos sucesivamente el efecto, tenemos la impresión de ir siempre “hacia arriba”. Este efecto se ha usado en canciones y videojuegos para provocar en el oyente esa sensación de “caída libre hacia arriba”, de ascenso perpetuo.

Bibliografía

Introducción a la psicoacústica. Federico Miyara

 

© Real Sociedad Matemática Española. Aviso legal. Desarrollo web