161. (Junio 2018) Los siete cielos
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161. (Junio 2018) Los siete cielos
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Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)   
Lunes 04 de Junio de 2018

Los siete cielos¿Has estudiado el juego propuesto el mes pasado? ¿Has descubierto la propiedad "secreta" que tienen los múltiplos de siete mediante la cual es posible escribir una secuencia encadenada de ellos? ¿Has tratado de averiguar si el proceso puede realizarse con números que tienen más cifras? ¿O menos cifras?

No responderemos a ninguna de esas preguntas pero seguiremos estudiando al creador de aquel juego, L. Vosburg Lyons (1892-1976), pues sus contribuciones con juegos de magia matemática relativos a los múltiplos de siete continuaron apareciendo en la citada revista Ibidem. Con respecto a esta revista, podemos apuntar que se publicó en Toronto (Canadá) entre 1955 y 1979. Además, es una de las pocas revistas de magia que incluía de forma habitual acertijos y problemas de lógica, así como juegos relacionados con la matemática recreativa.

Sin ir más lejos, en el número 7 de la revista, publicada en septiembre de 1956, aparece el juego titulado "Heavenly Sevens", ilustrado con la imagen que reproducimos a continuación.

Los siete cielos

Esta es la descripción del juego.

  1. Entrega a un espectador siete tarjetas numeradas, donde cada una de ellas lleva escrito un número del uno al siete.

  2. Pide al espectador que descarte una cualquiera de las tarjetas. Anuncia que formarás con las seis restantes un número que sea múltiplo de siete. Como es posible que hayas memorizado todos los casos, para mayor dificultad, pide al espectador que coloque sobre la mesa, caras hacia arriba, dos de ellas, en el orden que prefiera. Estas serán las dos primeras cifras del número de seis cifras, múltiplo de siete, que tratarás de formar.

  3. Recoge las cuatro cifras que quedan sin utilizar y colócalas a continuación de las anteriores de forma tal que el número resultante de seis cifras sea un múltiplo de siete.

  4. ¡Pero eso no es todo! Haz que comprueben que el número, escrito de derecha a izquierda, ya no es múltiplo de siete. Cambia de lugar dos de las tarjetas para formar un nuevo número, el cual será todavía múltiplo de siete y, si se escribe de derecha a izquierda, también es múltiplo de siete.

Veamos la forma de conseguirlo. El método es un poco elaborado, dada la dificultad del juego, pero el resultado es sorprendente. Ten un poco de paciencia y te aseguro que admirarás el ingenio de su creador.

  1. Debes tener en cuenta en primer lugar la siguiente tabla de equivalencias o congruencias:

    TABLA DE CONGRUENCIAS
    1 2 3 4 5 6 7

    17

    26

    35

    27

    36

    45

    21

    37

    46

    31

    47

    56

    32

    41

    57

    42

    51

    67

    43

    52

    61

    Observa que, en cada columna, están todas las combinaciones de dos cifras distintas (con las cifras comprendidas entre 1 y 7, pero sin importar el orden) de modo que su suma es un número congruente módulo siete con el número que encabeza dicha columna. Es decir, el resto de la división por siete de la suma de las dos cifras coincide con el del número que encabeza la columna.

    Por ejemplo, en la cuarta columna están los números 31, 47 y 56 porque 3+1=4, 4+7=11 y 5+6=11, y el resto de la división de estos números entre siete es igual a cuatro. También podrían estar los números 13, 74 y 65 pero lo importante son las cifras, no los números.

  2. A continuación, debes recordar (o tener a mano) también los siguientes diagramas de divisibilidades:

  3. TABLA DE DIVISIBILIDADES

    En cada diagrama se representan de forma circular, en el sentido indicado por las flechas, los números de dos cifras que tienen el mismo resto al dividirlos por siete.

    Por ejemplo, en los diagramas con un cuatro en el centro están representados los números 25, 53 y 32 en la parte superior, y 46, 67 y 74 en la parte inferior. Todos ellos son congruentes con cuatro módulo siete. De hecho, están todos los que pueden escribirse con las cifras del 1 al 7.

  4. Con estos datos en mente, veamos el desarrollo del experimento. El espectador elige un número, que será la cifra descartada, y elige otros dos, que serán las dos primeras cifras del múltiplo de siete que debes encontrar, el cual llamaremos N. En lo que sigue, utilizaremos estas otras notaciones:

    A = cifra descartada; B = primera cifra de N; C = segunda cifra de N; X = cifra tal que el número "AX" es múltiplo de 7.

    Un ejemplo: el espectador decide descartar el número 3, y quiere que el número empiece por las cifras 2 y 4, en ese orden. Los datos son ahora: A = 3, B = 2, C = 4, X = 5 (porque 35 es múltiplo de 7).

  5. Con estos datos, el número de dos cifras "BC" se encuentra en una y solo una de las siguientes situaciones:

    • Caso 1 - La suma de las cifras B + C es congruente con 2·A, módulo 7.

    • Caso 2 - El número de dos cifras "BC" es congruente con "AB" módulo 7.

    • Caso 3 - El número de dos cifras "CB" es congruente con "BA" módulo 7.

    • Caso 4 - El número de dos cifras "BC" es congruente con X módulo 7.

    • Caso 5 - El número de dos cifras "CB" es congruente con X módulo 7.

    Si seguimos con el ejemplo propuesto, la situación corresponde al caso 1 porque 2 + 4 = 6, que es el doble de 3. Las otras posibilidades de elección de la cifra C, con los mismos valores A = 3 y B = 2, serían:

    • Si C = 5, el número 25 está en el caso 2, porque 25 es congruente con 32 módulo 7 (ambos dan resto 4).

    • Si C = 7, el número 27 está en el caso 3, porque 72 es congruente con 23 módulo 7 (ambos dan resto 2).

    • Si C = 6, el número 26 está en el caso 4, porque 26 es congruente con 5 módulo 7.

    • Si C = 1, el número 21 está en el caso 5, porque 12 es congruente con 5 módulo 7.

  6. Veamos ahora la forma de conseguir un múltiplo de siete, según los distintos casos:

    • Regla 1 - Si te encuentras en el caso 1, busca las dos tablas de divisibilidades de X. En una de ellas encontrarás la cifra B: escribe las dos cifras siguientes, en sentido horario. En la otra tabla de divisibilidades de X estará la cifra C: escribe también las otras dos cifras, de nuevo en sentido horario. Intercala las cifras de estos dos números y tendrás el que buscas.

      En nuestro ejemplo, como X = 5, las tablas de divisibilidades de 5 contienen los ciclos 475 y 126. Como B = 2, el ciclo correspondiente es 261; como C = 4, el ciclo es 475. Intercalando estos dos números llegamos a 246715, que es el múltiplo de siete que estamos buscando.

    • Regla 2 - Si estás en el caso 2, repite el mismo procedimiento de la regla 1.

      En nuestro ejemplo, si el espectador hubiera elegido C = 5, los mismos ciclos 475 y 126 se escribirían en el orden 261 (pues B = 2) y 547 (pues C = 5), de modo que el número final es 256417.

    • Regla 3 - La misma regla 1 se aplica para el caso 3.

      Por ejemplo, si el espectador hubiera elegido C = 7, el orden de los ciclos sería 261 (nuevamente porque B = 2) y 754 (ya que C = 7). El número que debes escribir es 276514.

    • Regla 4 - Si estamos en el caso 4, la tercera cifra del número será igual a B + C - A si este valor está comprendido entre 1 y 7, será igual a B + C - A + 7 si fuera igual a cero, y será igual a B + C - A - 7 si fuera mayor que 7. Las cifras cuarta y quinta se obtienen de las tablas de divisibilidades de X, que empiece por la tercera cifra pero en sentido antihorario. La última cifra también se obtiene de las mismas tablas, y será la cifra que falte en la secuencia que empieza por BC en sentido horario.

      Volviendo al ejemplo en que A = 3, B = 2 y X = 5, si el espectador elige como segunda cifra el seis, el número 26 corresponde al caso 4. La tercera cifra será igual a B + C - A = 2 + 6 - 3 = 5. Los ciclos de las tablas de divisibilidades de X = 5 son 475 y 126. El que empieza en 5 y tiene sentido antihorario es 574 y el que empieza en 26 es 261. El número final sería 265741.

    • Regla 5 - Si estamos en el caso 5, de nuevo la tercera cifra se obtiene como en la regla anterior, se calcula B + C - A y se suma o resta 7 en caso necesario. Las cifras cuarta y quinta se obtienen de las tablas de divisibilidades de X, empezando por la tercera cifra y en sentido horario. La última cifra se obtiene a partir de las mismas tablas, y será la que complete la secuencia que empieza por BC, en sentido antihorario.

      El último ejemplo correspondiente al caso A = 3 (cifra descartada) y B = 2 (primera cifra) sería aquel en que C = 1 pues CB, que vale 12, es congruente con X módulo 7. La tercera cifra sería B + C - A = 2 + 1 - 3 = 0, de modo que se le suma siete para dar el valor 7. Los ciclos de las tablas de divisibilidades de 5 son 475 y 126, de modo que las cifras cuarta y quinta son las que completan el ciclo que empieza por 7, en sentido horario, es decir 754. La última cifra sería la que completa el ciclo que empieza por 2, en sentido antihorario, es decir 216. En definitiva, el número final es 217546.

  7. Recuerda que esto no ha acabado. El número obtenido es múltiplo de siete pero, al invertir sus cifras, ya no lo es. Veamos cómo conseguir que sea múltiplo de siete por partida doble.

    • Regla 1' - En los casos 1 y 5, pasa la tercera cifra al final.

      En nuestro ejemplo, el número 246715 era el correspondiente al caso 1. Pasamos el 6 al final y obtenemos el número 247156. Tanto este número como 651742 son múltiplos de siete.

      Por otra parte, el número 217546 era el correspondiente al caso 5. Pasamos ahora el 7 al final para obtener el número 215467. Este número, junto con 764512, son múltiplos de siete.

    • Regla 2' - Si estamos en el caso 2, deben hacerse dos movimientos: la última cifra se coloca entre la segunda y tercera y la penúltima cifra se coloca entre la tercera y cuarta.

      En el ejemplo estudiado, el número resultante era 256417. Se pasa el 7 entre el 5 y el 6 y el 1 entre el 6 y el 4. Se obtiene el número 257614 y su inverso 416752, los cuales son ambos múltiplos de siete.

    • Regla 3' - En los casos 3 y 4, se coloca la última cifra entre la tercera y cuarta.

      En el ejemplo que corresponde al caso 3, el número obtenido fue 276514. Al colocar el 4 entre el 6 y el 5, resulta el número 276451. Este número y su inverso, 154672, son múltiplos de 7.

      En el caso 4, teníamos el número 265741. Se coloca el 1 entre el 5 y el 7 y se obtiene el número 265174 que, junto con 471562, son múltiplos de 7.

Comentarios finales:

  • Como se podía suponer, el método no es sencillo. Pero el resultado final es suficientemente sorprendente como para que merezca la pena el esfuerzo de recordar los pasos necesarios, aunque solo sea como homenaje a su descubridor. Además, tu fama como experto calculista se agrandará con este nuevo reto.

  • Por cierto, el propio L. Vosburgh Lyons explica que el método se simplifica de manera significativa si se utilizan sólo los números del 1 al 6, pero no indica el método. ¿Serías capaz de encontrarlo?

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