128. Jugar, ¿sí o no?
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128. Jugar, ¿sí o no?
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Escrito por Alfonso Jesús Población Sáez   
Jueves 01 de Febrero de 2018

Aunque ya alejadas y olvidadas las fiestas de Navidad, traemos en esta ocasión esta ácida y realista visión de la familia, con una excelente recreación y aplicación del manejo de la esperanza matemática. Quizá contagiado por su visión, el autor concluye con alguna que otra reflexión que pueda resultar incomoda. Disculpas por adelantado.

Jugar, ¿sí o no?

Ficha Técnica:
Título:
Un cuento de Navidad. Título Original: Un conte de Noël. Nacionalidad: Francia, 2008. Dirección: Arnaud Desplechin. Guion: Arnaud Desplechin y Emmanuel Bourdieu, basado en La Greffe (El trasplante), de Jacques Asher y Jean-Pierre Jouet. Fotografía: Eric Gautier, en Color. Montaje: Laurence Briaud. Música: Grégoire Hetzel y Mike Kourtzer. Producción: Pascal Caucheteux. Duración:  150 min.

Ficha artística:
Intérpretes:
Catherine Deneuve (Junon Vuillard), Jean-Paul Roussillon (Abel, marido de Junon), Anne Consigny (Elizabeth Dédalus, hija mayor de Abel y Junon), Mathieu Amalric (Henri Vuillard, hijo mediano de Abel y Junon), Melvil Poupaud (Iván Vuillard, hijo menor de Abel y Junon), Hippolyte Girardot (Claude Dédalus, marido de Elizabeth), Emmanuelle Devos (Faunia, pareja de Henri), Chiara Mastroianni (Sylvia Vuillard, esposa de Iván), Laurent Capelluto (Simon, sobrino de Junon), Emile Berling (Paul Dédalus, hijo de Elizabeth y Claude), Thomas Obled (Basile  Vuillard, hijo de Iván y Sylvia), Clément Obled (Baptiste, hijo de Iván y Sylvia), Azize Kabouche (Doctor Zraïdi, oncólogo).

Argumento: Como casi todas las familias, los Vuillard se hallan separados en distintos lugares y mantienen el contacto justo. Con motivo de las fiestas navideñas, se citan en casa de sus padres con sus respectivos hijos, parejas, etc. A la madre, Junon (Catherine Deneuve), le acaban de diagnosticar una enfermedad genética, con visos de desarrollarse en poco tiempo. Un trasplante de médula es una de las posibilidades que le dan para mitigar el problema, aunque puede tener ciertos riesgos secundarios. Para complicar aún más la decisión, los únicos donantes compatibles son uno de sus hijos Henri (Mathieu Amalric), la oveja negra de la familia, y con una vida no muy equilibrada, y un nieto con algunos desequilibrios mentales, lo que desata múltiples controversias no declaradas por parte del resto de hermanos y familiares.

Comentario

De las típicas películas sobre la Navidad tenemos, reduciéndolo mucho porque siempre hay matices, dos modalidades: las comedias para pasar el rato con alguna (a veces ninguna) pincelada interesante, y las críticas con toda la parafernalia consumista y de buen rollito que marca el canon de celebración de la Buena Nueva de tradición religiosa. Ha habido tantas de ambas clases que el espectador ya está saturado del tema (y más aún porque las televisiones programan con profusión y alevosía infumables telefilmes desde dos meses antes). La que nos ocupa en esta ocasión está encuadrada en este segundo grupo, y siendo una producción cuidada, bien rodada y mejor interpretada (aunque a Deneuve últimamente parece que todo le sobra, y da la sensación precisamente de ir de sobrada, al menos a mí me transmite esa sensación), tiene (también a mi juicio) varios defectos: excesivamente larga, excesivamente intelectual (como la mayor parte del cine galo) y excesivamente “como la vida misma” (nuevamente marca gala: después de dos horas y media la sensación es de que no ha pasado nada, aunque se hayan dicho muchas cosas). Sus virtudes: una mirada nada contenida a la familia burguesa tradicional (¿Por qué una madre tiene por defecto que querer a un hijo? ¿Por qué los hermanos, las parejas, los hijos, han de ser ideales? ¿Por qué una hermana no debería conseguir el alejamiento de un hijo que ha arruinado a sus padres? ¿Por qué no se debe ser brutalmente sincero?, etc.), y el dilema ante la aparición de una enfermedad grave (lo que Poe relata al estilo de su época, la decadencia física y moral de una familia rica cuya exclusiva sangre mata silenciosamente, en nuestros tiempos se explica científicamente). Hay muchas más cuestiones merecedoras de su visionado, y muchas referencias culturales incluyendo la que desvela el propio realizador: “pensaba constantemente en El sueño de una noche de verano, donde un grupo de personajes se reúnen por una celebración y, entre la realidad y la fantasía, fornican, engañan, se enamoran y traicionan. A la mañana siguiente no pueden discernir si les ha ocurrido en realidad, o solamente lo han soñado”. Pero vamos a lo nuestro, a las matemáticas.

Esperanza Matemática

Uno de los yernos de Junon es matemático, no uno cualquiera, un medallista Fields, se comenta de pasada en una escena. Es el padre de Paul, uno de los donantes compatibles, y esposo de la hija que odia al hermano también compatible (no deseo revelar demasiado del argumento para que quien se decida a verla no se frustre con lo aquí indicado). En una escena, mientras se afeita, nos cuenta lo que piensa: “Desde la hospitalización de Paul y la enfermedad de Junon, no he parado de calcular. Riesgo de mortalidad del trasplante: del 5 al 20 por ciento. Riesgo de recaída: del 15 al 30 por ciento. Probabilidad de curación: de un 40 a un 50 por ciento, pero el riesgo de GVH aguda 50 por ciento”.

Aunque expresar una probabilidad en términos de porcentaje es una “licencia” bastante común, matemáticamente es incorrecto: como sabemos una probabilidad es un valor entre 0 y 1. El error no es de doblaje únicamente, la versión original también es incorrecta. Exceptuando este detalle, comprobaremos que el resto de expresiones y operaciones matemáticas son totalmente correctas, y exceptuando también que, al inicio, el narrador nos dice que Joseph nació en 1965 y que murió a los seis años; más adelante vemos en la lápida de su tumba que murió en 1968. Un despiste sin importancia, pero es incorrecto obviamente.

Acabando con el párrafo anterior, las siglas GVH corresponden a Graft versus Host, una complicación médica que aparece cuando se trasplanta a un enfermo un tejido de otra persona genéticamente diferente (también puede aparecer con una transfusión de sangre). Las células inmunes (glóbulos blancos) del tejido del donante atacan a las del huésped como reacción a un cuerpo extraño. Es por tanto el complementario del rechazo al trasplante. En el rechazo al trasplante, el cuerpo del enfermo no acepta las células del donante, mientras que en el GVH son las células del donante las que reaccionan contra las del enfermo. Las consecuencias, como se explica en la película son muy graves, entre ellas el síndrome de Lyell o necrosis epidérmica tóxica, en la que se destruye la epidermis, el paciente sufre quemaduras muy graves (por eso Junon comenta que no desea morir como Juan de Arco), y puede desembocar en una muerte por asfixia. Afortunadamente se da en pocos casos (2 casos por millón de habitantes, aproximadamente; suele ser por alergia a algún medicamento), pero es más frecuente como reacción a un trasplante de médula (como se plantea en la película), o a tratamientos de radioterapia.

Jugar, ¿sí o no?

Pero lo más interesante, desde el punto de vista de las matemáticas, aparece en una escena posterior. Transcribo el diálogo tal cual aparece junto a algunas imágenes, y en el siguiente párrafo intento aclarar un poco más todo ello. Abel, el marido de Junon (la lleva bastantes años), un hombre que realiza muchas tareas en el hogar, se ha documentado mucho sobre los riesgos de que Junon se  haga el trasplante de médula. Ha considerado todas las posibilidades en base a los porcentajes medios que aparecen en artículos médicos, y los tiene escritos sobre dos grandes pizarras. Cuando llega Claude, el yerno matemático, los examina y le aporta su opinión, que Abel escucha con mucha atención:

Abel: Pero hay una ligera probabilidad de que Junon no esté enferma.

Jugar, ¿sí o no?

Claude (echando un vistazo a sus anotaciones y cálculos): Pero es usted pesimista. Cuanto más se sobrevive, mayor es la esperanza de vida. Esto es lo que teme: que Junon esté sana, y la maten los médicos (está señalando a donde pone – 5 años).

Abel: ¿Cinco años menos de vida estando sana?

Simon: No, son las estadísticas las que dicen que la enfermedad se desarrollará. Sólo eres una enferma en potencia.

Claude (dirigiéndose a Abel): No puede razonar así, a segmentos. Cuenta de un año para otro. Perdone. Junon va a morir en un momento preciso, no en una fecha de cumpleaños.

Junon: ¿Y entonces?

Claude: Si se hiere o muere, son acontecimientos absolutos. No tendrá un 10 o un 12 por ciento de vida o de muerte, será una totalidad. Pero tiene que jugarlo, quiera o no. Va a tratarse o no. Va a morir o no. Así que está jugando. Hay que pasar del discreto al continuo. Aquí no es 0.50.

Jugar, ¿sí o no?Jugar, ¿sí o no?

La fórmula de la esperanza de sobrevivir es una integral de cero a infinito. Eso es. Y esto da 1.45 años. Sin el trasplante, su esperanza de vida son 6 meses. De igual manera, con el tratamiento aumenta a 3.7. Ahora bien, consideramos los cinco años menos de vida en función de la probabilidad, que es baja, y comparamos con los dos o tres años adicionales de vida con el tratamiento, cuya probabilidad es elevada, y nos da

Jugar, ¿sí o no?

En la pizarra, escribe:

– 5 x 8.2 % + 2.3 x 92% =

Abel: ¿Me permite? (Le pide el rotulador).

Claude: Por supuesto (Abel escribe 1.7, lo que sale la cuenta).

Claude: Enferma o no, con tratamiento, su esperanza de vida es de 2 años.

Abel: Eso está mejor.

Claude: No quiere jugar, pero la única libertad que le queda es la de apostar.

Desmenuzando los cálculos

Empecemos por explicar por qué Claude, cuando dice que hay que pasar del discreto al continuo, escribe  50% = 1 – e–λ (ver una de las imágenes anteriores). Jugar, ¿sí o no?Hace este comentario después de observar la tabla de la imagen y el posterior cálculo. En ella se indican en la parte superior los años (1, 2, 3, 4) y bajo ellos el porcentaje de algo (no entiendo lo que pone al lado, pero interpreto que es la evolución de las células destruidas una vez manifestada la enfermedad: la mitad en un año, la cuarta parte al segundo año, etc., una progresión geométrica decreciente de razón ½ (por eso Abel ha escrito al lado en azul, q = 50%; todo ello son interpretaciones mías, por supuesto. Se admiten otras). Aquí es donde Claude indica que la evolución de una enfermedad no tiene lugar exactamente al fin del año, sino que es un fenómeno continuo, y por eso escribe la expresión de la exponencial, que sale (insisto, mi interpretación) al aplicar el siguiente modelo: llamando x(t) al número de células sanas en el instante t, la tabla de los datos claramente marca que su variación (su derivada) con respecto al tiempo es

x’(t) = −λ x(t),

con valores iniciales x(1) = ½, x(2) = ¼. El valor negativo de λ es evidentemente porque el número de células sanas va disminuyendo a medida que transcurre el tiempo.

Resolver esa sencilla ecuación diferencial de primer orden en variables separadas es inmediato, pero vamos a detallarlo para los que lo tengan un tanto olvidado. Pasamos dividiendo al primer miembro la variable dependiente (la variable dependiente es la que tiene la derivada, la x; la independiente es la t, la del tiempo, que es inexorable nos guste o no, y por eso es independiente, no se puede parar; en cambio la dependiente se puede acelerar, retardar, etc.)

Jugar, ¿sí o no? = −λ

Integramos a continuación ambos miembros, el primero respecto a x, el segundo respecto a t:

Jugar, ¿sí o no? = Jugar, ¿sí o no?

En el primer miembro tenemos en el numerador claramente la derivada del denominador, por lo que

Ln(x(t)) = −λt + Cte

Tomando exponenciales para eliminar el logaritmo, obtenemos que

x(t) = α e–λt

Tenemos ahora que determinar dos constantes, α y λ. Para eso hemos elegido dos valores iniciales, x(1) = ½, y x(2) = ¼. Utilizando ambos se llega a que α = −1 y λ = ln 2. Es decir que

x(t) = − Jugar, ¿sí o no?

O sea que considerando la cuestión de modo continuo, se llega al mismo resultado que de forma discreta, que el número de células decrece en progresión geométrica de razón ½ (cosa por otro lado clara de los valores de la tabla). Pero la cuenta viene a cuento para entender de donde sale la exponencial en el razonamiento que hace Claude, que es el siguiente (recordemos que escribe 50% = 1 – e–λ). Toma solo el primer dato (sustituye t = 1, el primer año), y lo iguala al 50 % porque está calculando la constante λ a partir de ese dato. El segundo miembro es 1 (porque parte de que antes de manifestarse la enfermedad Junon está sana completamente, por tanto, la unidad) menos el modelo tomado (e–λ). Le sale, obviamente, también λ = ln 2. Se ahorra de este modo resolver la ecuación diferencial que alargaría la escena (y ya sabemos que el público quiere otras cosas).

El cálculo de la esperanza con el modelo continuo responde perfectamente a la integral que vemos en la otra imagen

Jugar, ¿sí o no?

Resolviéndola por partes (u = t, dv = λe–λt), sale en efecto 1/λ, y como λ = ln 2 ≈ 0.69, se tiene que la esperanza es 1.45 años (redondea porque en realidad es 1.449275; y si tomara ln2 con más decimales sería 1.4426).

Jugar, ¿sí o no?

Pero es que el razonamiento de Abel tampoco es nada desdeñable, aunque utilizara el modo discreto. En la imagen siguiente, cuando Claude examina inicialmente todos los cálculos, vemos como ha razonado Abel, con todas las posibilidades. Describe como M el que se manifieste la enfermedad, y como T, el someterse al trasplante de médula (que como ya se ha dicho involucra un porcentaje de que se dé el GVH). En la pizarra vemos escrito:

M y no T: esperanza de vida Jugar, ¿sí o no? = 1 año (en efecto, la suma de la serie geométrica de razón ½ da como resultado 1; ha hecho las cuentas en la pizarra blanca; se ve en otras escenas).

M y T: esperanza de vida
30% x 1
+50% (5 + 1)

3,3 años
M → ganancia 3,3 – 1 = 2,3 años

no M y no T: esperanza vida = 25 años

no M y T: prob efectos secundarios 20%
Perdemos 25 x 20% = – 5 años

Claude con su razonamiento, le hace ver que la mejora conjunta de someterse a tratamiento, desarrolle o no la enfermedad, es de

– 5 x 8.2 % + 2.3 x 92% = 1,7 años.

Pero son ellos los que deben decidir, si jugar o no jugar. ¿Qué decidió? Ved la película.

Conclusión y Comentarios Finales

De todo lo dicho es obviamente deducible que la mayor parte de las matemáticas que aparecen son correctas, y por tanto se trata de una película muy recomendable a añadir en el listado de películas con matemáticas destacables (a los ilustres desconocidos que se dedican a fusilar todo aquello que aparece por la red sin referenciar donde lo encontraron, he comprobado que esta película NO aparece en ninguna otra lista, …, hasta hoy seguramente; os mantendré informados. No me importa que se utilicen las referencias, pero, por favor, indíquese al menos de donde vinieron; hagamos de internet una herramienta rigurosa y valiosa, no un maremágnum sin ley ni concierto como es ahora).

Jugar, ¿sí o no?

Otra fórmula correcta que aparece en la película es la que aparece en la siguiente imagen, relativa a cálculo combinatorio (en el recuadro superior de la pizarra).

Una última reflexión. Recientemente en Valladolid, falleció un excelente periodista local y mejor persona. Por casualidad escuché a otro compañero periodista decir en una televisión local (cito de memoria) lo mal que pasó sus últimos días “por hacer caso a las mentiras de la ciencia”. Evidentemente se refería a que decidió someterse a un tratamiento que podía alargar su esperanza de vida, aunque lamentablemente no fue así. Creo que no hace falta incidir en lo desacertado del comentario, censurando una decisión personal y por tanto totalmente respetable y, sobre todo, creo que no difundible. Allá cada uno. Lo que peor me sienta es el nulo conocimiento de las más elementales nociones de cómo funciona la medicina, las estimaciones, las probabilidades, etc. La Ciencia no es un billete seguro (las matemáticas sí, pero sólo en temas que no comprendan estimación alguna o aparezcan demasiadas variables a considerar). La película es de nuevo un magnífico ejemplo de cómo afrontar este tipo de decisiones, duras, precisamente por su porcentaje de fracaso, que siempre existe. Pero desde luego no hacer nada, o encomendarse a inverosímiles prácticas flower power, tampoco lleva a certeza alguna. Cada persona es libre de decidir, pero por favor, infórmense bien y no hagan demasiado caso a estigmatizaciones sin fundamento.

Jugar, ¿sí o no?

El realizador de la película, Arnaud Desplechin se inspiró en el libro La greffe (su traducción sería El trasplante; no hay versión en castellano publicada), escrito a dos manos por el doctor Jacques Asher, un psiquiatra amigo de su padre, y el oncólogo especializado en afecciones de la sangre Jean-Pierre Jouet. “Ellos describen todo lo que puede generar un trasplante de médula ósea y curiosamente esto dispara en el enfermo y en su familia muchos desórdenes mentales, como alucinaciones o episodios de delirio que hacen que la familia se piense de nuevo como unidad. A partir de esto, imaginé un cuento negro y encantado que se desarrolla en la noche de Navidad”,  confiesa. Y como curiosidad final, la hija de Catherine Deneuve y Marcello Mastroniani, Chiara Mastroianni interpreta a su nuera (¡¡¡y no se llevan demasiado bien!!!).

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