42. (Febrero 2018) Simetrías en los diseños de Sebastien Truchet
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42. (Febrero 2018) Simetrías en los diseños de Sebastien Truchet
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Escrito por Ángel Requena Fraile   
Jueves 01 de Febrero de 2018

Simetrías en los diseños de Sebastien Truchet

(Azulejos de Truchet – Catedral de Tarazona)

El azulejo cuadrado dividido diagonalmente en dos colores, llamado de Truchet por los matemáticos y de cartabón por los ceramistas, tiene ya más de tres siglos de historia como objeto matemático.

El azulejo se viene usando desde tiempos inmemoriales pero su historia matemática pudo empezar en 1675 con el encargo del ministro Colbert, en nombre del Rey Sol, a la Académie Royale des Sciences de estudiar las técnicas artesanales. Hasta 1693 no se pone en marcha el grupo de trabajo dirigido por el abate Jean Paul Bignon y del que formara parte el padre Sébastien Truchet.

Supervisando las obras de los nuevos canales y recopilando información de las técnicas, a Truchet no le pasarán desapercibidos algunos azulejos y se percatará de la fecundidad combinatoria de algo tan sencillo (e inconscientemente de sus simetrías ornamentales cuando buscaba las formas de mayor belleza). En sus propias palabras:

En el último viaje que he hecho al Canal de Orleáns por orden de su alteza real, encontré en el castillo llamado La Motte S. Lye, cuatro leguas más allá de Orleáns, varios azulejos cerámicos cuadrados de dos colores separados diagonalmente, que estaban destinados a pavimentar una capilla y varios apartamentos más. Para poder formar agradables figuras y dibujos combinando los azulejos, estudie primero de cuántas formas dos de estos azulejos podían juntarse, disponiéndolos siempre en forma de tablero de ajedrez.

Hemos intentado después formar dibujos y agrupaciones con esas figuras colocadas juntas, siempre en forma de tablero de ajedrez; hemos encontrado una cantidad enorme para poderlos enseñar todos: hemos escogido únicamente cien de ellos, que hemos puesto en limpio, para que cada uno pueda comprobar con sus propios ojos lo cierto de lo que hemos afirmado, y la fecundidad de estas combinaciones de origen tan sencillo.

Como resultado de sus estudios, el Padre Truchet publicó una pequeña Memoria sobre las combinaciones de estos azulejos recogida entre las Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de 1704. El autor expone primero que cada azulejo individual se puede colocar de cuatro formas distintas para después tomar dos azulejos y colocarlos en las cuatro esquinas de un tablero de ajedrez. El cálculo da que existen 64 formas de colocarlas, las 16 (42) de las combinaciones con repetición de los dos azulejos multiplicadas por 4, por ser cuatro las esquinas.

Simetrías en los diseños de Sebastien Truchet

De la combinación de los azulejos se obtiene una cantidad enorme de diseños agradables. Truchet selecciona cien, pero en la Memoria de 1704 solo publica grabados de treinta. Las planchas de cobre llevan la firma del conocido grabador Simonneau.

Las investigaciones de Truchet deberían formar parte de una ambiciosa obra enciclopédica, la Description des arts et métiers, faites ou approuvées par Messieurs de l´Académie Royale des Sciences, que no se empezará a publicar en forma de volúmenes hasta 1761. Pero en 1705 el mismo prestigioso grabador Simonneau ya había preparado las cien combinaciones previstas, en realidad son 96, en un formato más pequeño.

Truchet trabaja a las órdenes de la corona desarrollando gran actividad, siendo requerido para otros trabajos. Es por ello que tras la memoria de 1704 y los grabados de 1705 parece abandonar sus investigaciones sobre los azulejos diagonales.

Los diecisiete grupos del plano y los doce de Truchet

Las teselaciones periódicas del plano se clasifican en 17 grupos. Cuatro con el giro único completo, cinco con giro de media vuelta, tres con giro de un tercio de vuelta, otras tres con giro de un cuarto de vuelta y, por último, dos con giro de un sexto de vuelta.

En muy pocos lugares se localizan conjuntamente los 17 grupos: el Palacio de la Alhambra es uno de ellos como ha descubierto el profesor Rafael Pérez Gómez. Los artesanos nazaríes demostraron su gran virtuosismo utilizando en la decoración con alicatados y yeserías todos los grupos posibles, ¡y lo lograron mucho antes de que se demostrara teóricamente!

Simetrías en los diseños de Sebastien Truchet

Con los azulejos de Truchet podremos construir hasta 12 de los 17 grupos. Un único azulejo siempre permite obtener varios grupos de simetría, aunque él mismo no tenga ninguna simetría propia. El de Truchet tiene un eje de reflexión, la diagonal perpendicular a la de cambio de color, y ello nos ofrece hasta 12 grupos. Los únicos no admitidos son los de giros de 60º y 120º, que son los cinco grupos restantes.

Los doce grupos de simetría en los diseños de Truchet de 1704 y 1705

Cuando Truchet realiza sus estudios la combinatoria tenía cierta tradición pero la teoría de grupos de teselaciones no se desarrollará hasta finales del siglo XIX cuando Evgraf Stepanovich Fedorov (1853-1919) clasifica los grupos cristalográficos. La nomenclatura internacional que usamos se debe a Hermann- Mauguin y no tiene todavía un siglo.

Truchet no llegó a clasificar los grupos pero, al igual que los artesanos de la Alhambra, si pone ejemplos de los 12 posibles usando la belleza de los diseños como única guía. En la memoria de 1704 se presentan 30 diseños: 10 son p4m, 5 cm, 4 pmg, 3 pm, 3 p4g, 3 p2, 1 pmm y 1 pgg. Faltan los grupos pg, cmm, p4 y p1. La ampliación a 96 diseños de la Descripción de las artes y oficios de 1705 completará los cuatro que faltaban.

La mayor frecuencia de aparición del diseño p4m es habitual en todas las teselaciones del plano y se debe a la presencia de más elementos de simetría.

Mostramos un ejemplo de cada uno de ellos señalando la celda base (amarillo), los ejes de simetría (rojo) y los ejes deslizantes (verde):

Simetrías en los diseños de Sebastien Truchet

Simetrías en los diseños de Sebastien Truchet

Simetrías en los diseños de Sebastien Truchet

 

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