86. (Octubre 2017) Medidas de complejidad rítmica (I)
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86. (Octubre 2017) Medidas de complejidad rítmica (I)
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Viernes 13 de Octubre de 2017

1. Medidas de complejidad rítmica

El artículo de este mes inaugura una serie sobre el apasionante tema de las medidas de complejidad rítmica. El material que se presenta en esta serie recoge, de forma divulgativa, el trabajo de autores que han investigado preguntas tales como: dados dos ritmos, ¿cuál de ellos es más complejo?; si el lector es capaz de designar un cierto ritmo como más complejo que otro, ¿puede describir los criterios que rigieron su elección?; ¿depende la complejidad rítmica de la métrica o del agrupamiento?; ¿qué determina la complejidad rítmica?; ¿es una medida asociada intrínsecamente a la estructura del ritmo o depende de la percepción del oyente?; ¿depende la complejidad rítmica de la enculturación del oyente?; ¿lo que es sencillo rítmicamente en una cultura es complejo en otra?; ¿existen universales de complejidad rítmica? Hay más preguntas que se han hecho en la investigación sobre la complejidad rítmica, pero creemos que esta muestra es suficientemente ilustrativa. En esta serie vamos a pasar revista a las medidas de complejidad rítmica más importantes. Seguiremos en buena parte la excelente tesis de maestría de Eric Thul [Thu08]. Primero, empezaremos con las medidas basadas en síncopas, las basadas en patrones y las basadas en distancias. Parte del material que se presenta en este artículo ya fue tratado en 2011 en esta misma revista en la serie Medidas matemáticas de la síncopa; véase [Góm11aGóm11bGóm11c]. Dada la distancia en el tiempo y que en esta serie se aborda un problema mayor que en la serie de 2011, consideramos que el lector no se aburrirá.

Por medidas de complejidad rítmica queremos decir medidas formales, esto es, medidas definidas desde un punto de vista teórico. Dependiendo del enfoque conceptual, la medida presentará unas u otras características. Si se mira desde un punto de vista computacional, por ejemplo, se puede pensar en la complejidad de Kolmogorov [LV97]; esta medida se define como el programa más corto que, dada una cadena, hay que escribir para producir como salida dicha cadena. Un experto en teoría de la información diría que la entropía de Shannon, que describe la complejidad como la longitud de la representación más pequeña posible de un mensaje (ritmo, en nuestro caso). Quizás el lector no haya pensado que la complejidad rítmica se pueda medir desde estas perspectivas tan inusuales. Falta de perspectiva es lo único que no está ausente en este tema: Lloyd compiló 42 medidas de complejidad y su artículo se llama Medidas de complejidad: una lista no exhaustiva [Llo01]. No cabe duda de que la complejidad rítmica tiene muchos ángulos desde que atacar su definición.

Aunque algunos psicólogos a principio de siglo se habían interesado por el problema de la complejidad rítmica (Stetson en 1905 y Weaver en 1939), no fue hasta los años 60 en que los psicólogos empezaron a aplicar la entropía de Shannon en sus estudios que el tema empezó a despertar verdadero interés en la investigación. La entropía de Shannon se puede considerar como la cantidad de información promedio que contienen los símbolos usados; véase, por ejemplo, el trabajo de Vitz y Todd de 1969 [VT69]. A partir de los años ochenta, con los trabajos de Essens, Povel y Schumulevich, se empezó a considerar la necesidad de la validación perceptual , esto es, de que seres humanos validaran perceptualmente la complejidad de las medidas y no solo por su estructura interna; véanse [PE85Ess95SP00]. Para un discusión de la variedad de medidas de complejidad y las disciplinas que se han interesado por esta cuestión, véase la introducción de la tesis de maestría de Thul [Thu08], páginas 3 y 4.

La intención de esta serie es mostrar cómo funcionan las medidas de complejidad más importantes, cómo se han evaluado y compararlas entre sí. Respecto a la bondad de las medidas, haremos hincapié en la evaluación perceptual así como en su comparación en diversas tradiciones musicales.

2. Medidas métricas

2.1. La medida de complejidad métrica de Toussaint

Las medidas que se presentan en esta sección se inspiran en las gramática generativa de la música de Lerdahl y Jackendoff [LJ83]; en su momento dedicamos a su libro Una teoría generativa de la música una serie de título homónimo [Góm14]. En particular, se basan en la jerarquía métrica de pesos, que consiste en asignar un peso a cada subdivisión o pulso del compás en función de su importancia métrica. La importancia métrica se define en función de los divisores del número total de pulsos del ritmo. Para ilustrar esto, consideremos un compás con 16 partes numeradas de 0 a 15, como en la figura de abajo. La posición 0 recibe peso 1 cuando se considera que el compás contiene una redonda. En ninguna otra posición puede empezar una redonda sin salirse del compás. Las posiciones 0 y 8 reciben peso 1 cada una porque en ellas se puede poner una blanca. Las posiciones 0, 4, 8, 12 reciben peso 1 cada una porque pueden albergar las negras. Las posiciones pares reciben 1 cada una porque pueden contener corcheas. Por último, todas las posiciones reciben peso 1 porque en cualquiera se puede poner una semicorchea. El peso final de una posición es la suma de los pesos que ha recibido.

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Figura 1: Jerarquía métrica de pesos (figura tomada de [Thu08])

Ahora dado un ritmo la complejidad métrica de Toussaint o simplemente la complejidad métrica es la suma de los pesos de las posiciones en que se encuentran las notas de ese ritmo. Por ejemplo, el ritmo [x . . x . . . x . . x . x . . . ], donde x denota una nota y el punto un silencio, tiene notas en las posiciones 0, 3, 7, 10 y 12. Entonces, su complejidad rítmica es 5+1+1+2+3=12. La idea de esta medida es que la complejidad del ritmo está asociada a la complejidad métrica.

Al lector no se le habrá escapado que el ejemplo que hemos puesto con un número de pulsos igual a 16 es un caso muy fácil. En realidad, los pesos de la jerarquía métrica dependen de los divisores del número de pulsos. Con 16 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 la jerarquía es única porque la factorización de 16 es única. Por ejemplo, con 12 no es así. El número 12 se puede escribir como 2 ⋅ 2 ⋅ 3, 2 ⋅ 3 ⋅ 2 y 3 ⋅ 2 ⋅ 2 y ello da lugar a tres jerarquías métricas, como muestra la figura de abajo.

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Figura 2: Jerarquía métrica de pesos para 12 pulsos (figura tomada de [Thu08])

En este caso la medida de un ritmo es la media de las medidas en cada jerarquía métrica.

Esta medida tal cual fue presentada inicialmente sufría carencias. Dado que es una medida aditiva, ritmos con más notas serán más complejos que ritmos con menos notas. Varias normalizaciones respecto al número de notas del ritmo y el número de pulsos del compás se han propuesto para corregir esta situación. Por otro lado, la medida premia las notas en las posiciones métricas fuertes, pero no está claro que la complejidad dependa intrínsecamente de pulsos en esas posiciones.

Palmer y Krumhansl [PK90] estudiaron empíricamente la cuestión de los pesos de la jerarquía métrica. Llevaron a cabo experimentos con músicos y no músicos para determinar el peso de cada pulso para varios compases. Estos pesos se han usado para modificar la medida de Toussaint y hacer que su diseñe se base en datos perceptuales.

2.2. La medida de Longuet-Higgins y Lee

La medida de Longuet-Higgins y Lee (LHL a partir de ahora, por brevedad) es una medida también inspirada en los niveles métricos, como la medida de Toussaint. Los niveles métricos se representan mediante una estructura de árbol que se construye recursivamente. Sea n el número de pulsos que tiene el ritmo. Se factoriza n y se consideran los factores primos de n. Sea p un factor primo de n y el nivel del árbol que estamos construyendo actualmente. A continuación se genera un árbol con las siguientes reglas:

  1. Para todos los nodos m a nivel , créense p hijos con padre común m.
  2. Increméntese en 1.
  3. Elimínese p de la lista de primos y procésese el siguiente factor primo en la lista.

Si n = 16, como en el ejemplo anterior, el árbol resultante es el que aparece en la parte de arriba de la figura 4 (el árbol sin pesos). El siguiente paso es agregar los pesos a esta jerarquía métrica. La manera de hacerlo es como sigue. El índice indica el nivel de la jerarquía métrica y empieza con = 1. Consideremos las hojas o nodos finales del árbol, y numerémoslos de 0 a 15. Inicializamos todas las hojas a cero. Siempre restamos uno a las hojas, excepto cuando i es cero o i es múltiplo de n/ℓ. Después de procesar el árbol con = 1, asignamos a el valor del producto del valor actual de ℓ por el primer factor primo de la factorización de n. Se vuelven a asignar los pesos a este nivel. Se multiplica por el siguiente factor primo y continuamos hasta que todos los factores primos son procesados. El valor final del peso de cada hoja es la suma de los pesos en cada uno de los pasos anteriores. En la figura de abajo aparecen los pesos para el ejemplo con n = 16.

Índice 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ℓ = 1 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
ℓ = 2 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
ℓ = 3 0 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1
ℓ = 4 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1
ℓ = 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Suma 0 -4 -3 -4 -2 -4 -3 -4 -1 -4 -3 -4 -2 -4 -3 -4

Figura 3: Construcción de los pesos en el árbol de jerarquía métrica de la medida LHL

El segundo árbol de la figura 4 muestra los pesos finales en las hojas. Obsérvese que los pesos todavía son mayores en las posiciones métricamente fuertes, aunque tomen valores negativos.

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Figura 4: Jerarquía métrica de la medida LHL (figura tomada de [Thu08])

De nuevo, cuando n no tiene una factorización única se producen varios árboles con diversas jerarquías métricas. La distancia LHL final será una distancia ponderada entre las distintas jerarquías métricas. La figura 5 muestra las jerarquías métricas asociadas a n = 12.

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Figura 5: Jerarquía métrica de la medida LHL (figura tomada de [Thu08])

Una vez que la jerarquía métrica y los pesos se han generado, dado un ritmo, la complejidad métrica LHL se calcula examinando los pulsos que tienen silencio y que tienen un peso mayor que la nota inmediatamente anterior. Si estamos procesando el pulso i de un ritmo y este resulta ser un silencio, buscamos la nota inmediatamente anterior a él. Sea j el índice donde tal nota se halla. Si wi,wj son los pesos de los pulsos i y j, respectivamente, entonces el peso del pulso i es la cantidad wi -wj. En el resto de los pulsos los pesos valen cero. La medida LHL es la suma de todos los pesos de los pulsos del ritmo.

En la figura 6 se el cálculo de la medida LHL para el ritmo soukous [x . . x . . x . . . x x . . . . ]. Los pulsos en que se producen pesos positivos son en 4, 8 y 12. Como se puede apreciar, la nota que precede a esos pulsos tiene un peso métrico menor que el del silencio.

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Figura 6: Cálculo de la medida LHL para el ritmo del soukous (figura tomada de [Thu08])

3. Medidas basadas en patrones

3.1. La complejidad cognitiva de Pressing

La idea de Pressing [Pre99] descansa en las jerarquías métricas, pero en la fase final adopta un enfoque de búsqueda de patrones. A partir de los resultados de los patrones determina la medida de la complejidad del ritmo.

Pressing primero crea una jerarquía métrica al estilo de Longuet-Higgins y Lee, dividiendo sucesivamente el número de pulsos. Si n = 16, como la factorización es única, da lugar a una sola estructura métrica, como se muestra en la figura 7; se ha dividido el ritmo acorde a los divisores de n.

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Figura 7: Complejidad cognitiva de Pressing para la clave son (figura tomada de [Thu08])

Para medir la complejidad del ritmo, Pressing define unos pesos asociados a cinco tipos de patrones específicos. Usando la terminología de Pressing, llamaremos sub-ritmos a los patrones que se encuentran en un determinado nivel métrico. Por ejemplo, en la figura anterior el segundo nivel tiene dos sub-ritmos; el tercero, cuatro, y así sucesivamente.

En la figura 8 se ven los patrones básicos que definió Pressing para su medida para el tercer nivel (nivel (c) en la figura). Estos patrones reciben los nombres de: a) patrón de relleno; b) patrón continuo; c) patrón de parte fuerte; d) patrón de subparte fuerte; e) patrón de síncopa; f) patrón nulo. Los pesos para cada patrón son, respectivamente, 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Pressing da una definición de estos patrones para todos los niveles posibles, pero aquí solo hemos mostrado la del tercer nivel.

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Figura 8: Patrones básicos en la complejidad cognitiva de Pressing

La medida es una media ponderada de los patrones que se suman a todos los niveles de la descomposición del ritmo.

Pressing no justificó la asignación de los pesos a estos patrones, lo cual le restó aceptación. Otro inconveniente es que Pressing solo definió la medida para ritmo binarios. No obstante, es posible definirla para ritmos ternarios y para un número de pulsos que no tenga factorización única (por vía de una media ponderada de las distintas medidas de cada descomposición del ritmo).

3.2. La complejidad de Keith

En [Kei91] Keith examina varios fenómenos de naturaleza rítmica y lleva a cabo un análisis matemático de ellos. Como ejemplo ilustrativo, Keith aborda el problema de medir el grado de síncopa de un ritmo dado. Su definición se apoya en la distinción de tres eventos: retardo, cuando una nota empieza en parte fuerte1 y termina fuera de ella; anticipación, cuando la nota empieza fuera de parte y termina sobre parte fuerte; y síncopa, que se concibe como una combinación de los dos eventos previos (véase la figura 9; de izquierda a derecha: retardo, anticipación y síncopa).

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Figura 9: Retardo, anticipación y síncopa.

De manera algo arbitraria, Keith asigna valores de 1 al retardo, de 2 a la anticipación y de 3 a la síncopa. Esta asignación parece, por lo menos, subjetiva y el propio Keith reconoce que “el problema de decidir la “fuerza” rítmica relativa del retardo, la anticipación y la síncopa es un interesante problema filosófico”.

La medida de Keith se limita a métricas compuesta de n pulsos, donde n es una potencia de 2. Vamos a dar su definición detallada con el fin de entender esta limitación. Su idea principal es que, dadoa un evento musical (una nota), para saber si está en parte fuerte o no hay que compararla con una plantilla métrica, que indica las partes fuertes y débiles según el tamaño (duraciones) del evento. Por ejemplo, si la potencia de 2 es 3, entonces habrá 23 = 8 corcheas y las plantillas de partes fuertes y débiles se ilustra en la tabla abajo (F es para la parte fuerte y D para la débil).

F D D D D D D D

F D D D F D D D

F D F D F D F D

F F F F F F F F

Figura 10: Diferentes niveles métricos en la definición de síncopa de Keith.

Un evento de tamaño 8 se compara con la primera plantilla (léase de arriba abajo). Los eventos de tamaño entre 4 y 7 se comparan con la segunda plantilla; los que van de 2 a 3, con la tercera plantilla; y finalmente, las corcheas, de tamaño 1, con la última plantilla, que solo está formada por partes fuertes. Esta plantilla de partes fuertes y débiles recuerda mucho a las jerarquías métricas de la medida de Toussaint y de Longuet-Higgins y Lee.

Podemos representar un ritmo de n notas por una sucesión circular (s0,s1,…,sn-1). Usaremos también la sucesión de intervalos entre notas (δ01,…,δn-1), donde δi = si+1 - si, para 0 ≤ i < n. El número δn es igual a L - sn-1, siendo L la longitud del ritmo completo. La localización de las partes fuertes es una función de la longitud del intervalo entre notas consecutivas. Una hipótesis implícita es que la métrica es siempre binaria y que las partes fuertes ocurren en algún múltiplo de una potencia de dos. Para cualquier nota dada si, la partes fuertes adyacentes se pueden describir como j2k y (j + 1)2k, donde k es el entero tal que 2k δi < 2k+1, y j es el entero tal que j2k ≤ si < (j + 1)2k.

Hagamos un ejemplo que ilustre cómo se calcula la medida de síncopa de Keith para el ritmo de la bossa-nova; véase la figura 11. La bossa-nova tiene la sucesión de notas (0,3,6,10,13,16) y la sucesión de intervalos entre notas (3,3,4,3,3) (hemos incluido el 16 para enfatizar que la última distancia se obtiene entre la última nota del ritmo y la primera). Nótese que la sucesión que damos para la bossa-nova tiene una nota de más para enfatizar el carácter circular de la sucesión. La siguiente tabla muestra los cálculos para obtener 9, el valor de la medida de síncopa, que está dado por la suma de los pesos wi.

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0 1 2 3 4 5
si 0 3 6 10 13 16
δi 3 3 4 3 3
wi 1 2 3 1 2

Figura 11: Anotación de los cálculos de la medida de síncopa de Keith para el ritmo de la bossa-nova.

4. Medidas basadas en distancias

4.1. La distancia de permutación

La distancia de permutación dirigida se basa en contar el número mínimo de operaciones para transformar un ritmo dado en otro. Es una generalización de la distancia de Hamming. Esas operaciones se limitan a intercambios de notas o silencios entre posiciones adyacentes y tienen las siguientes restricciones:

  1. Ambos ritmos han de tener el mismo número de pulsos.
  2. Se convierte el ritmo de más notas, R1, al de menos notas, R2.
  3. Cada nota de R1 tiene que moverse a una nota de R2.
  4. Cada nota de R2 ha de recibir al menos una nota de R1.
  5. Las notas no pueden cruzar el final del ritmo y aparecer por el principio.

En la figura 12 se muestra la distancia de permutación dirigida entre dos ritmos flamencos, el fandango y la seguiriya; se pueden apreciar los movimientos de las notas de la seguiriya para transformarse en el fandango. El número de movimientos es mínimo.

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Figura 12: La distancia de permutación dirigida entre el fandango y la seguiriya).

La distancia de permutación dirigida es entonces 4.

4.2. La medida ponderada de nota a parte

En la definición de la medida ponderada de nota a parte (DPNP a partir de ahora) medida centramos nuestra atención en los ataques de las notas entre partes fuertes en lugar de la estructura métrica, como hace Keith. Esta medida se basa en el concepto de distancia y es más flexible en cuanto que nos permite cuantificar el nivel de síncopa (de complejidad rítmica) de un amplio abanico de ritmos. Por ejemplo, consideremos los ritmos que se muestran en la figura 13; la medida de Keith no es adecuada para medir ritmos de esta complejidad.

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Figura 13: Ritmos que no pueden medirse con la medida de Keith.

Sin embargo, con la medida ponderada de nota a parte sí es posible medirlo; de hecho, tiene valor igual a 41∕8.

La distancia ponderada de nota a parte se define como sigue. En primer lugar, supondremos que cada nota termina donde empieza la siguiente. Sean pi,pi+1 dos partes fuertes de la métrica. Sea sj una nota que empieza después o sobre la parte fuerte pi pero antes de la parte fuerte pi+1; primero definimos T(sj) = mín{d(sj,pi),d(sj,pi+1)}, donde d es la distancia entre notas en términos de duraciones. Aquí la distancia entre dos partes fuertes se toma como la unidad, y, por tanto, la distancia d es siempre una fracción. Por ejemplo, las negras en un compás de 4/4 son partes fuertes, y, si las notas de la figura 14 se refieren a la parte fuerte más cercana:

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Figura 14: Síncopa medida con la medida DPNP.

entonces, las distancias respectivas T(sj) son 1/2, 1/4, 1/4, 1/3, 1/3, 1/5.

En la medida de síncopa de Keith la parte fuerte más cercana a una nota estaba implícita. Para permitir una mayor variedad de ritmo la medida DPNP exige especificar cuales son las partes fuertes. En el ejemplo anterior las partes fuertes están dadas por el compás. Así, en el ejemplo de la figura 13 las partes fuertes se encuentran a intervalos de negra. La medida DPNP está especialmente diseñada para entradas en notación estándar, ya que las partes fuertes se deducen del compás.

La medida DPNP D(sj) de una nota sj se define entonces como sigue: 0, si sj = pi; T1(x), si la nota sj pi termina antes o en pi+1; --2- T(sj), si la nota sj pi termina después de pi+1 pero antes de o en pi+2; y   1 T-(sj), si la nota sj pi termina después de pi+2. Sea n el número de notas de un ritmo. Entonces la medida DPNP de un ritmo es la suma D(sj), para todas las notas sj, dividida por n. La tabla de la figura 16 proporciona una lista de los valores DPNP para varios ritmos.

Usaremos la notación que introdujimos antes para representar un ritmo como una sucesión circular, junto con una sucesión de intervalos entre notas y las partes fuertes dadas por el compás para escribir el algoritmo de la medida DPNP. Consideremos una nota si. Esta nota puede empezar en una parte fuerte pj o puede caer entre dos partes fuertes consecutivas. Definimos di como

        ( (  s - p  )  ( p   - s ) ) di = m ´in  ---i---j-  ,  -j+1---i-   .            pj+1 - pj     pj+1 - pj

Ahora asignamos un peso wi a una nota si como sigue:

si si = pj
entonces wi ← 0
si pj < si < si+1 ≤ pj+1
entonces wi ← 1∕di
si pj < si < pj+1 < si+1 < pj+2
entonces wi ← 2∕di
si pj < si < pj+1 < pj+2 ≤ si+1
entonces wi ← 1∕di

Nótese que asignamos el mayor valor de síncopa a una nota si en el caso en que si y si+1 caigan entre dos partes fuertes consecutivas.

En la figura 15 hemos registrado los cálculos para determinar la medida DPNP para el ritmo de la bossa-nova. Nótese que el compás implica que las partes fuertes son las blancas. Esto se traduce en un vector de partes fuertes igual a (0,4,8,12,16). La suma de las D(x) para este ritmo es 20 y da una distancia final de 20∕5 = 4.

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0 1 2 3 4 5
si 0 3 6 10 13 16
di 0 1/4 1/2 1/2 1/4
wi 0 2×4 2×2 2×2 1×4

Figura 15: Anotación de los cálculos de la medida DPNP para el ritmo de bossa-nova.

Nótese que si n no se introduce en la definición de DPNP, entonces la medida crece según lo hace el número de notas del ritmo. Eso daría como resultado una medida incorrecta. En la tabla 16 hay una columna que muestra la suma de las distancias D(x). Se puede apreciar cómo se comporta tal suma en términos de n y la influencia del número de notas en la medida.

Ritmo Notación partitura xD(x) DPNP
Retardo PIC 2 1/2
Anticipación PIC 2 1/2
Síncopa PIC 6 6∕5 = 1.2
Tresillo PIC 6 6/6=1
Quintillo PIC 15 15/8=1.875
Bembé PIC 21 21/7=3
Son PIC 14 14/5=2.8
Bossa-Nova PIC 20 20/5=4
Ritmo irregular PIC 35 35/7=5

Figura 16: Ejemplos de la medida DPNP.

Los pesos que aparecen en la definición de la medida merecen una explicación. Es razonable dar un peso a una nota que se toca fuera de una parte fuerte. Nuestra medida da menos peso cuando la nota aparece entre dos partes fuertes consecutivas y, según se aproxima la nota a la siguiente parte fuerte, gana más peso. Sin embargo, hay una gran diferencia si la nota cruza una parte fuerte o sencillamente termina antes o en la siguiente parte fuerte. En el primer caso hay una sensación de síncopa más fuerte que en el segundo. Por tanto, recibe más peso con el fin de reflejar este hecho musical.

5. Conclusiones

En este artículo hemos presentado medidas métricas y medidas basadas en patrones y medidas basadas en distancias para la complejidad rítmica. Como ha podido comprobar el lector, los enfoques son muy distintos y producen a su vez resultados también distintos. Queda para los siguientes artículos estudiar su validación perceptual.

 

Nota:

1 La terminología española es parte fuerte para lo que en inglés llaman strong beat o sencillamente beat; a veces el término pulse se usa como equivalente a parte fuerte.

 

Bibliografía

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