7. (Marzo 2016) Cuantización y sistemas electorales
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7. (Marzo 2016) Cuantización y sistemas electorales
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Escrito por Eugenio Hernández (Universidad Autónoma de Madrid)   
Miércoles 16 de Marzo de 2016

Mi procesador de textos subraya en rojo la palabra “cuantización”. El diccionario online de la RAE incluye la palabra “cuantizar”: Aplicar los conceptos y métodos de la física cuántica al estudio de un fenómeno. No piense el lector que necesita saber física cuántica para entender lo que sigue. No vamos a escribir sobre física, sino sobre tratamiento de imágenes digitales. Y sobre sistemas electorales.

Las imágenes digitales están formadas por píxeles (del inglés picture element), que son unos cuadraditos en los que se divide el rectángulo que forma la imagen. Cuando se dice que una imagen tiene un tamaño de 256x512 quiere decir que tiene 256x512 = 131.072 píxeles. Una imagen digital se guarda en los dispositivos electrónicos dando a cada píxel tres valores numéricos que representan en el sistema RGB (Red-Blue-Green) la intensidad del azul, del rojo y del verde del píxel. La combinación de estos colores produce 256x256x256 = 16.777.216 tonalidades de colores.

El valor que se asigna a la intensidad de uno de los colores básicos de cada píxel es un número entero entre 0 y 255. No es casualidad que entre 0 y 255 haya (contando ambos números) 256 = 28 números enteros. Así podemos representar estos números con 8 bits, es decir un byte.

Cuando se toma una fotografía con una cámara digital, los programas con los que va equipado el dispositivo realizan varias operaciones para reducir su tamaño digital a la cantidad que hayamos establecido. Si tomamos la fotografía de un plato de comida con una tableta, enviarla a través de Internet al teléfono móvil de un amigo requiere reducir su tamaño digital para que pueda ser transmitida rápidamente, teniendo cuidado de que nuestro amigo reciba suficiente información para reconocer el manjar que estamos saboreando.

84 90
91 84

La reducción del tamaño de una imagen implica realizar varias operaciones, entre ellas la de agrupar píxeles. Imaginemos que las tonalidades azules que forman los cuatro píxeles de la parte superior izquierda de una imagen son los de la tabla de la derecha. Si el color azul de estos pixeles quiere representarse con un solo número, una posibilidad es hacer, y se hace en el caso más sencillo de tratamiento de imágenes, su media aritmética: en este caso sale 87,25. Este número decimal no representa ninguna tonalidad del color azul, porque solo podemos usar números enteros entre 0 y 255. Es necesario asignar a este valor decimal un número entero. Esto se llama “cuantización” en el procesamiento de señales.

Con el número 87,25 una posibilidad es dejarlo en 87, es decir quedarnos con la parte entera del número, que representamos E(87,25) = 87. Si aceptamos esta cuantización, y hubiéramos obtenido 64,75 al hacer la media aritmética, hubiéramos elegido E(64,75) = 64. Es una posibilidad. El lector habrá advertido que hay más. Otra de ellas es el redondeo que hacen los bancos con los céntimos, solo que aquí lo hacemos con la parte no decimal. Así R91(87,25) = 87 y R(64,75) = 65, donde la letra R se utiliza por ser la inicial de Redondeo. Cuando se quiere comprimir mucho una imagen el redondeo proporciona resultados un poco mejores que tomar la parte entera.

¿Y qué tiene que ver la cuantización con los sistemas electorales? Paciencia, que ya lo explico.

Elecciones ha habido varias este año. Todavía queda una más. Como no somos adivinos, usaremos los datos de la última votación: las elecciones al Parlament de Catalunya del 27 de septiembre de 2015. Los resultados finales se describen en el cuadro siguiente, tomados, como todos los datos restantes, de:

http://resultats.parlament2015.cat/09AU/DAU09999CM_L1.htm

Candidaturas
JxSi
C’s
PSC
CSP
PP
CUP
Votos
1.628.714
736.364
523.283
367.613
349.193
337.794
Diputados
62
25
16
11
11
10

El Parlament de Catalunya tiene 135 escaños, por lo que la mayoría absoluta se obtiene con 68 diputados. Entre JxSi y CUP suman 72 diputados, lo que supera a la mayoría absoluta en cuatro. ¿Cómo se ha obtenido este número de diputados?

El número de diputados de cada partido no refleja con total fidelidad el porcentaje de votos obtenidos. Una de las razones por lo que esto sucede es porque, para elegir diputados, Catalunya está dividida en cuatro distritos, que se corresponden con sus provincias: Barcelona, Girona, Lleida y Tarragona. Otra es que se utiliza la ley D’Hondt para repartir los escaños (propuesta en 1878 por el jurista belga y profesor de Derecho Civil y Fiscal en la Universidad de Gante, Victor D’Hondt).

En la ley D’Hondt se divide el número de votos de cada partido entre los enteros sucesivos 1, 2, 3, etc., hasta llegar al número de escaños que se deben repartir. El partido que tenga el número más grande en esta tabla consigue su primer escaño. Retirado este número, se busca en la tabla el número mayor entre los que quedan. Si pertenece al mismo partido, éste habría conseguido dos escaños; si pertenece a otro partido, este segundo escaño del Parlament sería el primero del otro partido. Se procede así hasta asignar todos los escaños. El método es sencillo de describir y rápido de aplicar si tenemos que repartir pocos escaños. Pero si hay que repartir muchos, como en Barcelona, que tiene asignados 85, ya no es tan rápido. Afortunadamente tenemos computadores y expertos que saben programar esta ley.

Pero hay otra forma de hacerlo que, ni es tediosa, ni necesita programadores expertos. Thomas Jefferson fue el primer Secretario de Estado (1789–1793), el segundo Vicepresidente (1797–1801) y el tercer Presidente de los Estados Unidos de América (1801-1809). En 1793 propuso un método de asignación de escaños que describiremos a continuación.

En el método de Jefferson se busca un número D, llamado divisor, de manera que las partes enteras de cada cociente de los votos de cada partido entre D sumen los escaños que se desea repartir. Si te parece complicado, mira lo fácil que es con un ejemplo. Tomemos los resultados de las últimas elecciones en la provincia de Barcelona.

Barcelona
JxSi
C's
PSC
CSP
PP
CUP
Total
Votos
1.112.922
581.032
421.487
312.527
272.804
255.328
2.956.100

El número total de votos es 2.956.100 y hay que repartir 85 escaños. Al dividir el número de votos entre el número de escaños se obtiene, tomando la parte entera, 34.777. Usemos este número como divisor: D = 34.777:

Barcelona 85 Diputados – Método de Jefferson
JxSi C's PSC CSP PP CUP Total
Votos 1.112.922 581.032 421.487 312.527 272.804 255.328 2.956.100
D=34.777 32 16 12 8 7 7 82

La tabla anterior se ha hecho en la hoja de cálculo EXCEL © usando la función ENTERO(Votos/D). Por ejemplo, ENTERO(1.112.192/34.777) = ENTERO(32,0016) = 32. Hay un problema: solo hemos repartido 82 escaños. Necesitamos un divisor más pequeño para que los escaños asignados aumenten. Con la hoja de cálculo bien preparada solo hay que variar D hasta llegar a conseguir 85 escaños:

Barcelona 85 Diputados – Método de Jefferson
JxSi C's PSC CSP PP CUP Total
Votos 1.112.922 581.032 421.487 312.527 272.804 255.328 2.956.100
D=34.100 32 17 12 9
8
7 85

En este caso D=34.100 y el resultado es el mismo que se puede ver en la página Web oficial del Parlament de Catalunya.

Los resultados para las otras provincias, con el método de Jefferson son los siguientes:

Girona 17 Diputados – Método de Jefferson
JxSi C's PSC CSP PP CUP Total
Votos 216.333 48.346 33.416 18.399 22.660 33.117
D=18.399 11
2
1 1
1
1
17

Lleida 15 Diputados – Método de Jefferson
JxSi C's PSC CSP PP CUP Total
Votos 126.922 26.612 19.364 9.878 16.761 18.736
D=12.692 10
2
1 0
1
1
15

Tarragona 18 Diputados – Método de Jefferson
JxSi C's PSC CSP PP CUP Total
Votos 172.537 80.374 49.016 26.808 36.968 30.613
D=19.170 9
4
2 1
1
1
18

También en estos casos el resultado es el mismo que el que se obtiene con la ley D’Hondt. No es casualidad. El divisor D en el método de Jefferson puede tomarse como el cociente que se ha usado para repartir el último escaño con la ley D’Hondt. Parece que no había mucha comunicación a través del Océano Atlántico en la primera mitad del siglo XIX desde el nuevo al viejo mundo.

El procesamiento de señales, y los bancos, nos enseñan que en lugar de tomar la parte entera de un número se puede hacer el redondeo, y quizá el resultado sea más justo. Hagamos pues el método de Jefferson, pero sustituyendo la función ENTERO por la función REDONDEO en la hoja de cálculo de Excel ©. Solo estamos cuantificando de otra manera.

¡Cuidado! No hemos inventado nosotros este método. Fue propuesto por Daniel Webster (1782-1852), hombre de estado y orador nacido en New Hampshire (EEUU). El método de Webster también se puede hacer de manera similar al método D’Hondt, pero se utilizan como divisores los números impares: 1, 3, 5, … Etc., en lugar de los números naturales. Este método también fue propuesto por el matemático francés André Sainte-Laguë (1882-1950) y se usa, por ejemplo, en Alemania, Noruega, Suecia, Dinamarca y Nueva Zelanda. Tampoco en la segunda mitad del siglo XIX las noticas viajaban rápido entre el nuevo y el viejo mundo.

El reparto de escaños de las elecciones al Parlament de Catalunya del 27 de septiembre de 2015 con el método Webster hubiera sido el siguiente:

Barcelona 85 Diputados – Método de Webster
JxSi C's PSC CSP PP CUP Total
Votos 1.112.922 581.032 421.487 312.527 272.804 255.328
D=34.500 32 17 12 9
8
7 85

Girona 17 Diputados – Método de Webster
JxSi C's PSC CSP PP CUP Total
Votos 216.333 48.346 33.416 18.399 22.660 33.117
D=22.100 10
2
2 1
1
1
17

Lleida 15 Diputados – Método de Webster
JxSi C's PSC CSP PP CUP Total
Votos 126.922 26.612 19.364 9.878 16.761 18.736
D=14.000 9
2
1 1
1
1
15

Tarragona 18 Diputados – Método de Webster
JxSi C's PSC CSP PP CUP Total
Votos 172.537 80.374 49.016 26.808 36.968 30.613
D=21.000 8 4
2 1
2
1
18

Hay un cambio de escaño en Girona, que pierde JxSi y lo gana el PSC. Otro cambio de escaño se produce en Lleida, que lo pierde JxSi y lo gana CSP. En Tarragona también JxSi pierde un escaño en favor del PP. El reparto de escaños en el Parlament sería ahora:

Catalunya 135 Diputados – Método de Webster
JxSi C's PSC CSP PP CUP Total
Escaños 59 25 17 12 12 10 135

Con el método de Webster - Sainte-Laguë, la agrupación JxSi + CUP tendría 69 escaños, uno por encima de la mayoría absoluta, y no cuatro como se obtenía con el método de D’Hondt - Jefferson.

La decisión de usar las decimonónicas agrupaciones provinciales como circunscripciones, que se legisla en la Ley Electoral española, y que es copiada por las leyes autonómicas, así como el reparto de escaños por provincias, que tiende a favorecer a las menos pobladas --donde además, por tener menos escaños, es más difícil hacer un reparto equitativo--, produce sesgos en la proporcionalidad de los resultados. Éstos podría eliminarse si las elecciones se realizaran con un distrito único. La existencia de partidos con implantación en una sola comunidad autónoma aconsejaría usar las comunidades autónomas como circunscripciones en las elecciones Generales, y así favorecer su presencia en el Congreso Nacional. Pero dado que no existen partidos provinciales, cabría pensar acerca de la posibilidad de tener un distrito único en las elecciones autonómicas.

Juntemos los votos de cada partido en las distintas provincias de Catalunya y hagamos el reparto D’Hondt. A estas alturas debemos ser capaces de hacerlo a la Jefferson:

Catalunya 135 Diputados – Distrito Único – Método D’Hondt - Jefferson

JxSi C's PSC CSP PP CUP Total
D=28.500 1.628.714 736.364 523.283 367.613 349.193 337.794 3.942.961
Escaños 57
25
18 12
12
11
135

La agrupación JxSi - CUP tiene ahora 68 escaños, justo lo que se necesita para la mayoría absoluta. Un diputado de estos partidos apretando erróneamente el botón de la votación haría que ganara el resto de los partidos.

Hagamos, finalmente, el reparto con el método de Webster – Sainte-Laguë con un distrito único:

Catalunya 135 Diputados – Distrito Único – Método Webster - Sainte-Laguë

JxSi C's PSC CSP PP CUP Total
D=29.350 1.628.714 736.364 523.283 367.613 349.193 337.794 3.942.961
Escaños 55
25
18
13
12
12
135

¡Sorpresa! Con este método de reparto la agrupación C’s – PSC – CSP – PP tendría 68 escaños, y la agrupación JxSi - CUP tendría 67. Este reparto resulta más acorde con la proporción de votos obtenidos por cada partido en toda Catalunya. De ser así, Catalunya podría tener la primera mujer Presidente de la Generalitat (la candidata de C’s) y quizá tres Vicepresidentes (los candidatos de PSC, de CSP y de PP). O quizá no, porque es complicado hacer que los políticos se pongan de acuerdo.

Lo que queda claro es la importancia de la “cuantización” en los sistemas electorales.

 

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