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65. (Febrero2015) Otras armonías son posibles (I)
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Viernes 20 de Febrero de 2015

1. Introducción

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Gracias al acertado consejo de un buen amigo, recientemente cayó en mis manos el excelente libro Other harmony (beyond tonal and atonal) [Joh14a], escrito por el compositor Tom Johnson. En este libro se examinan, desde un punto divulgativo pero riguroso, varios sistemas de armonía musical, algunos de los cuales tienen principios matemáticos. Entre estos sistemas se encuentran la armonía tonal, la armonía atonal y lo que el autor llama muy provocativamente Otras Armonías. Las mayúsculas son correctas (Other Harmony en el original), en efecto, y nosotros mantendremos esa provocación en este artículo. Por armonía atonal, Johnson se refiere a la armonía que rechaza las jerarquías tonales y la prominencia de un tono particular, pero que todavía usa el concepto de tono; dentro de esta categoría estaría, por ejemplo, el dodecafonismo. Una fuerza vigorosa dentro de la música occidental ha sido siempre la superación del sistema armónico en curso. Nuevas reglas permitieron que lo que antes eran disonancias o progresiones prohibidas ahora se usen con total naturalidad. Ese empuje llevó la armonía tonal a su límite a principios del siglo XX. En ese tiempo la superación de la armonía tonal clásica era en muchos casos una elección estética inevitable. Sin embargo, como ilustra Johnson en su libro, las formas en que los compositores superaron la armonía tonal fueron extraordinariamente variadas. Muchas de ellas son desconocidas, bien porque no tuvieron éxito entre los compositores, o bien porque otras sistemas compositivos les hicieron sombra y cayeron en el olvido. En el libro de Johnson se rescatan algunos de esos sistemas compositivos.

La serie de cuatro artículos de los próximos meses será una recensión crítica de Other Harmony. En la figura de abajo, se muestra el índice de contenidos del libro, el cual nos da una idea de cuál es el camino que ha seguido Johnson es su particular andadura por la armonía no convencional, por las Otras Armonías (esta figura y otras que aparecerán en los artículos han sido tomadas de la página web de la editorial  [Joh14b], donde se entiende que son de libre disposición siempre y cuando se cite la fuente). Johnson explora muchos sistemas armónicos que no pertenecen a los reinos clásicos de la tonalidad y la atonalidad, sino a las tierras disconformes y heterodoxas de la Otra Armonía. Algunos de estos últimos sistemas, como veremos, no calaron en la práctica compositiva; unos pocos —el ejemplo más notable es el de Messian — sí tuvieron repercusión musical y se incorporaron a las prácticas compositivas modernas.

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Figura 1: Índice de contenidos del libro Other Harmony [Joh14b]

En este primer artículo explicaremos la armonía tonal para el lector sin una fuerte formación musical. Para este lector recomendamos el libro Armonía [PMA12], de Walter Piston, el cual presenta la armonía de una manera muy gradual y didáctica, con un buen número de ejercicios; otras referencias a tener en cuenta son [KP12ASC10] Entendemos que para el lector músico o con una fuerte formación musical esta sección no tiene más que un interés divulgativo. Si lo considera necesario, puede saltársela. Dentro de la sección de armonía tonal presentaremos algunos modelos matemáticos que en especial permitirán una visualización geométrica de las relaciones armónicas. Con ello cerraremos el artículo de este mes.

2. Armonía tonal

En esta sección seguiremos básicamente la exposición del libro de Piston [PMA12]. Pondremos en negrita aquellos términos que constituyan una definición.

La armonía, definida de una manera eminentemente práctica, es el estudio de los acordes —el uso de dos o más notas simultáneamente— , su construcción, el enlace entre ellos y sus progresiones. La armonía de la tradición clásica occidental está basada fundamentalmente en las propiedades acústicas del sonido.

Todo empieza con el concepto de intervalo. Un intervalo son dos sonidos. Si suenan a la vez, hablamos de intervalo armónico y si suenan una tras el otro, de intervalo melódico; véase la figura 2.

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Figura 2: Intervalos melódicos y armónicos

Las notas que forman los intervalos se extraen de las escalas. Las escalas son distribuciones de notas. Hay muchos tipos de escalas (véase [Slo47] como ejemplo sobresaliente de recopilación). Las que se usan en la tradición clásica occidental son principalmente escalas diatónicas, formadas por la combinación de tonos y semitonos. Las dos principales escalas son la escala mayor y la escala menor. En la figura de abajo se muestran ejemplos de varias escalas.

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Las escalas diatónicas están formadas por siete notas y cada una de esas notas recibe el nombre de grado. Los grados tienen nombres especiales:

  1. Tónica o nota de la escala. Cuando decimos escala de do mayor indicamos que la nota tónica es do.
  2. Supertónica o nota siguiente a la tónica.
  3. Mediante o tercer grado de la escala.
  4. Subdominante o cuarto grado.
  5. Dominante o quinto grado.
  6. Submediante o sexto grado.
  7. Sensible o séptimo grado. El nombre de sensible se aplica cuando la distancia entre la tónica en la siguiente octava y esta nota es de medio tono. Si es de un tono entero, se habla de séptimo grado.

Los grados más importantes en la armonía clásica son la tónica, la dominante y la subdominante.

Dado que los acordes están formados por sonidos tocados simultáneamente, necesitamos clasificar los intervalos armónicos. Fijemos una escala mayor cualquiera y comparémosla con la correspondiente escala menor. Los intervalos comunes a ambas escalas son el unísono, la cuarta, la quinta y la octava. Estos intervalos se llaman justos. El resto de los intervalos de la escala mayor son intervalos mayores y son la segunda, la tercera, la sexta y la séptima. En el caso de la escala menor, estos intervalos son menores. Cuando a uno de los intervalos anteriores se le baja medio tono a la nota más grave, o bien se le sube medio tono a la nota más aguda, tenemos un intervalo aumentado. Si ahora se sube medio tono la nota más grave o se baja medio tono la más aguda, tenemos un intervalo disminuido. La figura de abajo contiene una tabla con la clasificación de los intervalos (m= menor, M= mayor, J=justo, A=aumentado, d=disminuido).

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Figura 3: Clasificación de los intervalos (figura tomada de [Wik15])

Como dijimos más arriba, un acorde se forma por dos o más sonidos que se producen simultáneamente. El acorde más común es la triada o acorde de tres notas. Las triadas se forman encadenando intervalos de tercera sobre la nota base del acorde. Según el tipo de terceras implicadas en la formación de la triada tenemos los siguientes tipos de acordes:

  • Triada mayor, formada por una tercera mayor seguida de una tercera menor;
  • Triada menor, formada por una tercera menor seguida de una tercera mayor;
  • Triada aumentada, formada por dos terceras mayores consecutivas;
  • Triada disminuida, formada por dos terceras menores consecutivas.

Véase la figura 2 para ejemplos de estos tipos de triadas.

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Las notas de los acordes pueden variar en su disposición y entonces hablamos de las inversiones del acorde. Si la primera nota del acorde es la más grave, el acorde está en estado fundamental; si la tercera del acorde es la nota más grave, el acorde está en primera inversión; y, por último, si la quinta del acorde es la nota más grave, entonces el acorde está en segunda inversión. En la figura 4 vemos un acorde y sus inversiones.

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Figura 4: Un acorde y sus inversiones

La armonía clásica occidental se ha basado en el concepto de consonancia y disonancia. Tales conceptos se aplican a la clasificación de los intervalos. Se consideran consonantes los intervalos justos, las terceras y las sextas (sean estas dos últimas mayores o menores). Las segundas, las séptimas, los intervalos disminuidos y aumentados se consideran disonantes. Como excepción, la cuarta justa es disonante si está sola y es consonante si tiene hay una tercera o una quinta justa por debajo de ella.

Piston [PMA12], en la página 14, dice que “la cualidad esencial de la disonancia es su sentido del movimiento y no, como a veces se cree erróneamente, su nivel de desagrado al oído”.

Las progresiones de acordes que se encuentran en la música tonal occidental son las que aparecen en la lista de abajo (tomadas de nuevo de [PMA12]). Téngase en cuenta que estas progresiones son producto de la observación de la práctica compositiva y no un conjunto de reglas establecidas a priori. Esta lista produce una clasificación de las progresiones en frecuentes, menos frecuentes y poco frecuentes (se sigue del orden de presentación en la lista).

  1. Al grado I le sigue el V o el IV; a veces el VI; y con menos frecuencia el II o el III.
  2. Al grado II le sigue el V; a veces el VI o el IV; y con menos frecuencia el I o el III.
  3. Al grado III le sigue el VI; a veces el IV; y con menos frecuencia el I, el II o el V.
  4. Al grado IV le sigue el V; a veces el I o el II; y con menos frecuencia el III o el VI.
  5. Al grado V le sigue el I; a veces el IV o el VI; y con menos frecuencia el II o el III.
  6. Al grado VI le sigue el II o el V; a veces el III o el IV; y con menos frecuencia el I.
  7. Al grado VII le sigue el I o el III; a veces el VI; y con menos frecuencia el II, el IV o el V.

La lista anterior da lugar a un grafo de relaciones entre los acordes tal y como se muestra en la figura 5. Las líneas gruesas muestran las progresiones frecuentes; las líneas discontinuas corresponden a las progresiones menos frecuentes; las progresiones poco frecuentes no se muestran por claridad del dibujo.

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Figura 5: Grafo de las progresiones de acordes

Este grafo nos ilustra el concepto de función tonal. Vemos que el grado V, la dominante, es la manera más frecuente de acabar en la tónica (el grado VII sobre la nota sensible se suele interpretar como una forma de dominante), seguido en menor medida por la subdominante. Estos tres grados son los más importantes y con los que se establece el polo tonal en una pieza musical en el periodo de la práctica común (término habitual para referirse a la música clásica entre 1600 y 1900 aproximadamente).

En la definición dada al principio de la sección señalamos que la armonía estudia la forma en que los acordes se enlazan entre ellos. No solo es importante qué acorde va después de otro, sino cómo se pasa de uno a otro. Este proceso se llama conducción de voces. En esta breve introducción a la armonía tonal, por falta de espacio, no entraremos a describirla, pero el lector interesado puede consultar las referencias [PMA12KP12ASC10].

Los triadas consonantes se pueden volver disonantes cuando se les añade una nota más. Esa nota es con frecuencia una séptima, pero también se encuentran otras notas como la novena, la once o la trece, especialmente cuando avanzamos en el tiempo en el periodo de la práctica común. Los acordes disonantes tienen que resolverse en acordes consonantes y recuperar con ello el equilibrio entre las tensión —producida por las disonancias— y la relajación —proporcionada por la consonancia—.

También es normal en la armonía tonal el cambio de tono. Tal proceso se llama modulación. Por ejemplo, es normal que en una sonata haya modulaciones a otros tonos. Los tonos a los que se modulan habitualmente son los tonos vecinos o los menores relativos. La relación de vecindad de la que hablamos tiene que ver con el número de notas comunes que tienen las escalas de los tonos implicados. Por ejemplo, si estamos en do mayor, la escala de la menor tiene las mismas notas, y por ello encontramos en la práctica común modulaciones al tono menor (aparte de cambios de modo). Si seguimos en do mayor, las tonalidades de sol mayor y fa mayor comparten las mismas notas salvo uno. El cambio entre do mayor y estas tonalidades es más suave que en el caso de otras tal como fa sostenido mayor. La figura 6 muestra el clásico círculo de quintas en que se muestran estas relaciones de vecindad tonal.

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Figura 6: Círculo de quintas (figura tomada de [Alm14])

Para el lector que quiera profundizar más, recomendamos las referencias  [PMA12KP12ASC10] así como el mapa conceptual de [YK15].

3. Visualización del sistema tonal

La idea de representar el sistema tonal de una manera gráfica y concisa ha suscitado interés en músicos y matemáticos desde siempre. Euler, por ejemplo, propuso un modelo en el plano en que las terceras se colocan en el eje y y las quintas en el eje x, tal y como se ve en la figura 7.

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Figura 7: Modelo bidimensional del sistema tonal de Euler (figura tomada de [Joh14a])

En su libro A geometry of music, Dmitri Tymoczko [Tym11] ofrece una visualización más elaborada que comprende no solo el sistema tonal clásico sino la práctica común extendida (esto es, sistemas armónicos más complejos). Johnson, basándose en las ideas de Tymoczko, ofrece el siguiente diagrama del sistema tonal. Aquí cada tono tiene tres vecinos y las tonalidades (mayores y menores) se disponen en forma hexagonal. Los vecinos son tres: la diagonal derecha, la izquierda y el vecino situado en la vertical. Por ejemplo, si tomamos do mayor, tiene su tono relativo menor en la diagonal derecha, la tonalidad menor en la diagonal izquierda y abajo la tercera menor (mi menor en este caso). Si el vecino en la vertical está arriba, es una tercera menor ascendente y si el vecino está abajo es una tercera menor descendente.

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Figura 8: Visualización del sistema tonal

El libro de Johson también glosa brevemente otros modelos de visualización del sistema tonal, en particular, el de Mazzola [Maz02], que usa un toro.

La visualización de la armonía de una pieza de música por vía de programas de ordenador es una realidad desde hace tiempo. Un programa que visualiza muy bien la armonía de una pieza, sobre todo si es tonal, es Mapping Tonal Harmony [?]; véase una captura de pantalla en la figura siguiente.

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Figura 9: El sistema Mapping Tonal Harmony

Otro sistema, más propio para conocedores de la armonía en profundidad, es ChordGeometries, también de Tymoczko [Tym15], donde se muestra la evolución de la armonía de una pieza sobre un círculo.

Bibliografía

[Alm14] M. Almendralejo. Modulaciones diatónica y cromática. https://aulavirtualmtardio.wordpress.com/2013/11/28/modulaciones-diatonica-y-cromatica/, 2014.

[ASC10] E. Aldwell, C. Schachter, and A. Cadwallader. Harmony and Voice Leading. Cengage Learning, 2010.

[Joh14a] Tom Johnson. Other harmony. 75 Editions, 2014.

[Joh14b] Tom Johnson. Other harmony. http://oh.editions75.com, 2014.

[KP12] S. Kostka and D. Payne. Tonal Harmony. McGraw-Hill, 2012.

[Maz02] G. Mazzola. The Topos of Music. Birkhäuser Basel, 2002.

[PMA12] W. Piston and J. L. Milán Amat. Armonía. Mundimusica, 2012.

[Slo47] N. Slonimsky. Thesaurus of scales and melodic patterns. Charles Scribner’s Sons, 1947.

[Tym11] D. Tymoczko. A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice. Oxford University Press, 2011.

[Tym15] D. Tymoczko. Chordgeometries. http://dmitri.tymoczko.com/ChordGeometries.html, consultada en enero de 2015.

[Wik15] Wikipedia. Intervalo musical. http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_%28m%C3%BAsica%29, consultada en enero de 2015.

[YK15] YK. Analyzing harmony. http://www.mindomo.com/mindmap/analyzing-harmony-6c33195ff154442ea3619565cba64afa, consultada en enero de 2015.

 

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