Bhaskhara (1114-1185)
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Bhaskhara (1114-1185)
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Escrito por Ricardo Moreno Castillo (Universidad Complutense de Madrid)   
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Bhaskhara (1114-1185)
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sin imagenBhaskhara vivió entre los años 1114 y 1185, y es el último gran matemático de la India medieval. En sus dos tratados, Vija-Ganita y Lilavati, reunió muchas aportaciones originales con diversos problemas procedentes de Brahmagupta y de otras fuentes.

Lilavati es el nombre de la hija de Bhaskhara. El día de su nacimiento, cuenta una leyenda, los astros predijeron que moriría soltera. Pasaron los años y Lilavati se convirtió en una hermosísima mujer. Su padre, queriendo contrariar al destino, le buscó un apuesto joven como marido. Después convocó a los astrólogos más célebres, y entre todos señalaron la hora precisa en que la boda debía celebrarse. Prepararon una clepsidra, consistente en un depósito cilíndrico con la base perforada metido en un recipiente lleno de agua. De este modo, el agua entraba en el cilindro, y cuando éste quedara del todo hundido, sería llegado el momento para oficiar el matrimonio. Lilavati, curiosa, se asomó a la clepsidra, y una de las perlas que adornaban su vestido cayó dentro y obstruyó el orificio. Así, la hora propicia nunca llegó y el novio, aconsejado por los astrólogos, huyó. Bhaskhara aceptó la inutilidad de enfrentarse al destino y, para consolar a su hija, dio su nombre a su obra más importante. De esta manera, el nombre de Lilavati vivió para siempre, y esto fue para ella como una segunda vida.

El cálculo con el cero

En el Vija-Ganita aparece por primera vez la afirmación de que el resultado dividir por cero es infinito:

La fracción en la que el denominador es cero se llama cantidad infinita. En esta cantidad en la cual cero es el divisor no hay alteración posible por mucho que se añada o se quite, lo mismo que no hay cambio en Dios infinito e inmutable.

Después de esta cita se sostiene que (a/0)0 = a, Como si Bhaskhara no fuera capaz de mantener la claridad de ideas que se transparenta en el texto.


Problemas de segundo grado

Este problema de segundo grado aparece en el Lilavati:

De un enjambre de abejas, un número igual a la raíz cuadrada de la mitad de su número total fue a libar a las flores. Después, un número de abejas igual a ocho novenas partes del enjambre total fue a libar al mismo lugar. Después fue un zángano, se introdujo en una de las flores y quedó atrapado dentro de ella. A su zumbido, su consorte llegó desde el exterior. ¿Cuántas abejas tenía el enjambre?

Del enunciado se desprende que todas las abejas fueron a libar a las flores y que la pareja del zángano fue la última en llegar. Entonces, si x es el número de abejas del enjambre, el problema se traduce a la ecuación:

ecuación

Se puede considerar como incógnita a x o, aun mejor, hacer x = 2z2, y entonces la nueva ecuación es 2z2 - 9z - 18 = 0. Su solución es 6, y el número de abejas es 72.

Este otro problema, también de segundo grado procede en cambio del Vija-Ganita:

En un bosque, un número de monos igual al cuadrado de la octava parte del total del número de monos está jugando ruidosamente. Los doce monos restantes, en una actitud más comedida, están en una colina cercana, molestos por los gritos que vienen del bosque. ¿Cuál es el número total de monos de la manada?

El número x de monos es solución de la ecuación:

ecuación

A diferencia de la ecuación anterior, las dos soluciones x = 16 y x = 48 son igualmente admisibles.

Problemas diofánticos

De entre los problemas indeterminados del Lilavati, destacaremos el siguiente: buscar cuatro números cuya suma coincida con la de sus cuadrados. Esto equivale a resolver la ecuación:

x + y + z + u = x2 + y2 + z2 + u2

Claramente carece de soluciones enteras, y habrá que conformarse con racionales. Bhaskhara da la solución x = 1/3, y = 2/3, z = 1 y u = 4/3.

Este otro problema diofántico es del Vija-Ganita:

Un hombre tiene 5 rubíes, 8 zafiros, 7 perlas y 90 monedas. Otro tiene 7 rubíes, 9 zafiros, 6 perlas y 62 monedas. Sabiendo que ambos son igualmente ricos, calcular los precios de cada clase de gema.

Si x es el precio de cada rubí, y el de cada zafiro, y z el de cada perla, el problema da lugar a la ecuación:

5x + 8y + 7z + 90 = 7x + 9y + 6z + 62

que convenientemente simplificada, se convierte es esta otra:

2x + y - z = 28

Bhaskhara  supone z = 1, y la ecuación se convierte en 2x + y = 29, que proporciona las soluciones x = 14, y = 1 y z = 1, y también x = 13, y = 3 y z = 1.

Un problema de tercer grado

Entre los problemas diofánticos del Vija-Ganita tiene un enorme interés este de tercer grado. Se trata de encontrar dos números tales que la suma de sus cubos sea un cuadrado y la de sus cuadrados sea un cubo. Bhaskhara supone los números de la forma x = z2 e y = 2z2. Esto garantiza ya la primera condición:

x3 + y3 = z6 + 8z6 = 9z6 = (3z3)2

Ahora hay que escoger z de modo que se cumpla la segunda:

x2 + y2 = z4 + 4z4 = 5z4

El número más pequeño que convierte al último miembro en un cubo es z = 25, de manera que x = 625 e y = 1250 son los números buscados:

6252 + 12502 = 390625 + 1562500 = 1953125 = 1253
6253 + 12503 = 244140625 + 1953125000 = 2197265625 = 468752

Sobre un triángulo racional

Bhaskhara planteó el problema de encontrar un triángulo rectángulo de lados racionales cuya superficie fuera numéricamente igual a la longitud de su hipotenusa. Para empezar, las longitudes de los lados del tal triángulo no pueden ser números enteros. En efecto, si la hipotenusa mide a y los catetos b y c, han de suceder estas dos cosas:

a2 = b2 + c2
2a = bc

Ambas llevan a que b2 = 4(b/c)2 + 4. Si b = c, b = 8, que no es un número entero. Si b ≠ c, b2 no es entero y tampoco b. Bhaskhara parte del triángulo de lados 3, 4 y 5, y postuló que el buscado por él tenía por lados 3x, 4x y 5x. Esto lleva a la ecuación 6x2 = 5x, cuya solución es x = 5/6.  Los lados miden entonces 5/2, 10/3 y 25/6.

La culebra y el pavo real

Uno de los problemas geométricos más populares del Lilavati es el siguiente: Un pavo real está posado en lo alto de un poste, en cuya base una culebra tiene su escondrijo. Localiza a la culebra a una distancia del pie del poste igual a tres veces su  altura, se lanza sobre ella mientras ésta intenta ganar su nido, y la apresa cuando ambos han recorrido la misma distancia. ¿A qué distancia del agujero tuvo lugar la captura?

figura

Bhaskhara resuelve el problema de la siguiente manera: si OA es el poste y la culebra es avistada en el punto C, entonces OA = h y OC = 3h (ver figura). Si la captura tiene lugar en un punto B a una distancia x de su base, entonces:

h2 + x2 = (3h - x)2

Unos cálculos sencillísimos llevan a que x = 4h/3.


Bibliografía

  • DICKSON, L. E. (1971), History of de theory of numbers, Chelsea Publishing company, New York.
  • GERICKE, H. (1984), Mathematik in Antike Orient, Springer-Verlag, Berlín.
  • GHEVERGHESE, G. (1996), La cresta del pavo real, Ediciones Pirámide, Madrid.
  • MORENO, R. (2011), Aryabhata, Brahmagupta y Bhaskara, tres matemáticos de la India, Editorial Nivola, Madrid.
  • ORE, O.  (1988), Number Theory and its History, Dover Publications, New York.
  • VAN DER WAERDEN, B. L. (1983), Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer-Verlag, Berlín.

 

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