45. (Diciembre 2007) Todos ganan a todos
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45. (Diciembre 2007) Todos ganan a todos
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Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)   
Sábado 01 de Diciembre de 2007

dados de coloresExiste la creencia de que los jugadores de ventaja aprovechan no sólo su habilidad manual sino que utilizan en muchas ocasiones objetos trucados con los que ganar cualquier apuesta.

También las matemáticas pueden ayudar a estos jugadores tramposos si conocen algunas propiedades poco conocidas. La propiedad que utilizaremos en el siguiente ejemplo vamos a denominar “no transitividad de las leyes de probabilidad". Construimos cuatro dados que contengan los siguientes números en sus caras.

 

dado 1 dado 2 dado 3 dado 4

El juego se realiza con dos jugadores: el primero elige un dado, el segundo otro, se lanzan los dados y gana quien obtenga mayor puntuación.
A simple vista, parece que el jugador que elija primero tiene ventaja sobre el segundo pues alguno de los dados será mejor que los demás. Sólo necesita saber cuál es dicho dado. Sin embargo, y por increíble que parezca, siempre con probabilidad 2/3 el dado rojo gana al verde (basta observar que los valores 18, 19, 20 y 21 ganan siempre), el verde gana al azul (pues los valores 6, 7, 8 y 9 siempre pierden), el azul gana al amarillo (pues los valores 25 y 26 ganan siempre y el resto ganan tantas veces como pierden), y, debido a la falta de transitividad, el dado amarillo gana al rojo (pues sólo pierden los valores 3, 4 y 5 contra 18, 19, 20 y 21). Esto significa que el segundo jugador que elige dado tiene la ventaja de saber el dado de su contrincante para poder tomar el dado ganador.
Evidentemente, este juego debe realizarse un gran número de veces para estabilizar la probabilidad de cada uno. En promedio, dos de cada tres veces gana el jugador que escoge en segundo lugar.

Esta singularidad probabilística fue descubierta por el estadístico Bradley Efron. Además, esta violación de la transitividad es la base de algunas paradojas de votación: las preferencias sociales que se determinan por votación entre un número determinado de candidatos no obedece la propiedad transitiva. En el libro de John Allen Paulos, "El hombre anumérico" (Tusquets, 1990), se muestran algunos ejemplos de esta situación.

Existen otras combinaciones de dados con las mismas características. Algunas versiones comerciales pueden encontrarse en la página Grand Illusions.

Con cartas también puede hacerse un juego que simule esta propiedad. La versión que muestro a continuación la he aprendido del excelente mago sueco, muy aficionado a los juegos matemáticos, Lennart Green.

  1. Separa de la baraja y coloca sobre la mesa caras abajo las siguientes cartas:
    Grupo A:
    Grupo B:
    Grupo C:
    Grupo D:
  2. Pide a un espectador que elija uno de los grupos de cartas y lo mezcle.
  3. Retira tú ahora otro grupo de cartas y lo mezclas.
  4. Explica que el juego consiste en ir repartiendo cartas sobre la mesa una por una, alternativamente. Aquel jugador cuya carta tiene un valor mayor, sumará un punto. Gana el juego quien suma más puntos.
  5. Al terminar el juego, se devuelven las cartas a su lugar.
  6. El juego puede repetirse cuantas veces quiera el espectador pero nunca podrá ganar.

Se entiende que el secreto está en que el mago sabe que el grupo A gana al B, el B gana al C, el C gana al D y el D gana al A. Si el espectador elige primero, el mago sabe qué montón gana al elegido por el espectador. Éste pensará que puede elegir el montón del mago pero no sospechará que no existe un grupo que gane al resto.

 

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