13. (Septiembre 2009) Topología Musical (2)
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13. (Septiembre 2009) Topología Musical (2)
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Escrito por Rafael Losada   
Martes 15 de Septiembre de 2009

Mazzola

En 1989 el matemático suizo Guerino Mazzola publica "Geometría del Tono" que aplica los grupos de isometría, la teoría de Galois sobre conceptos -en vez de sobre polinomios algebraicos- y el álgebra categórica al análisis musical.
 
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Topos
 
En 2002, Mazzola publica una profunda y mejorada ampliación de ese trabajo, bajo el título “The Topos of Music”. Este título tiene doble sentido. Por una parte, se puede traducir de forma general como “El lugar de la música”. Pero admite otro sentido mucho más concreto. Los “Topos” son objetos matemáticos (un tipo particular de Categoría) que vienen a reflejar las posibles visiones o perspectivas de un lugar abstracto a partir de las propiedades o relaciones matemáticas necesarias para su coherencia lógica.
 
Intuitivamente, en la Teoría de Categorías se usan flechas en vez de puntos, es decir, los objetos no son entes estáticos, sino el cúmulo de todas las posibles visiones o perspectivas en un lugar (topos) dado. Dicho de otra forma, se priman “las relaciones entre los objetos individuales” que conserven la estructura, más que los propios objetos en sí.
 
The Topos of Music
 
En esta obra de Mazzola se puede observar el gran progreso de las Matemáticas, la Teoría de la Música y el desarrollo de las Nuevas Tecnologías en la última década del siglo XX.
 
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Mazzola crea una base, basada en los fundamentos teóricos de los Topos, que permite establecer relaciones lógicas y geométricas entre los objetos básicos de la Teoría Musical. Esta base incluye el análisis del ritmo, la melodía y la armonía.
 
A partir de esa base teórica, Mazzola puede establecer topologías y clasificaciones de los objetos musicales, analizando sus relaciones dentro de ese Topos. Un punto clave en esas relaciones, como no podía ser de otro modo, reside en la presencia de la periodicidad como uno de los fundamentos musicales. La aritmética modular tiene un importante papel en muchas de las relaciones rítmicas, melódicas y armónicas.
 
Dado el amplio abanico de recursos matemáticos necesarios para establecer el Topos que permita el estudio de los objetos musicales, en la propia obra se incorporan anexos sobre las teorías de Conjuntos, Correspondencias, Monoides, Grupos, Anillos, Álgebras, Módulos, Transformaciones lineales y afines, Cálculo, Geometría y Topología algebraica, Categorías, Topos y Lógica.
 
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Igualmente, otro anexo recoge los fundamentos de la naturaleza y análisis del Sonido y nuestra Percepción del mismo, mostrando especial interés por los modelos de consonancia y la disonancia.
 
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Intentar sintetizar aquí esta extensa obra de Mazzola es inviable. La publicación cuenta con más de 1300 páginas cuajadas de densa información, además de un CD con ejemplos del uso de programas informáticos creados específicamente para el análisis musical. Nos limitaremos a describir brevemente algunas de las imágenes que ilustran The Topos of Music, con la esperanza de que tal vez, casi por sí mismas, comuniquen algunas de las líneas de investigación que allí aparecen.
 
Conjuntos y representaciones
 
Así, la siguiente imagen representa el primer paso hacia la digitalización, la asignación de coordenadas a los distintos aspectos de una nota musical.
 
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Junto con los conjuntos numéricos, para una correcta trascripción se necesita incorporar uno o más tipos de orden, como el que muestra la siguiente imagen, que representa un orden de tipo lineal.
 
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Además de las notaciones formales, podemos ayudarnos de notaciones más intuitivas, como por ejemplo flechas para indicar transformaciones. Por ejemplo, el aumento o disminución de un semitono (sostenido y bemol) puede ser representado mediante la flecha correspondiente.
 
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Distancias
 
En la siguiente imagen vemos una proyección de un compás de un Preludio de Chopin sobre el plano y sus dos proyecciones unidimensionales asociadas. El análisis de estas dos proyecciones revela los aspectos métrico-rítmicos de la notación plana.
 
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Las diferencias relativas entre notas son claves en la armonía (notas simultáneas) y la melodía (notas consecutivas). La siguiente imagen muestra las cuatro soluciones para las cuales, a partir de una nota de referencia, la segunda se sitúa a cuatro semitonos de distancia y la tercera a tres de la segunda.
 
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Escalas
 
La periodicidad de los 12 semitonos permite establecer la relación con Z12.  De esta forma, se pueden parametrizar las distintas transformaciones de Z12 en sí mismo.
 
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Por ejemplo, podemos establecer las diferentes escalas basadas en secuencias de tonos y semitonos. La siguiente imagen recoge algunas de las escalas más comunes, donde la nota base está representada por el punto más alto del ciclo y las demás notas siguen el sentido horario.
 
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Motivos
 
Las notas, individualmente, son como los puntos en una figura geométrica: no se perciben como tales sino que generan figuras, formas, agrupaciones, que son los objetos reales de estudio y composición. Las agrupaciones más pequeñas forman los motivos. En la siguiente imagen se señalan tres motivos (M1, M2 y M3) y una agrupación que no lo es, M0 (sólo son cuatro notas formando un armónico). La reducción de los parámetros implicados en cada motivo -algo así como quedarse con el baricentro de un triángulo en vez de con todo el triángulo- es una vía para poder comparar diferentes distribuciones de motivos a lo largo de una misma obra o entre obras distintas.
 
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Simetrías
 
En la parte izquierda de la siguiente imagen vemos la representación de dos inversiones. La primera, sin centro fijo, es decir, entre notas. La segunda, con centro fijo. En la parte derecha vemos la representación de una inversión en el plano como un giro de 180º (una simetría central).
 
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La siguiente representación plana corresponde a tres series dodecafónicas de Webern. Recordemos que en el serialismo la presencia de la simetría es parte de su propio fundamento teórico. Observemos como las diagonales hacen de ejes de simetría.
 
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El lema de Yoneda
 
Uno de los puntos cruciales en The Topos of Music es el lema de Yoneda. Este importante resultado viene a mostrar cómo podemos ampliar el conocimiento de una Categoría estableciendo una correspondencia entre sus objetos y las relaciones entre ellos.
 
Tras el lema de Yoneda hay un cambio de filosofía en el entendimiento de los núcleos de información. Ya no son los objetos los centros de atención, sino las diferentes perspectivas que podemos obtener de ellos. La comparación entre las distintas perspectivas de dos objetos nos ofrece, precisamente, la información deseada acerca del parecido o diferencia entre ambos objetos.
 
Los dos siguientes diagramas muestran un ejemplo intuitivo de este procedimiento. Aunque los motivos M1 y M2 son diferentes, podemos establecer una biyección entre las relaciones que mantienen ambos motivos (flechas) con otras notas fundamentales de la composición. La existencia de esta biyección nos indica que tales motivos pueden cumplir un papel similar en la composición, pero si hacemos solamente esto (sustituir cada motivo por sus relaciones) podemos llegar a la errónea conclusión de que ambos motivos son similares.
 
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Sin embargo, si seguimos estudiando todas las perspectivas, es decir, todos los tipos de relación de ambos motivos entre sí y con los otros objetos, la diferente naturaleza de cada uno queda revelada.
 
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La composición de las proyecciones de M1 sobre la altura de la primera nota (q) y sobre la diagonal (s) da por resultado precisamente M2. Así que, intuitivamente, podemos ver a M2 como una transformación de M1. Pero esta transformación es irreversible. M1 “puede ver” a M2 pero M2 no “puede ver” a M1.
 
Un buen ejemplo de cómo el cambio de perspectiva ayuda al conocimiento lo tenemos en la pintura. La siguiente imagen muestra el famoso cuadro La escuela de Atenas, de Rafael.
 
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Tomemos los elementos arquitectónicos esenciales, además de 58 figuras humanas, y simulemos en el espacio virtual del ordenador la estructura básica del cuadro:
 
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Ahora rotamos el espacio virtual obteniendo una nueva perspectiva. Su análisis muestra simetrías que no podían encontrarse bajo la perspectiva del cuadro original.
 
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Programación orientada a objetos
 
Los modernos lenguajes de programación orientada a objetos, como Java, son en esencia un acceso a la programación desde un punto de vista de Categorías. Sus características, como el encapsulado, las herencias, los métodos, clases e instancias, realizan precisamente lo que sugiere el lema de Yoneda: reemplazar las entidades por la respuesta ante determinadas condiciones, es decir, la identificación mediante el comportamiento.
 
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Probablemente el más excitante campo actual de investigación en la música se refiere a su análisis mediante las más avanzadas aplicaciones de software orientado a objetos, como Rubato, OpenMusic o Symbolic Composer (imagen anterior).
 
Gracias a Mazzola y otros matemáticos hoy podemos disfrutar de estas poderosas herramientas de composición y análisis musical, modernos frutos de importantes teoremas algebraicos.

 

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