Tartaglia, Nicolás Fontana (ca.1499-1557)
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Tartaglia, Nicolás Fontana (ca.1499-1557)
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Escrito por Vicente Meavilla Seguí (Universidad de Zaragoza)   
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Tartaglia, Nicolás Fontana (ca.1499-1557)
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Nicolás Fontana (Tartaglia)1. Algunos datos biográficos y científicos

1499-1500. Nicolás Fontana nació en Brescia (Italia).

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1512. Durante la toma de Brescia por el ejército francés, al mando de  Gaston de Foix, murió el padre de Nicolás y éste recibió una cuchillada que le afectó la mandíbula y el paladar.
Esta herida le ocasionó una especie de tartamudez, que le valió el apodo de “Tartaglia” [= tartamudo]. Nicolás aprendió a leer y a escribir por sí mismo y también fue autodidacta en su aprendizaje de las ciencias físicas y matemáticas.

1516-1518. Se trasladó a Verona donde enseñó Matemáticas.

1534. Se instaló en Venecia donde impartió clases de Matemáticas en la escuela parroquial de San Zanipolo y se relacionó con los artilleros venecianos.

1535. Tartaglia fue retado por Antonio María Fior, discípulo de Scipione del Ferro (1465-1526), a un torneo matemático en el que cada contendiente debía resolver treinta problemas propuestos por su adversario. Nicolás presentó una colección de cuestiones variadas sobre aritmética, geometría y álgebra. Por su parte, Antonio María propuso una serie de problemas con un denominador común: todos se podían resolver mediante una ecuación cúbica del tipo x3 + px = q  (p > 0 , q > 0). El perdedor  se comprometía a pagar una comida para un número de comensales igual al de cuestiones resueltas por el ganador.
Tartaglia resolvió los treinta problemas y ganó el desafío.


1537. Se publicó el tratado Nova scientia inventa (Venecia) consagrado a la balística. En él, Tartaglia sostuvo que la trayectoria de un proyectil lanzado por un cañón se componía de tres tramos: el primero,  rectilíneo e inclinado; el segundo, curvilíneo [= un arco de circunferencia]; el tercero, rectilíneo y vertical.

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1539. Gerónimo Cardano (1501-1576), famoso médico, astrólogo, filósofo y matemático, residente en Milán, se enteró del descubrimiento de Tartaglia relativo a la ecuación x3 + px = q, y quiso incluirlo en su obra Practica Arithmetica Generalis que estaba terminando.

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Gerónimo Cardano

Cardano propuso al librero Zuan Antonio da Bassano, amigo de ambos, que visitase a Tartaglia para que le facilitase el método de resolución. Este encuentro tuvo lugar el 2 de enero y la respuesta de Tartaglia fue negativa.
Gerónimo le escribió una carta, fechada el 12 de febrero, en la que reiteró su petición. Tartaglia permaneció firme en su decisión de no comunicar su fórmula.
El 13 de marzo Cardano le remitió una nueva carta en la que le invitaba a su casa de Milán, prometiendo que le pondría en contacto con Alfonso de Ávalos, gobernador del Milanesado. Tartaglia aceptó con la esperanza de  presentar al gobernador sus recientes investigaciones en el campo de la artillería.  La reunión se celebró el 25 de marzo de 1539.
En esta ocasión, Gerónimo logró su objetivo y Tartaglia le reveló sus métodos para resolver las  cúbicas x3 + px = q , x3 + q = px , x3 = px + q  (p > 0 , q > 0). Para ello, se sirvió de unos tercetos de los que hablaremos más adelante.

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Tercetos de tercer grado

Cardano juró por los Santos Evangelios que no haría públicos los descubrimientos de Nicolás.

1542. Cardano y su discípulo Ludovico Ferrari (1522-1565) viajaron a Bolonia y obtuvieron permiso de Aníbal de la Nave, yerno de Scipione del Ferro, para consultar los documentos científicos que éste había heredado de su suegro. Entre ellos encontraron la resolución de la ecuación x3 + px = q que precedía a la de Tartaglia en veinte años. Esta fue la regla que, tres años más tarde, Cardano incluyó en su Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis [= Ars Magna].

1545. Se imprimió el Ars Magna.

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En el capítulo XI de esta obra [Cubo y primera potencia iguales a número], se ofrece la resolución de la cúbica x3 + px = q y se  atribuye la paternidad de la regla a Scipione del Ferro de Bolonia. No obstante, Cardano señala que, en su disputa con Antonio María Fior, Tartaglia la (re)descubrió.
La publicación de “su fórmula”  hizo que Tartaglia se sintiese traicionado por Cardano que, según Nicolás, había incumplido su sagrado juramento y obrado de mala fe.

1546. Se editaron las Quesiti et inventioni diverse, escritas en forma de diálogo y dedicadas a la ingeniería y al arte militar. En esta obra Tartaglia rectificó la teoría propuesta en Nova scientia inventa y  consideró que la trayectoria de un proyectil lanzado por un cañón es totalmente curvilínea.
Además, en este tratado aparece la versión de Tartaglia sobre su polémica con Cardano. Se reproducen las cartas intercambiadas y las conversaciones que mantuvieron. Tartaglia anima a Cardano a que desmienta lo que sea falso. Cardano no respondió a tal invitación.

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1547. El 10 de febrero Tartaglia recibió respuesta a sus quejas por parte de Ludovico Ferrari. Se inició así una sucesión de réplicas y contrarréplicas, los famosos cartelli y risposti. Ferrari escribió seis y Tartaglia otros seis. En el último de ellos, fechado el 24 de julio de 1548, Tartaglia aceptaba las condiciones de un duelo matemático con Ferrari que empezó y acabó el 10 de agosto de 1548 con la victoria del discípulo de Cardano.

1551. Se publicó La travagliata inventione (Venecia), manual en el que se tratan asuntos tan diversos como la recuperación de barcos hundidos, la predicción del tiempo, etc.

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1556. Se editaron las dos primeras partes  del General trattato de numeri et misure, dividido en seis. Las cuatro siguientes se publicaron en 1560 y la sexta fue escrita por un “docto matemático” que utilizó material del “tartamudo” de Brescia.
La primera parte del General trattato es un extenso tratado de aritmética práctica en el que se exponen profusamente las cuatro operaciones aritméticas elementales.
La segunda se dedica a la aritmética teórica e incluye el estudio de las potencias y la extracción de raíces cuadradas y cúbicas. En una de sus páginas, Tartaglia ofrece algunas noticias acerca de la resolución de las ecuaciones cúbicas y sobre su controversia con Cardano. Mención especial merece el cálculo de las once primeras potencias de un binomio en el que interviene el “triángulo aritmético” o “triángulo de Tartaglia”.
La tercera parte se consagra a la geometría práctica y la cuarta a la geometría especulativa.
En la quinta se estudia la geometría desde una óptica constructiva, primero en el plano y después en el espacio. Para construir la perpendicular a una recta desde uno de sus puntos, Tartaglia utiliza un procedimiento que ya fue utilizado por el matemático árabe Abu’l Wafa (940-998).

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Perpendicular a una recta desde uno de sus puntos
(Método de Abu’l Wafa)

Sea B un punto de la recta dada r.
Trácese una circunferencia de centro arbitrario C que pase por B. Sea A el otro punto de intersección de dicha circunferencia con la recta r.
Dibújese  la recta que pasa por A y C. Sea D el punto de intersección de dicha recta con la circunferencia.
En esta situación, la recta BD es perpendicular a r por el punto B.

La sexta parte se consagra al álgebra, pero su contenido no va más allá de las ecuaciones de segundo grado. A la parte teórica sigue una colección de problemas mercantiles y geométricos resolubles por ecuaciones lineales o cuadráticas.

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Portada de la primera parte del General trattato di numeri et misure (Venecia, 1556) General trattato de numeri …, Primera parte, fol. 25v. Multiplicación “por cuadrilátero” y “por gelosía”

1557. Nicolás Fontana murió en Venecia el 13 de diciembre.

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2. El álgebra sincopada de Tartaglia

En sus investigaciones de carácter algebraico, los matemáticos del Renacimiento italiano no utilizaron un simbolismo como el actual. Para representar la incógnita, sus potencias y los signos de las operaciones elementales hicieron uso de algunos caracteres [los caracteres cósicos] y abreviaturas. Para ilustrar el lenguaje del que se sirvió Tartaglia en sus trabajos algebraicos presentamos dos textos (uno de Quesiti et inventioni diverse y otro que se incluye en la respuesta de Nicolás al segundo cartello de Ludovico Ferrari.

TEXTO 1
Problema propuesto por el Maestro Antonio Veronese a Tartaglia

(16 de septiembre de 1527)

M.A. Una figura rómbica, cuyos lados miden 10 pies, tiene un área de 72 pies superficiales. Pregunto, ¿Cuál es la razón del diámetro [diagonal] mayor al diámetro [diagonal] menor?

N. No me parece un problema muy difícil, dado que, dividiendo el rombo en dos triángulos, cada uno de ellos tendrá un área de 36. Para saber cuál es la base de cada uno pongo que dicha base es una cosa. Luego, calculo la perpendicular [altura] y encuentro que es igual a R. universal de 100 men. 1/4 de censo. De modo similar calculo el área, que es igual a R. universal de 25 censos men. 1/16 de censo de censo. Esto debe ser igual a 36. Elevo al cuadrado los dos términos y resulta 1296 igual a 25 censos men. 1/16 censo de censo. Quito los quebrados, restauro las partes y encuentro que el valor de la cosa es R. universal de 200 más [Tartaglia escribe piu] R. 19264. Esto será el diámetro mayor del rombo. El diámetro menor será R. V. 200 men. R. 19264.

Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XIII

COMENTARIO

SIMBOLISMO DE TARTAGLIA

SIMBOLISMO ACTUAL

cosa

x

censo

x2

censo de censo

x4

piu

+

men.

R.

R. universale  ó  R. V.

(...)

Teniendo en cuenta la tabla anterior, los cálculos de Tartaglia se puede traducir del modo siguiente:

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TEXTO 2
Problema propuesto por Tartaglia en su respuesta al segundo cartello
de Ludovico Ferrari

Encuentro que 27 cu.cu más 36 primeros relatos más 54 segundos relatos más 8 cubos iguales  a 1000. Pregunto si esta ecuación (y otras similares) es resoluble por fórmula general y, en caso afirmativo, cuánto vale la cosa.

COMENTARIO

SIMBOLISMO DE TARTAGLIA

SIMBOLISMO ACTUAL

cubo

x3

primo relato

x5

segundo relato

x7

cu. cu

x9

La ecuación presentada por Tartaglia se convierte en:

27x9 + 36x5 + 54x7 + 8x3 = 1000,

si se atiende a la información contenida en el cuadro anterior.


3. La resolución algebraica de la ecuación cúbica: tragicomedia en cuatro actos

Primer acto: los dos problemas de Zuanne de Tonini da Coi

Si atendemos al testimonio de Tartaglia, contenido en el diálogo mantenido con Zuanne de Tonini da Coi (Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XIV), en 1530 o antes Nicolás ya conocía una regla general para la resolución de la cúbica x3 + px2 = q  (p, q  > 0). Sin embargo, por aquel entonces Tartaglia desconocía el procedimiento para resolver cúbicas del tipo x3 = px + q.


QUESITO XIV que me fue propuesta en Verona
por el Maestro Zuanne de Tonini da Coi, que tiene
una escuela en Brescia, y me la hizo llegar
Messer Antonio de Cellica el año 1530

MAESTRO ZUANNE. Encuentra un número tal que multiplicado por su raíz [cuadrada] más 3 sea igual a 5. De forma similar, encuentra tres números tales que el segundo sea igual al primero aumentado en 2, el tercero sea igual al segundo aumentado en 2, y cuyo producto sea 100.

N. M. Zuanne, me has mandado estos dos problemas como cuestiones imposibles de resolver o desconocidas por ti; porque procediendo por Álgebra, el primero conduce a 1. cubo más 3 censos iguales a 5 [x3 + 3x2 = 5] y el segundo a 1. cubo más 6 censos más 8 cosas iguales a 1000 [x3 + 6x2 + 8x = 1000, siendo x el número menor. Notemos que si se toma como incógnita el número mediano, se llega a la ecuación x3 = 4x + 1000]. Según F. Luca [Pacioli] y otros, estas ecuaciones son irresolubles por regla general. Tú crees que con estos problemas puedes superarme y aparentar que eres un gran matemático. He oído que haces lo mismo con todos los profesores de esta ciencia de Brescia, los cuales, por temor a estas cuestiones, no se atreven a hablar contigo y quizás saben más de esta ciencia que tú (…)

M.Z. Entiendo lo que me has escrito y que consideras tales casos como imposibles (…)

N. Yo no digo que dichos casos sean imposibles. De hecho, para el primer caso, el de cubo y censos iguales a número, estoy convencido de que he encontrado la regla general, pero por ahora quiero guardarla en secreto por varios motivos. Para el segundo, el de cubo y censos y cosas iguales a número, confieso que no he sido capaz de encontrar la regla general. Con esto no quiero decir que sea imposible encontrarla aunque hasta ahora no haya sido encontrada. No obstante, me apuesto diez ducados contra cinco a que no eres capaz de resolver con regla general ninguna de las dos cuestiones que me has propuesto. Deberías avergonzarte de proponer a otros algo que tu no entiendes, pero que finges entender, para aparentar que eres alguien importante.

Segundo  acto: El desafío entre Antonio María Fior y Nicolás Tartaglia

Parece ser que la primera persona que resolvió algebraicamente la ecuación de tercer grado x3 + px = q (p > 0, q > 0)  fue Scipione del Ferro, profesor de la Universidad de Bolonia. Según Tartaglia (Quesiti et inventione diversi, libro IX, quesito XXV) lo hizo en 1506 y según Cardano (Ars Magna, capítulo XI) en 1515. Scipione nunca publicó su solución pero la dio a conocer a un reducido grupo de amigos entre los que se encontraba su discípulo Antonio María Fior.

El año 1535, Tartaglia fue retado por Antonio María a un torneo matemático en el que cada contendiente debía resolver treinta problemas propuestos por su adversario. Nicolás presentó una colección de cuestiones sobre aritmética, geometría y álgebra (sólo han llegado hasta nosotros cuatro de ellas).

Por su parte, Fior propuso una serie de problemas que se podían resolver mediante una cúbica del tipo x3 + px = q  (p > 0 , q > 0)

Tartaglia resolvió los treinta problemas y ganó el desafío.


Algunos problemas propuestos por Tartaglia

La primera cuestión, de las 30 que le propuse [a Antonio María Fior], si no recuerdo mal, decía:

Encuentra una cantidad irracional que multiplicada por su raíz [cuadrada] más 40 haga un número racional y discreto [x(√x+ 40) = a].

La segunda:

Encuentra una cantidad irracional que multiplicada por 30 menos la raíz [cuadrada] de dicha cantidad haga un número racional y discreto [x(30 – √x) = a].

La tercera:
Encuentra una cantidad que sumada al cuádruplo de su raíz cúbica haga 13
[x3 + 4x = 13].

La cuarta:
Encuentra una cantidad tal que restándole su raíz cúbica resulte 10
[x3 = x + 10].

Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XXV

 


 

Los treinta problemas propuestos por Antonio María Fior

1. Encuentra un número que sumado a  su raíz cúbica sea igual a 6 [x3 + x = 6].

2. Encuentra dos números en proporción dupla tales que si se multiplica el cuadrado del mayor por el menor, y este producto se suma a los dos números buscados, entonces el resultado es 40 [(2x)2·x + 2x + x = 40 ó 4x3 + 3x = 40].

3. Encuentra un número tal que si se cubica, y este cubo se suma al número, entonces resulta 5 [x3 + x = 5].

4. Encuentra tres números en proporción tripla tales que si se multiplica el cuadrado del menor por el mayor, y este producto se suma al número mediano, entonces el resultado es 7 [x2·9x + 3x = 7 ó 9x3 + 3x = 7].

5. Dos socios hacen compañía con un capital común de 900 ducados  Si uno aporta la raíz cúbica de lo que aporta el otro, ¿cuánto aporta cada socio? [x3 + x = 900].

6. Dos hombres ganan 100 ducados y quieren repartírselos de forma que uno reciba la raíz cúbica del otro. Pregunto, ¿cuánto le corresponde a cada uno? [x3 + x = 100].

7. Encuentra un número que sumado al doble de su raíz cúbica sea igual a 13. [x3 + 2x = 13]

8. Encuentra un número que sumado al triple de su raíz cúbica sea igual a 15. [x3 + 3x = 15]

9. Encuentra un número que sumado al cuádruplo de su raíz cúbica sea igual a 17. [x3 + 4x = 17]

10. Divide el número 14 en dos partes de modo que una sea la raíz cúbica de la otra [x3 + x = 14].

11. Divide el número 20  en dos partes de modo que una sea la raíz cúbica de la otra [x3 + x = 20]

12. Un joyero vende dos joyas por 1900 ducados, un diamante y un rubí. El rubí se vende por la raíz cúbica del precio del diamante. ¿Cuánto vale el rubí? [x3 + x = 1900]

13. Un prestamista deja a una persona una cantidad de dinero con la condición de que al cabo del año le debe dar de interés la raíz cúbica del  capital. Al cabo del año el prestamista recibe entre capital e intereses 800 ducados. ¿Cuál fue el capital prestado? [x3 + x = 800].

14. Haz de 13 dos partes tales que el producto de las dos sea igual al cuadrado de la parte menor multiplicada por sí misma [x3 + x = 13]

15. Un hombre vende un zafiro por 500 ducados obteniendo un beneficio igual a la raíz cúbica de su capital. ¿Cuál es este beneficio? [x3 + x = 500]

Los problemas siguientes (16-30) se refieren a la división de un número en dos partes tales que una es la raíz cúbica de la otra.

Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XXXI

 

 

Tercer acto: Tercetos de tercer grado

Gerónimo Cardano se enteró del descubrimiento de Tartaglia relativo a la resolución de la cúbica x3 + px = q, y quiso incluirlo en su obra Practica Arithmetica Generalis que estaba a punto de terminar.

Cardano propuso al librero Zuan Antonio da Bassano, amigo de ambos, que visitase a Tartaglia con la esperanza de que le facilitase la regla general. Este encuentro tuvo lugar el 2 de enero de 1539 (Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XXXI). Tartaglia respondió en los siguientes términos:

Decidle a su excelencia que cuando quiera publicar mis descubrimientos lo haré en alguna de mis obras y no en las de otros.

Ante esta negativa, el emisario, siguiendo instrucciones de Cardano, solicitó a Nicolás que le facilitase las treinta cuestiones que le había propuesto Fior junto con sus resoluciones. Tartaglia accedió a la primera petición pero no a la segunda, dado que:

Una vez que él [Cardano] tuviese uno de dichos problemas con su solución entendería rápidamente la regla que he descubierto con la que podría encontrar muchas otras reglas relativas a tal materia.

Esta nueva negativa no desanimó a Zuan Antonio que, de inmediato, presentó a Tartaglia los siete problemas siguientes con la intención de que le facilitase sus métodos de resolución.

  • Divide el número 10 en cuatro partes en continua proporción [en progresión geométrica] de modo que la primera sea igual a 2.
  • Divide el número 10 en cuatro partes en continua proporción de modo que la segunda sea igual a 2.
  • Encuentra cuatro números en continua proporción de modo que el primero sea 2 y la suma del segundo y el cuarto sea igual a 10.
  • Encuentra cuatro números en continua proporción de modo que el primero sea 2 y la suma del tercero y el cuarto sea igual a 10.
  • Encuentra cuatro números en continua proporción de modo que el segundo sea 2 y la suma del primero y el cuarto sea igual a 10.
  • Haz de 10 tres partes en continua proporción de modo que el producto de la primera por la segunda sea 8.
  • Encuentra un número que multiplicado por su raíz [cuadrada] más 3 haga 21.

Nicolás no cayó en la trampa y, por consiguiente, no resolvió los problemas. Así acabó la entrevista entre Zuan Antonio da Bassano y Tartaglia.

El 12 de febrero Cardano escribió una carta a Tartaglia en la que reiteraba su petición, pero éste permaneció firme en su decisión de no comunicar su fórmula aunque accedió a resolver dos problemas propuestos por Cardano.

 

El primer problema

Haz de 10 cuatro partes en proporción continua, de modo que la suma de sus cuadrados sea 60.

Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XXXII

 

 

La resolución de Tartaglia

Para resolver el problema anterior Tartaglia se sirvió de una interesante relación entre los cuatro primeros términos de una progresión geométrica. A saber:

Si I, II, III, IV son los cuatro primeros términos de una progresión geométrica, entonces:

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Sean I, II, III, IV las partes buscadas y  x = II + III.

Luego, I + IV = 10 – x.

En esta situación, resulta que:

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A partir de aquí resulta que:

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Con esto, resulta fácil determinar las cuatro partes requeridas.

 

El 13 de marzo Cardano mandó una nueva carta a Tartaglia en la que le invitaba a su casa de Milán, prometiendo que le pondría en contacto con Alfonso de Ávalos, gobernador del Milanesado. Nicolás aceptó con la esperanza de  presentar al gobernador sus recientes investigaciones en el campo de la artillería.  La reunión se celebró el 25 de marzo de 1539.

Esta vez Gerónimo logró su objetivo y Tartaglia le reveló sus métodos para resolver las  cúbicas (i) x3 + px = q , (ii) x3 + q = px , (iii) x3 = px + q  (p , q > 0). Para ello, se sirvió de unos tercetos que se han hecho famosos en la historia de las Matemáticas. Cardano juró por los Santos Evangelios que no haría públicos los descubrimientos de Nicolás.

Presentamos la adaptación al castellano de los tres primeros tercetos [regla para la ecuación del tipo (i)] y su traducción al simbolismo algebraico moderno.

Cuando el cubo y las cosas juntas [x3 + px]
Se igualan a cualquier número discreto:
[x3 + px = q]
Se buscan otros dos que difieran en él.
[u – v = q]
Luego, tendrás por costumbre
Que su producto sea siempre igual
Al cubo de la tercera parte de las cosas conocidas.
[uv = (p/3)3]
Como regla general, lo que queda
De la diferencia de sus raíces cúbicas
Será igual a tu cosa principal.
[x = Image]

Desconocemos la forma en que Tartaglia descubrió esta regla, pero bien pudo ser del modo siguiente.

Se sabe que:

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De donde:

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Entonces:

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Si se compara la identidad anterior con la ecuación x3 + px = q que se quiere resolver, resulta que:

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En consecuencia, la regla de Tartaglia es correcta.

Sólo queda obtener la expresión de x en función de p y q.

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Entonces, dado que la ecuación x3 + px = q tiene una única solución real positiva, se tiene que:

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Por tanto:

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Dicha expresión se conoce como fórmula de Tartaglia-Cardano.


Cuarto acto: la controversia Tartaglia-Cardano-Ferrari

Durante el intervalo comprendido entre marzo de 1539 hasta  1545, Nicolás y Gerónimo se dedicaron principalmente a traducir a Euclides y Arquímedes (Tartaglia) y a preparar la edición de Artis Magnae Sive de Regulis Algebraicis (Cardano).

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OPERA ARCHIMEDIS SYRACVSANI PHILOSOPHI
ET MATEMATICI INGENIOSISSIMI
per Nicolaum Tartaleam Brixianum

En 1542, atendiendo al testimonio de Ludovico Ferrari (Cartello II), Cardano y Ferrari se desplazaron a Bolonia para visitar a Aníbal de la Nave, yerno de Scipione del Ferro. Allí consultaron los documentos que Aníbal había heredado de su suegro y encontraron la resolución de la ecuación x3 + px = q debida a Scipione. Este procedimiento era anterior al de Tartaglia en unos veinte años y fue el que, según Ferrari, Cardano incluyó en su Ars Magna (Nuremberg, 1545).

En el capítulo XI de dicha obra, Gerónimo se expresaba en los siguientes términos:

Scipione del Ferro, de Bolonia, hace treinta años que descubrió esta regla y la comunicó a Antonio María Fior de Venecia, cuyo desafío con Nicolás Tartaglia de Brescia dio a Nicolás la oportunidad de descubrirla. Él me la dio sin la  demostración. Con esta ayuda busqué la demostración de varias formas. Fue muy difícil. Mi versión es la siguiente.

Ante este hecho Tartaglia consideró que Cardano había faltado a su juramento y le acusó, entre otras cosas, de traidor.

Cardano no contestó a las provocaciones de Tartaglia, pero el 10 de febrero de 1547 su discípulo Ferrari retó a Nicolás a un desafío público sobre Geometría, Aritmética y todas las disciplinas que de ellas dependen como Astrología, Música, Cosmografía, Perspectiva, Arquitectura y otras. Para ello utilizó un panfleto de cuatro  páginas de contenido y cuatro páginas de nombres de matemáticos y personajes ilustres  (cincuenta en total, entre los que figuraba Aníbal de la Nave) de varias ciudades italianas (Roma, Venecia, Milán, Florencia, Ferrara, Bolonia, Salerno, Padua, Pavía, Pisa y Verona) a los que mandó copia  del documento. Ferrari proponía una garantía de 200 escudos y un plazo de treinta días para que Tartaglia diese respuesta a su escrito.

Nicolás respondió a Ludovico nueve días después. Seis páginas con las firmas de tres testigos y una postdata en la que comunicaba que había hecho mil copias de su escrito para distribuirlas por  toda Italia. En su respuesta, Tartaglia ponía de manifiesto que no quería enfrentarse a él, sino a su maestro.

Se iniciaba así una acalorada disputa a lo largo de la cual se sucedieron seis cartelli y seis risposti ordenados cronológicamente en el cuadro siguiente:

CARTELES (FERRARI) RESPUESTAS (TARTAGLIA)
Primer cartel, 10 de febrero de 1547 Primera respuesta, 19 de febrero de 1547
Segundo cartel, 1 de abril de 1547 Segunda respuesta, 21 de abril de 1547
Tercer cartel, 1 de junio de 1547 Tercera respuesta, 9 de julio de 1547
Cuarto cartel, 10 de agosto de 1547 Cuarta respuesta, 30 de agosto de 1547
Quinto cartel, octubre de 1547 Quinta respuesta, 16 de junio de 1548
Sexto cartel, 14 de julio de 1548 Sexta respuesta, 24 de julio de 154

En su segundo cartel de once páginas escritas en latín, Ferrari comentaba el descubrimiento de la regla para la cúbica x3 + px = q  por Scipione del Ferro.

En su segunda respuesta, Tartaglia proclamaba que había descubierto dicha regla de forma autónoma, aunque no descartaba la posibilidad de que otros la hubiesen podido encontrar con anterioridad o que algunos pudieran descubrirla más adelante de forma independiente.

Defendiéndose de las acusaciones de haber plagiado la obra de Jordanus de Nemore, Nicolás se expresaba así:

A esto respondo que, en este caso, basta con que consideréis que hice las demostraciones, y las demostraciones (como debéis saber) son de mayor consideración, doctrina, ciencia y  dificultad que las proposiciones. Porque cualquier proposición matemática sin su demostración no tiene ningún valor para los matemáticos. Proponer algo es fácil. Cualquier ignorante puede formar una proposición, pero no es capaz de demostrarla.

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IORDANI OPVSCVLVM DE PONDEROSITATE
NICOLAI TARTALEAE STVDIO CORRECTVM

Dado que Tartaglia defendía como formato del duelo una lista de cuestiones que debían ser resueltas en un tiempo determinado, al final de su segunda respuesta propuso una colección de treinta y un problemas.

 

Uno de los  problemas de Tartaglia

21. En la obra titulada “Divina Proporción” se enseña la forma de calcular el volumen de diversos tipos de cuerpos. Me encuentro un cuerpo de 62 caras circunscrito a una esfera. De las 62 caras, 12 son pentágonos equiláteros y equiángulos, 30 son cuadrados y 20 son triángulos equiláteros. Si el lado de cada cara es igual a 4, demando cuál es el volumen del cuerpo.

El cuerpo al que se refiere Nicolás es el poliedro arquimediano representado en la figura adjunta, conocido con el nombre de rombicosidodecaedro.

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Ferrari respondió en su tercer cartel con treinta y un problemas más.

 

Uno de los problemas de Ferrari

17. Divide el número 8 en dos partes de modo que su producto multiplicado por su diferencia sea lo mayor posible, demostrando cada paso.

Nicolás los resolvió (tercera respuesta) y se creyó vencedor.

 

Una respuesta de Tartaglia

En vuestra decimoséptima cuestión me preguntáis que divida 8 en dos partes tales que el producto de una por la otra multiplicado por su diferencia sea lo mayor posible.

Respondo que la parte mayor es 4+Image y la menor es 4–Image. Su producto es 10Image, que multiplicado por su diferencia, que es Image, hace Image.

En el quinto cartel, Ferrari respondió a las cuestiones de Tartaglia y declaró que sólo cinco de las respuestas de Nicolás eran correctas.

Por fin, en su sexta respuesta, Tartaglia aceptó el desafío público. Éste tuvo lugar en Milán el 10 de agosto de 1548. En un ambiente muy hostil, en palabras de Nicolás, se desarrolló la primera sesión del duelo a la que no acudió Cardano. Esta hostilidad fue la causa de que Tartaglia, creyendo que su integridad física estaba en peligro, no asistiese a la sesión del día siguiente y, por consiguiente, perdiera el desafío.

De este modo concluía uno de los episodios más bochornosos de la historia del álgebra.

4. Tartaglia y la matemática recreativa

Para acabar esta breve biografía del “tartamudo” de Brescia, presentamos dos recreaciones matemáticas contenidas en el General trattato de numeri et misure.

Blancas y negras, turcos y cristianos
General trattaro…
Primera parte, libro 16,art. 203, fols. 264v-265r

(…) Se quieren colocar 30 fichas sobre un tablero, 15 blancas y 15 negras, de modo que ordenándolas y contando adecuadamente se quiten todas las negras sin quitar ninguna blanca. De otro modo: en una barca hay 15 cristianos y 15 turcos. Como hay exceso de carga, el número de tripulantes se debe reducir a la mitad. Se trata de colocarlos de modo que, contándolos  adecuadamente, se queden todos los cristianos y salgan los turcos. Pregunto, ¿cómo debe hacerse?

Para obtener la solución del problema, Tartaglia recurre, entre otras, a la siguiente regla mnemotécnica:

En el verso Ecce amata federe amaram fecere araneam meam asigna a la vocales a, e, i, o , u los valores 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente.

Entonces, la sucesión de vocales ee aaa eee aaa eee aaea ea, obtenida a partir del verso, se transforma en la sucesión numérica 22 111 222 111 222 1121 21 que admite la siguiente traducción.

CCTTCTCTTCCTTCTCTTCCTTCTCCTCCT

siendo C [= cristiano] y T [= turco].

Contando de izquierda a derecha y de tres en tres, se consigue eliminar a todos los turcos sin que se elimine a cristiano alguno.

Un problema de trasvases
General trattato
... Primera parte, libro 16, art. 133, fol. 255v

Image

El problema propuesto por Tartaglia, cuyo enunciado no es “políticamente correcto”, equivale al siguiente:

Una vasija llena contiene 8 onzas de bálsamo. ¿Cómo pueden dividirse las 8 onzas en dos partes iguales utilizando dos vasijas de 3 y 5 onzas, respectivamente?

Esquematizamos la solución de Nicolás en el cuadro siguiente:

VASIJA DE 8 VASIJA DE 3 VASIJA DE 5
Inicio 8 0 0
5 0 3
2 3 3
2 1 5
7 1 0
7 0 1
4 3 1
Final 4 0 4

Referencias bibliográficas

  • BABINI, J. y REY PASTOR, J. (1985). Historia de la Matemática. Barcelona: Gedisa, S.A.
  • CARDANO, G. (1993). Ars Magna or the rules of Algebra (Translated by T. Richard Witmer). New York: Dover.
  • FAUVEL, J. & GRAY, J. (1987). The History of Mathematics: A  Reader. London: MacMillan Education  in association with The Open University.
  • GIORDANI, E. (1876). I sei cartelli di matematica disfida. Milano: R. Stabilimento  litografico di Luigi Ronchi e Tipografia degl’ Ingegneri.
  • LORIA, G. (1982). Storia delle matematiche dall’alba della civiltà al tramonto del secolo XIX. Milán: Cisalpino-Goliardica.
  • MARTÍN CASALDERREY, F. (2000). Cardano y Tartaglia. Las matemáticas en el Renacimiento italiano. Madrid: Nívola libros y ediciones, S. L.
  • MEAVILLA SEGUÍ, V. (2005). La historia de las Matemáticas como recurso didáctico: ideas, sugerencias y materiales para la clase. Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM).
  • NORDGAARD, M. A. (1938). Sidelights on the Cardan-Tartaglia controversy. National Mathematics Magazine, Vol. 12, No. 7, pp. 327-346.
  • STRUIK, D. J. (1986). A Source Book in Mathematics, 1200-1800. Princeton: Princeton University Press.
  • VAN DER WAENDER, L. B. (1985). A history of Algebra. From al-Khwarismi to Emmy Noether. Berlín: Springer-Verlag.

Referencias on-line

 

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