Cardano, Gerónimo (1501-1576)
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Cardano, Gerónimo (1501-1576)
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Escrito por Vicente Meavilla Seguí (Universidad de Zaragoza)   
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Cardano, Gerónimo (1501-1576)
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Gerónimo Cardano1. Algunos datos biográficos y científicos

1501. Gerónimo Cardano [= Hieronimus Cardanus = Girolamo Cardano] nació en Pavía (Italia) el 24 de septiembre. Fue hijo ilegítimo del abogado Fazio Cardano, que le inició en el estudio de las matemáticas y le permitió que estudiase medicina en la Universidad de Pavía.
De allí pasó a la Universidad de Padua donde completó su formación. Por aquel entonces, Cardanus era un empedernido jugador de cartas y dados cuyos conocimientos sobre probabilidad le permitían vivir del juego.

1525. Se doctoró en medicina y solicitó su ingreso en el Colegio de Médicos de Milán. Al descubrirse que era hijo bastardo las puertas de la institución se le cerraron.

1539. Después de varias tentativas, Hieronimus fue admitido en el Colegio de Médicos de Milán.
Este mismo año, Girolamo se enteró del descubrimiento de Tartaglia relativo a la resolución de la cúbica x3 + px = q, y quiso incluirlo en su obra Practica Arithmetice, & Mensurandi singularis (Milán, 1539) que estaba terminando.

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Practica Arithmetice es un tratado en el que, a lo largo de sesenta y ocho capítulos, se desarrollan contenidos elementales de aritmética, álgebra y geometría.

Un problema de álgebra

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Divide 10 en dos partes tales que la diferencia de sus cuadrados sea 40.

Sea 1 co. [= x] una de las partes. La otra parte es 10.m.1 co [= 10 – x]. Los cuadrados de las partes son 1 ce. [= x2] y 100. p. 1 ce. m. 20 co. [ = 100 + x2 – 20x]. Su diferencia es 40, por tanto 1 ce. p. 40. es igual a 1 ce. p. 100. m. 20 co. [x2 + 40 = x2 + 100 – 20x]. Entonces, 60 es igual a 20 co. [20x = 60] . Por tanto la cosa vale 3 [x = 3] y la otra parte 7 (…)

Practica Arithmetice, cap. 65, probl. 29

Un problema de geometría práctica

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En este problema se calcula la profundidad de un pozo utilizando el instrumento llamado cuadrante y haciendo uso de la teoría de semejanza de triángulos. Este tipo de cuestiones solían formar parte de la mayoría de manuales renacentistas.

Practica Arithmetice, cap. 67, probl. 1

Cardano propuso al librero Zuan Antonio da Bassano, amigo de ambos, que visitase a Tartaglia para que le facilitase el método de resolución. Este encuentro tuvo lugar el 2 de enero y la respuesta de Tartaglia fue negativa.
Gerónimo le escribió una carta, fechada el 12 de febrero, en la que reiteró su petición. Tartaglia permaneció firme en su decisión de no comunicar su fórmula.
El 13 de marzo Cardanus le remitió una nueva carta en la que le invitaba a su casa de Milán, prometiendo que le pondría en contacto con Alfonso de Ávalos, gobernador del Milanesado. Tartaglia aceptó con la esperanza de  presentar al gobernador sus recientes investigaciones en el campo de la artillería.  La reunión se celebró el 25 de marzo de 1539.
En esta ocasión, Hieronimus logró su objetivo y Tartaglia le reveló sus métodos para resolver las  cúbicas x3 + px = q , x3 + q = px , x3 = px + q  (p > 0 , q > 0) [VÉASE la biografía de Nicolás Fontana (“Tartaglia)].
Girolamo juró por los Santos Evangelios que no haría públicos los descubrimientos de Nicolás.

1542. Cardano y su discípulo Ludovico Ferrari (1522-1565) viajaron a Bolonia y obtuvieron permiso de Aníbal de la Nave, yerno de Scipione del Ferro, para consultar los documentos científicos que éste había heredado de su suegro. Entre ellos encontraron la resolución de la ecuación x3 + px = q que precedía a la de Tartaglia en veinte años. Esta fue la regla que, tres años más tarde, Gerónimo incluyó en su Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis [= Ars Magna].

1545. Cardanus publicó su obra matemática más importante, Ars Magna, el primer gran tratado en latín dedicado exclusivamente al álgebra. En él se exponen los métodos de resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, se realizan cálculos con números complejos y se presenta un método para la resolución aproximada de ecuaciones de cualquier grado.

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Ars Magna De subtilitate
1550. Se editó De subtilitate, enciclopedia consagrada a la filosofía natural.
1564. Se publicó el Liber de ludo aleae considerado como el primer estudio sobre la teoría de probabilidad.
1570. Hieronimus fue encarcelado por hereje, dado que escribió el horóscopo de Cristo en su De astrorum iudiciis (1554)
Se editó Opus novum de proportionibus numerorum en la que aparece el “triángulo aritmético” o “triángulo de Tartaglia”.
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1571. Girolamo publicó su autobiografía, De vita propia. En ella leemos:
Tan pocas cosas llamativas hay en mi fisonomía, que muchos pintores venidos de tierras lejanas para retratarme no hallaron en mí ningún rasgo cuya presencia en mi retrato bastara por sí sola para que me reconocieran.
1576. Cardano murió en Roma el 21 de septiembre de 1576. Se cree que se suicidó para no contradecir una previsión astrológica sobre la fecha de su muerte.

2. El álgebra del Ars Magna
La cúbica x3 + px = q
En el Ars Magna, Hieronimus hace un estudio exhaustivo sobre la resolución de la ecuación de tercer grado con una incógnita (véase el cuadro adjunto).

ARS MAGNA

CAPÍTULO

TIPO DE ECUACIÓN

DENOMINACIÓN

XI

x3 + px= q

Cubo y primera potencia iguales a número

XII

x3 = px + q

Cubo igual a primera potencia y número

XIII

x3 + q = px

Cubo y números iguales a primera potencia

XIV

x3 = px2 + q

Cubo igual a cuadrados y número

XV

x3 + px2 = q

Cubo y cuadrados iguales a número

XVI

x3 + q = px2

Cubo y número iguales a cuadrados

XVII

x3 + px2 + qx = r

Cubo, cuadrados y primeras potencias iguales a número

XVIII

x3 + qx = px2 + r

Cubo y primeras potencias iguales a cuadrados y número

XIX

x3 + px2 = qx + r

Cubo y cuadrados iguales a primeras potencias y número

XX

x3 = px2 + qx + r

Cubo igual a cuadrados, primeras potencias y número

XXI

x3 + r = px2 + qx

Cubo y número iguales a cuadrados y primeras potencias

XXII

x3 + qx + r = px2

Cubo, primeras potencias y número iguales a cuadrados

XXIII

x3 + px2 + r = qx

Cubo, cuadrados y número iguales a primeras potencias

En el capítulo once, Gerónimo ofrece su procedimiento de resolución para la cúbica x3 + px = q. El método de Cardanus  se apoya en razonamientos geométricos que se inspiran en un diagrama tridimensional como el de la figura adjunta.

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La simple inspección del diagrama anterior pone de manifiesto que:

u3 – v3 = (u – v)3 + 3(u – v)2v + 3(u – v)v2 =>

u3 – v3 = (u – v)3 + 3(u – v)[(u – v)v + v2] =>

u3 – v3 = (u – v)3 + 3(u – v)[uv – v2 + v2] =>

u3 – v3 = (u – v)3 + 3uv(u – v)                  [1]

Comparando la identidad [1] con la ecuación propuesta, resulta que u – v = x, siempre que:

u3 – v3 = q

3uv = p

A partir de estas dos igualdades se deduce que:

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Por tanto:

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La cúbica x3 + px2 + qx = r

El capítulo XVII (Cubo, cuadrados y primeras potencias iguales a número) del Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis contiene la resolución de la ecuación

x3 + 6x2 + 20x = 100

La estrategia utilizada por Cardano consiste en transformar la ecuación dada en otra equivalente sin término cuadrático.
Para ello, Hieronimus se sirve del cambio de variable:

x = y – (6/3) = y – 2

Advirtamos que para el caso general, ax3 + bx2 + cx = d, el cambio adecuado sería x = y – (b/ 3a).

Con esto, la cúbica x3 + 6x2 + 20x = 100 se convierte en

y3 + 8y = 124          [2],

ecuación de tercer grado en la incógnita y que se puede resolver utilizando el procedimiento descrito en el capítulo XI. Una vez calculados los valores de y que satisfacen la ecuación [2], los valores de x se obtienen deshaciendo el cambio de variable.

La ecuación de cuarto grado

En el capítulo XXXIX, Girolamo ofrece la resolución de la ecuación de cuarto grado debida a su discípulo Ludovico Ferrari.

Para describir el método de Ferrari, Gerónimo resuelve un problema propuesto por Zuanne de Tonini da Coi, cuya traducción al simbolismo algebraico moderno desemboca en la ecuación:

x4 + 6x2 + 36 = 60x          [3]

En primer lugar, Cardanus introduce la identidad

(x2 + a + b)2 = (x2 + a)2 + 2x2b + 2ab + b2 [4]

Acto seguido, sumando 6x2 a los dos miembros de [3], resulta que:

x4 + 6x2 + 36 + 6x2 = 60x + 6x2 => (x2 + 6)2 = 60x + 6x2 [5]

Si en la identidad [4] hacemos a = 6 se obtiene:

(x2 + 6 + b)2 = (x2 + 6)2 + 2x2b + 12b + b2

En consecuencia, si sumamos  2x2b + 12b + b2 a los dos miembros de [5] se tiene que:

(x2 + 6)2 + 2x2b + 12b + b2 = 60x + 6x2 + 2x2b + 12b + b2 =>

(x2 + 6 + b)2 = (6 + 2b)x2 + 60x + (b2 + 12b)          [6]

El primer miembro de [6] es un cuadrado perfecto. El segundo miembro también lo será si la ecuación (6 + 2b)x2 + 60x + (b2 + 12b)= 0 tiene una raíz doble. Para ello su discriminante debe ser cero.

Es decir:

602 – 4(6 + 2b)(b2 + 12b) = 0  =>  602 = 4(6 + 2b)(b2 + 12b)  =>

(6 + 2b)(b2 + 12b) = 302 =>  2b3 + 30b2 + 72b = 900  =>  b3 + 15b2 + 36b = 450

La última ecuación es de tercer grado en la incógnita b y se puede resolver por el método explicado en el capítulo XVII (Cubo, cuadrados y primeras potencias iguales a número) del Ars Magna.

Una vez determinado el valor de b para el cual el segundo miembro de [6] es el cuadrado de un binomio, se puede extraer la raíz cuadrada de los dos miembros de [6] obteniéndose una ecuación de segundo grado en x.

Por consiguiente, la ecuación x4 + 6x2 + 36 = 60x está resuelta.

Resolución aproximada de ecuaciones

En el capítulo XXX de su Ars Magna, Cardano ofrece una regla (regula aurea) para el cálculo aproximado de las raíces de una ecuación polinómica con coeficientes enteros.

En primera instancia, Gerónimo describe verbalmente la regla y, acto seguido (sin justificación alguna), la aplica a las ecuaciones:

x4 + 3x3 = 100  ,  x2 + 20 = 10x  ,  x3 = 6x + 20  y  x4 + 6x2 + 200 = 10x3 + 12x

Presentamos la adaptación del texto de Cardanus concerniente al cálculo de una raíz aproximada de la ecuación x4 + 3x3 = 100.

Sea la ecuación x4 + 3x3 = 100. Sea f(x) = x4 + 3x3.

Si x = x1 = 2 [= primera aproximación], entonces f(x1) = f(2) = 40 [= primer producto].

Si x = x2 = 3 [= segunda aproximación], entonces f(x2) = f(3) = 162 [ = segundo producto].

Con esto:

f(x2) – f(x1) = 162 – 40 = 122 [= diferencia mayor]

100 – f(x1) = 100 – 40= 60 [= primera diferencia]

f(x2) – 100 = 162 – 100 = 62 [= segunda diferencia]

Llegados a este punto, Hieronimus llama solución imperfecta de la ecuación propuesta a Image.

Sustituyendo este valor numérico en el primer miembro de dicha ecuación se obtiene un valor aproximadamente igual a 85.

Restando 85 de 162 [= segundo producto] se obtiene  77.

Restando 152/61 de 3 [= segunda aproximación] queda 31/61.

Multiplicando 31/61 por 62 [= segunda diferencia] se obtiene 1922/61.

Dividiendo el producto obtenido por 77 resulta 1922/4697.

Restando el cociente obtenido de 3 [= segunda aproximación] queda 12169/4697 = 2,5908…, que, según Gerónimo,  es una buena aproximación de la solución de la ecuación x4 + 3x3 = 100.

Cardano concluye advirtiendo que si se repite el mismo proceso todavía se puede aproximar mejor el valor de la incógnita.


3. Cardano y la Matemática Recreativa

El juego de los anillos chinos o Baguenaudier

El juego de los anillos chinos, conocido también como baguenaudier, es un juego mecánico construido con un número determinado de  anillas del mismo tamaño montadas sobre una horquilla y ligadas entre sí por unos hilos (alambres, varillas, etc.), tal como se indica en la figura adjunta.

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El primer testimonio que existe en Europa sobre los anillos chinos se encuentra en el manuscrito De Viribus Quantitatis, escrito por Luca Pacioli (1445-1517) entre 1496 y 1508.

Unos años más tarde, Cardano se ocupó  del baguenaudier en el libro XV de su obra De subtilitate (1550). Por este motivo, el rompecabezas chino también se conoce con el nombre de Anillos de Cardano.

Trasvases

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Practica Arithmetice, cap. 65, probl. 33

El problema propuesto por Hieronimus se puede formular en los siguientes términos:

Una vasija llena contiene 8 onzas de bálsamo. ¿Cómo pueden dividirse las 8 onzas en dos partes iguales utilizando dos vasijas de 3 y 5 onzas, respectivamente?

En esencia, la solución de Girolamo es la que se muestra en el cuadro siguiente:

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Los maridos celosos

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Practica Arithmetice, cap. 66, probl. 73

Entre los problemas de traslados dificultosos, el de los maridos celosos fue tratado por Tartaglia, por  Claude Gaspar Bachet de Meziriac (1581-1638) y por otros autores.

Tres hermosas mujeres estaban casadas con tres hombres jóvenes, guapos y galantes, pero también celosos. Un día, mientras daban un paseo, llegaron a la orilla de un río. Para cruzarlo disponían de un bote cuya capacidad máxima era para dos personas. ¿Cómo lograron cruzar el río, si ninguna mujer podía quedar en compañía de ningún hombre a menos que su marido estuviera presente?

Cardano lo incluyó en su Practica Arithmetice y su resolución se esquematiza en el diagrama adjunto donde se designa por M1, M2 y M3 a cada uno de los maridos y por E1, E2 y E3 a sus respectivas esposas.

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Cuadrados mágicos

Se llama cuadrado mágico de orden n a un cuadrado formado por n2 números naturales diferentes tales que los n números de cada fila, columna o diagonal, tienen la misma suma a la que se llama constante mágica del cuadrado.

Un cuadrado mágico de orden n se llama normal si los números que lo forman son los n2 primeros números naturales.

A lo largo de la historia los cuadrados mágicos han atraído a un gran número de matemáticos eminentes tales como Thabit ibn Qurra (s. IX), Michael Stifel (ca. 1486-1567), Pierre de Fermat (1601-1665) y Leonhard Euler (1707-1783).

Gerónimo tampoco pudo sustraerse a esta atracción y, en el capítulo 42 de su Practica Arithmetice, presentó siete cuadrados mágicos normales asociados a algunos cuerpos celestes (Luna, Mercurio, Júpiter, Sol, Saturno, Venus y Marte).

Las constantes mágicas de los cuadrados asociados a la Luna, Mercurio, Júpiter, Sol, Venus y Marte son, respectivamente, 15, 34, 260, 111, 369, 65 y 175.

Hagamos notar que la primera fila del cuadrado mágico de Saturno debe ser 37, 78, 29, 70, 21, 62, 13, 54, 5.

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Practica Arithmetice,cap. 42


Referencias bibliográficas

  • CARDANO, G. (1991). Mi vida. Madrid: Alianza Editorial.
  • CARDANO, G. (1993). Ars Magna or the rules of Algebra (Translated by T. Richard Witmer). New York: Dover.
  • GRINSTEAD, C. M. & SNELL, J. L. (1997). Introduction to Probability. American Mathematical Society.
  • LORIA, G. (1982). Storia delle matematiche dall’alba della civiltà al tramonto del secolo XIX. Milán: Cisalpino-Goliardica.
  • MARTÍN CASALDERREY, F. (2000). Cardano y Tartaglia. Las matemáticas en el Renacimiento italiano. Madrid: Nívola libros y ediciones, S. L.
  • MEAVILLA SEGUÍ, V. (2005). La historia de las Matemáticas como recurso didáctico: ideas, sugerencias y materiales para la clase. Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM).
  • RODRÍGUEZ VIDAL, R. y RODRÍGUEZ RIGUAL, M. C. (1986). Cuentos y cuentas de los matemáticos. Barcelona: Editorial Reverté, S. A.
  • STRUIK, D. J. (1986). A Source Book in Mathematics, 1200-1800. Princeton: Princeton University Press.
  • VAN DER WAENDER, L. B. (1985). A history of Algebra. From al-Khwarismi to Emmy Noether. Berlín: Springer-Verlag.

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