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Biografías de matemáticos ilustres

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Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Mª Rosa Massa Esteve (Universitat Politècnica de Catalunya)
Pietro Mengoli, que en su época fue llamado el “matemático boloñés”, conocía las obras matemáticas más importantes de la época y sus trabajos responden a preocupaciones intelectuales del momento. Cabe señalar que su producción científica queda enmarcada totalmente entre la aparición de La Géométrie de René Descartes (1596-1650), de 1637, y el cálculo infinitesimal de Gotffried Wilhelm Leibniz (1646-1716), de 1684. Mengoli nació en Bolonia en 1626 o en 1627. Aunque Fantuzzi (1788) afirma que murió el 7 de junio de 1686 a los 60 años, en el libro de bautizos consta que nació el 10 de Julio de 1627. Los años más prolíficos de Mengoli coincidieron con el declive de la escuela galileana y con la desaparición de los principales protagonistas de la revolución científica italiana. Así, en 1642 muere Galileo Galilei (1564-1642), seguido de su primer y único discípulo directo, Benedetto Castelli (1577-1643) y, a los pocos años, también fallecen Evangelista Torricelli (1608-1647) y Bonaventura Cavalieri (1598-1647), maestro de Mengoli. El final del período galileano y la creación de la Accademia Della Traccia (rama de la Accademia del Cimento en Bolonia) fueron dos acontecimientos que determinaron el tipo de aportaciones de Mengoli a la vez que la difusión de sus obras. Efectivamente, en 1665 el matemático Geminiano Montanari (1633-1687), intentando imitar a la Royal Society of London, fundó la Accademia Della Traccia. En una carta a la Royal Society explicaba que en esta Accademia "se pretendía, a partir de los experimentos, obtener los axiomas y a partir de los axiomas, nuevos descubrimientos”. Entre sus miembros figuraban el médico Marcello Malpighi (1628-1694) y el astrónomo Giovanni Domenico Cassini (1625-1712). Malpighi era el corresponsal italiano de Henry Oldenburg (1615-1677), secretario de la Royal Society de Londres, quien procuraba mantenerse en contacto con los científicos de otros países así como obtener todos los libros que se publicaban. Otra figura notoria fue Antonio Magliabechi (1633-1714), bibliotecario de Florencia, personaje muy influyente en esta época y a quien muchos estudiosos enviaban sus obras para que les diera su aprobación. El nombre de Mengoli aparece en el registro de la Universidad de Bolonia en el periodo 1648-1686, donde había sustituido a su maestro Cavalieri. En el curso académico 1648-49 fue titular de la plaza de Ad Arithmeticam; posteriormente, en el curso 1650-51, pasó a ejercer la cátedra de Ad Mechanicam y, finalmente, en el curso 1678-79 obtuvo la de Ad Mathematicam, que ocupó hasta su muerte.  Mengoli se graduó en filosofía en 1650 y tres años más tarde en leyes civiles y canónicas. En este primer período escribió tres obras de matemática pura, Novae Quadraturae Arithmeticae seu De Additione Fractionum (Bolonia, 1650), Via Regia ad Mathematicas per Arithmeticam, Algebram Speciosam et Planimetriam ornata, Maiestati Serenissimae D. Christinae Reginae Suecorum (Bolonia, 1655) y Geometriae Speciosae Elementa (Bolonia, 1659). En 1660 fue ordenado sacerdote y, desde este momento y hasta su fallecimiento, fue prior de la iglesia de Santa María Magdalena de Bolonia. A partir de 1670  aparecieron nuevamente obras suyas: Refrattioni e Parallase Solare (Bolonia, 1670), Speculationi di Musica (Bolonia, 1670) y Circolo (Bolonia, 1672). Estas obras reflejan su nuevo propósito de investigar, no únicamente sobre matemáticas puras, sino también sobre matemáticas mixtas que incluían la astronomía, la cronología y la música. Además, su investigación estaba manifiestamente dirigida a justificar los escritos bíblicos y, a hacer apología de la fe católica. Continuó en esta línea y publicó dos obras sobre cosmología y cronología bíblica: Anno (Bolonia, 1673) y Mese (Bolonia, 1681), y dos sobre lógica y metafísica: Arithmetica Rationalis (Bolonia, 1674) y Arithmetica Realis (Bolonia, 1675). Las obras de Mengoli La primera obra que publicó, Novae Quadraturae Arithmeticae seu De Additione Fractionum, es la que le ha dado más renombre como matemático. En ella, trata de series infinitas, calcula sus sumas y demuestra sus propiedades. En el prefacio (12 páginas sin numerar) demuestra la divergencia de la serie armónica, adelantándose casi cuarenta años a Bernoulli. Además del prefacio, la obra está compuesta por tres libros cuyos resultados están presentados en orden creciente de dificultad. En el primer libro se tratan las series de fracciones cuyos denominadores son n(n+1) (Mengoli los denomina números planos), siendo n un número natural. De hecho, calcula, en notación actual: En el segundo libro estudia las series de fracciones cuyos denominadores son n(n+1)(n+2) (Mengoli los denomina números sólidos), siendo n un número natural. Así, calcula, en notación actual: En el tercer libro aparecen estudiadas series más generales. La segunda obra matemática, en orden cronológico, se titula Via Regia ad Mathematicas por Arithmeticam, Algebram Speciosam et Planimetriam ornata, Maiestati Serenissimae D. Christinae Reginae Suecorum (1655). Consta de 45 páginas escritas en verso en las que Mengoli muestra cómo entiende las matemáticas y qué partes considera importantes. Fue escrita por encargo con motivo de la visita de la Reina Cristina de Suecia a Bolonia y, en ella, nuestro autor le expone a la Reina una “vía real” para entender las matemáticas. El libro está dividido en tres partes bien diferenciadas: aritmética, álgebra especiosa y planimetría. Cuatro años más tarde, en 1659, publicó la que a nuestro  entender fue su obra matemática más importante: Geometriae Speciosae Elementa. El contenido de la obra no está fuera de las corrientes de la época, sino que se ocupa de los problemas comúnmente estudiados en aquel momento. El aspecto más innovador es la manera de tratarlos y los resultados obtenidos. La obra de 472 páginas, está compuesta por seis capítulos, que denomina elementos, y una introducción titulada Lectori Elementario. En la introducción, que tiene 80 páginas, explica cada uno de los capítulos por separado. En estas explicaciones no hay demostraciones ni teoremas, aunque hay ejemplos de los resultados obtenidos en cada capítulo. En el primer capítulo, titulado De potestatibus, à radice binomia, et residua, demuestra las potencias de la suma y la resta de un binomio expresadas con lenguaje algebraico. El segundo, De innumerabilibus numerosis progressionibus, presenta los cálculos de numerosas sumas de potencias y productos de potencias, con su propia notación. En el tercero, De quasi proportionibus, define razón “quasi nula”, “quasi infinita” y “quasi un número”. Con estas definiciones construye una teoría de “quasi proporciones” basándose en la teoría de proporciones del libro V de los Elementos de Euclides. De hecho, Mengoli incorpora la nueva idea de quasi razón, como antecedente del concepto actual de límite. En el cuarto capítulo, De rationibus logarithmicis, construye de manera análoga a la teoría de proporciones de Euclides una teoría de proporciones logarítmicas. En el quinto, De propriis rationum logarithmis, construye el logaritmo y sus propiedades, utilizando los resultados anteriores. En el sexto, De innumerabilibus quadraturis, calcula las cuadraturas de curvas que corresponden a funciones que, para cualesquiera números naturales m y n, hoy escribiríamos: Durante diez años Mengoli no publicó ninguna obra y cuando, en el año 1670, reanudó sus publicaciones presentó unas tablas sobrela refracción solar tituladas Refrattioni e Parallase Solare. Los cálculos que expuso los obtuvo a través de las observaciones realizadas con el gnomone de la iglesia de San Petronio de Bolonia. La obra Speculationi di Musica, también de 1670, tiene 300 páginas, divididas en 25 capítulos que el autor denomina "especulaciones". En ella se puede leer una teoría original del sonido, el rechazo de la teoría de la consonancia de Galileo y la extraordinaria fisiología de la percepción musical que fundamentó en la existencia de dos tímpanos en la oreja humana. Para demostrarla, Mengoli hizo una disección de la oreja con Galeatio Manzio, profesor de anatomía de la Universidad de Bolonia, y para justificar su teoría del sonido, utilizó los logaritmos. En 1672, publicó Circolo en cuyas páginas iniciales explica que ya, en el año 1660, había obtenido la cuadratura del círculo, aunque sin darla a conocer. Ahora, se decidía a publicarla ya que necesitaba este resultado para las reglas de los solsticios y de los equinoccios. La obra consta de 60 páginas y su estructura es diferente de la Geometriae, sin definiciones, sin teoremas ni problemas. Contiene 160 parágrafos numerados, sin demostraciones, en el texto únicamente aparecen tablas triangulares, cálculos y explicaciones sin ninguna figura geométrica, aunque obtiene la cuadratura del círculo mediante el área de la figura descrita por la expresión algebraica y = x1/2 (1-x)1/2 y el eje de abscisas (corresponde al semicírculo de radio 1⁄2). Mengoli calcula también una acotación del número p entre dos productos infinitos, llegando a aproximar su valor con once decimales exactos. Las últimas obras de Mengoli ya forman parte de su proyecto apologético de la fe católica. El método de cuadraturas de Mengoli La obtención de la cuadratura de las infinitas parábolas e hipérbolas y, como no, la cuadratura del círculo, constituyó una de las grandes preocupaciones de los matemáticos del siglo XVII. Cavalieri, fue de los primeros en desarrollar un nuevo método de cuadratura llamado método de los indivisibles. Cuando Cavalieri expuso su método ya había dos antecedentes claros: la técnica de los antiguos, que hoy se llama método de exhausción, creado por Eudoxo y que Euclides y Arquímedes explotaron en una gran variedad de caminos para determinar áreas de figuras curvilíneas, volúmenes, superficies y arcos, y el trabajo de Kepler. El método de los indivisibles de Cavalieri se encuentra explicado básicamente en dos de sus libros: Geometría indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (Bolonia, 1635) y Exercitationes geometricae sex (Bolonia, 1647). Sobre los indivisibles de Cavalieri puede consultarse Giusti (1980), Andersen (1984/85, 291-367) y Massa (1994, 68-100). La demostración de las cuadraturas de las infinitas parábolas y = xm, para m entero positivo, fue publicada por Cavalieri en esta última obra de 1647, aunque afirmaba conocerla desde el 1639. Unos años antes, en 1636, Gilles Persone de Roberval (1602-1675) en una carta dirigida a Fermat enunciaba una  regla para encontrar la suma finita de potencias y la aplicaba para calcular las cuadraturas de estas infinitas parábolas. Así mismo, Fermat especificaba en una carta a Cavalieri, antes del 1644, que había cuadrado las parábolas, exponiéndole la regla y un ejemplo. Mengoli, en un primer cálculo, en Geometriae utilizó el método de los indivisibles de su maestro Cavalieri, pero en la misma obra las volvió a calcular con un segundo método aritmético algebraico. No está clara la razón por la que Mengoli  no siguió el camino de su maestro. Quizás fuera debido a que el método de Cavalieri había recibido muchas críticas y Mengoli no podía dejar de ser sensible a ellas. Quiso buscar nuevos métodos, con fundamentos  más sólidos, introduciendo en sus cálculos el álgebra de Viéte a través de las tablas triangulares, construidas a partir del triángulo aritmético de Pascal, y la teoría de quasi proporciones. Desde el principio Mengoli intentó clarificar su aplicación del álgebra a la geometría y dedicó mucho espacio a identificar las figuras (las llama formas) que quería cuadrar con las expresiones algebraicas que utilizaba para representarlas, sin hacer ningún dibujo. Daba su propio sistema de coordenadas, definiendo la abscisa y la ordenada y describía individualmente las ordenadas de las figuras a través de las abscisas en el intervalo (0,1).  Por ejemplo, las ordenadas correspondientes a una figura descrita por una parábola las llamaba "abscisas segundas" y eran descritas por terceras proporcionales de la unidad y de la abscisa,  1 : x = x : y. Las ordenadas de estas figuras quedaban definidas por medianas proporcionales o terceras proporcionales. Es decir, la conexión entre la figura (que no representaba) y la expresión algebraica (curva) que describía la figura era la teoría de proporciones de Euclides. Así pues, cuando demostraba las propiedades de las curvas que describían la figura (creciente, punto máximo,...), utilizaba directamente la expresión algebraica y las propiedades de las proporciones sin preocuparse de la representación gráfica de la figura. Triángulo de cuadraturas Mengoli además colocó estas expresiones algebraicas en tablas triangulares a fin de calcular a la vez todas las cuadraturas de las figuras de la tabla. Por ejemplo, para representar la parábola escribía FO.a2, para la expresión y=x3 escribía FO.a3, para la expresión y=x(1-x) escribía FO.ar,  representando x por a y 1-x por r ... Seguidamente multiplicó estas expresiones algebraicas por dos factores que calculaba fácilmente ya que sólo dependían del grado de la expresión algebraica y, por último, demostraba que todas las cuadraturas eran iguales a la del cuadrado de lado uno. Por ejemplo, calculó: Más tarde, en 1672,  en su obra Circolo, construía una tabla de cuadraturas de figuras interpoladas y utilizando el mismo método obtenía nuevas cuadraturas. Por ejemplo, calculó: La demostración de Mengoli es independiente del grado y sirve para cualquier figura [Massa, 1998, 129-171; 2006a, 105-109]. El álgebra le proporcionaba un método para calcular a un mismo tiempo todas estas cuadraturas y no le hacía falta hacer cada vez la cuadratura de una curva para encontrar una regla que le permitiera generalizarlas. Así pues halló el instrumento generalizador en las tablas triangulares y en el álgebra ya que las tablas se pueden extender indefinidamente, son fáciles de construir y las letras le permiten identificar las figuras dentro de la tabla. Mengoli siguiendo una investigación muy original  "conjunta perfectamente" en su método de cuadraturas la matemática clásica, representada en este caso por Euclides (teoría de proporciones) y Arquímedes (método de exhaución),  el método de los indivisibles de su maestro y la matemática innovadora representada por el álgebra de Viète. La utilización de ésta en su método de cuadraturas es un rasgo característico y fundamental de su obra, tal como él mismo señalabaal principio de Geometriae Speciosae Elementa: "Ambas geometrías, la antigua de Arquímedes y la nueva de los indivisibles de Buenaventura Cavalieri (preceptor mío), así como también el álgebra de Viète, han estado tratadas con bastante acierto por personas cultas; de ellas, ni confusamente ni como si fuese una mezcla, sino por una perfectaconjunción, se obtiene una nueva, la especie propia de nuestro trabajo, que no podrá desagradar a nadie." [Mengoli, 1659, 2-3]. Aunque las aportaciones de  Mengoli constituyeron un eslabón más en el proceso de la algebrización de las matemáticas, su objetivo prioritario no fue ni la construcción algebraica de las curvas ni clasificar las mismas, sino resolver unas cuadraturas aportando un nuevo método que le permitiera hallar la cuadratura del círculo.  Difusión e influencia de las obras de Mengoli Con respecto a la difusión e influencia de sus obras, consideraremos su vida científica dividida en dos periodos, hasta el año 1660 y del año 1670 en adelante, cuando Mengoli, aparte de diversificar el campo de sus investigaciones, empezó a dejar de ser citado en los círculos científicos distanciándose cada vez más de sus contemporáneos. Su primera obra Novae Quadraturae Arithmeticae (1650) aparece citada en muchas cartas de los científicos europeos y provocó una discusión entre Leibniz y Oldenburg sobre qué tipo de series había sumado Mengoli [Oldenburg, 1986, IX, 488-498, 556-563, 648-652, 664-665]. Según Robinet (1987: 329), Leibniz conocía a Mengoli a través de Jacques Ozanam (1640-1717) y del problema que éste le propuso. Existe un comentario manuscrito de Leibniz al Theorema Arithmeticum de 1674 de Mengoli donde especifica que Mengoli no supo solucionar en ese momento el problema de Ozanam, pero que lo hizo más tarde [Leibniz, 1990, 37, 39, 40 i 75 y Nastasi-Scimone, 1994,10-27]. Robinet, al situar a Leibniz en Bolonia, identifica la obra de Mengoli como una de las fuentes cruciales para la invención leibniziana en matemáticas. En realidad Leibniz leyó minuciosamente la obra de Mengoli y probablemente utilizó sus resultados. Recientemente se han publicado unos escritos de Leibniz en los que éste comenta los resultados obtenidos por Mengoli en Circolo y analiza el procedimiento utilizado [Leibniz, 2003, 735-748]. Su obra Speculationi di Musica es, después de la Novae, la segunda obra de Mengoli más citada en la correspondencia europea. Con ella empezaba la parte más filosófica de su carrera. Aquí es dónde disertaba por primera vez sobre los motivos de su filosofía natural. Esta obra, esperada con impaciencia por los científicos londinenses, fue comentada y parcialmente traducida en las Philosophical Transactions (1674, 100, 6194-7000). También apareció citada en la correspondencia de Collins con James Gregorie (1638-1675) y con Isaac Newton (1643-1727), donde Collins describía a Mengoli como: "un excelente matemático y músico" [Rigaud, 1841, 299-301, 319-321]. Pero no todas las alusiones a Mengoli fueron positivas. Cabe mencionar las referencias a su obra en la correspondencia entre Isaac Barrow (1630-1677) y Collins. Así en una carta con fecha del 1 de febrero de 1666, Barrow opinaba que leer las obras de Mengoli era más duro que leer obras escritas en árabe [Rigaud, 1841, II, 33-40-46]. No obstante, en estas cartas se pone de manifiesto que las obras de Mengoli eran conocidas y esperadas en Europa.  Se conoce muy poco de la actividad científica de Mengoli entre el año 1660 y el 1670, puesto que no publicó ninguna obra. Mengoli vivía retirado en su iglesia de Sta. Mª Magdalena y la única actividad en la que colaboraba era la astronomía; hacía observaciones sobre los astros, eclipses, cometas,... con el fin de encontrar el "curso" del sol, utilizando la meridiana de S. Petronio. GNOMONE SAN PETRONIO A través de la correspondencia publicada hace pocos años por Baroncini y Cavazza (1986), podemos percibir mejor los pensamientos del boloñés del último periodo, ya que abarca del año 1674 al 1686. De entre las cartas editadas (64), todas ellas de Mengoli, y de las cuales no se conservan las respuestas, 54 estaban dirigidas a la misma persona, concretamente a Magliabechi, que era el contacto entre nuestro autor y el mundo científico italiano del momento. Al leerlas, se advierte que, al final de su vida, se sentía muy solo. Efectivamente, después de la década de 1670, Mengoli ya no volvió a ser citado y aunque sus obras al principio habían sido muy apreciadas por los matemáticos europeos, parece ser que murió aislado e ignorado [Gregory, 1939, 179-186-203-231-232-236]. No hay una opinión unánime acerca de los motivos de este aislamiento. Es posible que su manera de escribir confusa y enrevesada, y su notación hicieran difícil la lectura de sus obras. Cavazza (1979/80) especifica que la razón de su aislamiento no se encontraba ni en la oscuridad lingüística de sus obras, ni en la incomprensibilidad de los temas y de los conceptos, sino en una incompatibilidad ideológica de fondo. Destaca Cavazza tres aspectos del pensamiento de Mengoli: suinterés por la astrología, su concepción auxiliar de la ciencia y sus ideas sobre la teología matemática. Sin embargo, muchos matemáticos de la época probablemente no analizaron su obra debido a su manera dificultosa y poco clara de escribir. Realmente, Mengoli elaboró un lenguaje algebraico propio, dónde la notación, a medida que se avanzaba, se complicaba cada vez más. Además, los procedimientos que utilizó para introducir el álgebra en la geometría no coincidían con las tendencias del momento. También pudieron influir factores externos, ya que durante la segunda mitad del año 1600 en Bolonia se produjo una crisis cultural muy importante, y los científicos con más renombre la abandonaron - por ejemplo, Cassini se trasladó a París (para dirigir el observatorio real) y Montanari a Padua [Pepe, 1981, 56-101]. Los centros conectados con los ambientes europeos estaban limitados a los centros florentinos, alrededor de la corte de los Médicis, y a los romanos, atados a la Curia, quedando fuera de estos contactos los de Bolonia. Otro aspecto que podría ayudar a explicar el olvido en que cayó su obra es el giro intelectual de Mengoli en su investigación a partir del año 1660. Después del Circolo, que le debía permitir averiguar las reglas de los solsticios y de los equinoccios, no escribió más obras de matemática pura, sino obras relacionadas con la cronología y la cosmología bíblica y que, además, no concordaban con el pensamiento filosófico de la época. Quizás no haya una única razón y sea la conjunción de todos estos argumentos la que puede encaminarnos a encontrar una respuesta al por qué del alejamiento de sus contemporáneos. Estudios recientes Aunque durante casi dos siglos el nombre de Mengoli permaneció ignorado, a principios del siglo veinte las referencias al estudio de sus obras matemáticas hicieron que empezase a ser valorado, especialmente por su obra sobre la teoría de series infinitas. Eneström (1912), Vacca (1915) y Agostini (1941) mostraron que Mengoli fue el primero en calcular sumas de series infinitas distintas de las series geométricas, en enunciar el concepto general de convergencia y divergencia y en demostrar que la serie armónica es divergente. Más recientemente también Giusti (1991) describió los resultados obtenidos en la Novae Quadraturae Arithmeticae. Agostini (1950) ya puso de relieve la importancia de la Geometriae Speciosae Elementa, en concreto, el concepto de límite y la integral definida. También Massa (1997-1998-2001-2003-2006a-2006b) ha realizado diversos estudios así como una tesis doctoral, sobre la obra matemática de Mengoli La autora muestra en sus publicaciones la originalidad y la creatividad de los métodos mengolianos. En 1991 Gozza hizo diversos estudios sobre la Speculationi di Musica de Mengoli. También Wardhaugh ha leído recientemente (2006) una tesis doctoral sobre la música del siglo XVII analizando en particular esta obra. Estas nuevas investigaciones han de permitir profundizar en la obra de Mengoli y  situarla en el lugar que les corresponde dentro de la historia de las matemáticas y del pensamiento del siglo XVII. BIBLIOGRAFÍA Obras de Mengoli Mengoli, P. Novae Quadraturae Arithmeticae seu De Additione Fractionum. Bolonia, 1650. Mengoli, P. Via Regia ad mathematicas per arithmeticam, algebram speciosam and planimetriam, ornata MaiestatiSerenissimae D. Christinae Reginae Suecorum. Bolonia, 1655. Mengoli, P. Geometriae Speciosae Elementa. Bolonia, 1659. Mengoli, P. Circolo. Bolonia, 1672. Mengoli, P. Anno. Bolonia, 1673. Mengoli, P. Arithmetica Realis. Bolonia, 1675. Obras relacionadas con Mengoli Andersen, K. Cavalieri's Method of Indivisibles. Archive for the History of Exact Sciences, 31, 1984/85, 291-367. Agostini, A. La serie sommate da Pietro Mengoli. Bollettino della Unione Matematiche Italiana, ser 2, vol. 3, 1941, 231-251. Agostini, A. L’opera matematica di Pietro Mengoli. 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Martes, 02 de Diciembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico


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