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Biografías de matemáticos ilustres

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Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:José Ferreirós (Universidad de Sevilla)
J[ulius] W[ilhelm] Richard Dedekind (Braunschweig, Alemania, 6 Octubre 1831 – 12 Febrero 1916). El matemático alemán Richard Dedekind fue una figura clave en el surgimiento de la matemática conjuntista y estructural del siglo XX. Su obra y su importancia han sido reevaluadas en los últimos treinta años, resultando que no deja de crecer la estimación que de él se tiene. Hasta cierto punto, se le puede considerar un moderno Euclides: dejó una huella muy importante en los elementos de la matemática, de ahí que los Bourbaki le consideraran uno de sus antecesores directos. Durante el siglo XX, a Dedekind se le ha conocido sobre todo por su aportación a los fundamentos del sistema numérico (definiciones de los números reales y naturales), pero su principal contribución como investigador fue en el terreno del álgebra y sobre todo la teoría de números algebraicos. Igual que quien sería su director de tesis: Gauss, el “primero entre los matemáticos”, Dedekind nació en Braunschweig (Brunswick), capital de un pequeño ducado situado al oeste de Berlín. Era el cuarto hijo de una familia acomodada, de padre jurista, profesor en el Collegium Carolinum de la ciudad. En ese mismo lugar, convertido en Politécnico, impartiría clases el matemático desde 1862 y durante más de 30 años, encargándose entre otras cosas (como rector) de su transformación en Escuela Técnica Superior. Siendo estudiante, en 1850 fue a la célebre Universidad de Göttingen, y escuchó entre otras las lecciones de Gauss sobre el método de mínimos cuadrados y las de Wilhelm Weber sobre física experimental. Tras el doctorado, fue miembro del Seminario Físico-Matemático de la universidad, donde conocería nada menos que a Bernhard Riemann, figura capital en su desarrollo como matemático. En el año 1854 se “habilitan” como profesores asistentes (Privatdozent) tanto Dedekind como su compañero Riemann, cinco años mayor. Pero, a diferencia de las tremendas contribuciones que hizo Riemann en sus dos tesis y en su lección de habilitación, no encontramos nada comparable en los trabajos de Dedekind. Eso sí, la lección de habilitación mostraba su interés por los fundamentos de la matemática y su orientación reflexiva y sistemática. Fue a partir de 1855, cuando muere Gauss y la universidad contrata a otra gran figura, Gustav Lejeune-Dirichlet, que Dedekind entró realmente en la atmósfera de la alta investigación. La interacción con Riemann, a cuyos cursos asistía regularmente, y la conversación diaria con el riguroso y omniabarcante Dirichlet, resultaron estímulos decisivos. Hacia 1856 nuestro hombre encontró el que sería su principal campo de trabajo. Escucha las lecciones de Dirichlet sobre teoría de números, famosas por haber puesto el contenido de las Disquisitiones arithmeticae de Gauss al alcance del “gran público” matemático, y las discute minuciosamente con su maestro. Pero sobre todo estudia los trabajos de Abel y Galois, a resultas de lo cual imparte un curso sobre álgebra superior y teoría de Galois, aparentemente el primero de este tipo en Alemania. El primero, y el más avanzado por mucho tiempo: se conserva un manuscrito (redactado probablemente hacia 1858, después de concluidas las lecciones) y de él se ha dicho que constituye “el primer tratamiento moderno del tema”. Concibe la teoría directamente en términos de extensiones de cuerpos, estudia cuidadosamente las relaciones entre dichas extensiones y los grupos de las ecuaciones, y además –a diferencia de sus contemporáneos– pone en segundo plano el estudio de las soluciones de ecuaciones. Pero Dedekind no llegó a publicar ese manuscrito cuidadosamente redactado, y de hecho tardó mucho (demasiado) en publicar contribuciones importantes. En 1858 se desplaza a Zurich como profesor del Politécnico (la famosa ETH posterior), año y lugar donde por cierto concibió su célebre definición de los reales mediante cortaduras. En 1862 vuelve a Braunschweig, y durante unos años parece abandonar la investigación para dedicarse a publicar trabajos de sus grandes maestros: las Vorlesungen über Zahlentheorie de Dirichlet (1863) y algunos trabajos de Riemann (en 1868 los célebres trabajos de habilitación, sobre geometría y sobre teoría de funciones reales, con la definición de la integral; en 1876 las obras completas editadas por él y Heinrich Weber). Segunda edición (1871) por R. Dedekind de las “Vorlesungen über Zahlentheorie de Dirichlet, que incluye un apéndice “sobre la teoría de los números enteros algebraicos” La razón de no publicar venía en buena medida de lo exigente que era Dedekind a la hora de juzgar sus logros, cosa quizá normal en alguien que había conocido en persona a Gauss y Riemann (!). Su largo trabajo sobre números algebraicos, hacia 1860, no le había permitido elaborar una teoría perfectamente general, y eso al parecer le desencantó. Por fin, ya a los 40 años, publica la segunda edición de las Vorlesungen de Dirichlet (1871), y dentro de ella –curioso lugar en una época ya de artículos especializados– un apéndice “sobre la teoría de los números enteros algebraicos”. Se ha llegado a decir que este trabajo dio forma a la teoría de números moderna. Aparecían aquí diversas estructuras algebraicas, estudiadas empleando homomorfismos, isomorfismos, clases de equivalencia: las estructuras de cuerpo, anillo –sin este nombre–, módulo, ideal (siempre dentro del contexto particular de los números complejos). La teoría de los enteros algebraicos se convertía en una teoría de ideales en anillos de enteros, y mediante esta transformación Dedekind lograba la generalidad deseada. Un ideal (en un anillo de números) es un conjunto de infinitos números enteros del anillo, cerrado para la suma y también para la multiplicación por números cualquiera del anillo. El replanteamiento que propuso Dedekind significaba introducir “a todo trapo” el lenguaje conjuntista en este campo de la matemática. La recepción de su trabajo fue lenta, sin duda porque se trataba de un cambio muy radical. Este punto es difícil de juzgar hoy para nosotros, acostumbrados como estamos desde muy pronto al lenguaje conjuntista. Pero en aquella época el álgebra era todavía la teoría de las ecuaciones, y el estudio de los enteros algebraicos consistía en estudiar propiedades y relaciones de números concretos. Dedekind pasaba a analizar las propiedades de la multiplicación de ideales, y esto representaba para sus contemporáneos una abstracción sumamente difícil. Se puede decir que sólo hacia 1890 encontró continuadores. Entretanto, Dedekind había publicado otras dos versiones de la teoría de ideales, en sendas reediciones del libro de Dirichlet (1879 y 1893). Estas nuevas versiones introducían cambios muy importantes, guiados por un ideal de pureza de método. Dado que el punto de partida de la teoría eran definiciones de estructuras conjuntistas, el método de trabajo debía basarse en el manejo lo más directo posible de conjuntos y morfismos. Dedekind era, en cierto sentido, más un sistemático que un matemático orientado a la resolución de problemas. En su afán de pureza, y de acuerdo con el espíritu “aritmetizador” de la época, llegó a sugerir en algún momento que el álgebra debía olvidarse de los polinomios. Pero ese mismo afán le llevó a desarrollar métodos que tenían un gran potencial de generalización; de ahí la famosa frase que Emmy Noether solía repetir a sus colaboradores: “ya está todo en Dedekind” (es steht alles schon bei Dedekind). La versión de 1893 incluía un nuevo tratamiento de la teoría de Galois, muy abstracto para la época, en términos de grupos de automorfismos del cuerpo correspondiente. Resultados como el teorema sobre independencia lineal de los automorfismos prefiguran el modo de trabajo del álgebra abstracta de los años 1920 (Artin, Noether). Sin embargo, los matemáticos de su momento se quejaban de tanta abstracción. Frobenius, que conocía bien a Dedekind y su trabajo, bromeaba diciendo que iba demasiado lejos y que sus morfismos eran “demasiado incorpóreos” (recuérdese que fue Dedekind quien introdujo el término “cuerpo”). Les parecía que con medios más tradicionales se podían desarrollar los resultados de un modo más económico y elegante, y así lo hizo por ejemplo Hilbert en su célebre Zahlbericht de 1897. Dedekind respondía que si elaboraran todo desde el principio y justificaran todos los pasos, el desarrollo al modo habitual resultaría más largo y complejo que el suyo. Pero su enfoque purista y abstracto tardó en imponerse. En 1882, Dedekind publicó junto a su buen amigo Heinrich Weber (entonces profesor en Königsberg, con el joven Hilbert entre sus alumnos) un trabajo fundamental sobre curvas algebraicas bajo el título “Teoría de las funciones algebraicas de una variable” (Journal für die reine und angew. Mathematik). Se establecía aquí un paralelismo muy notable con la teoría de ideales, y por esta vía puramente algebraica se llegaba a dar una definición de los puntos en una superficie de Riemann y se alcanzaba a demostrar el teorema de Riemann-Roch. El cambio con respecto al tratamiento habitual de estas cuestiones era de nuevo inmenso, los autores describían su método como “simple pero a la vez riguroso y plenamente general”. El tipo de paralelismo estructural que aquí se plantea sería premonitorio de la matemática del siglo XX. Se abría el camino a la geometría algebraica, que también recibió por entonces estímulos de Kronecker, el gran “contrincante” de Dedekind. A propósito de Kronecker, famoso por su enfrentamiento con Cantor, no está de más recordar que fue todavía más beligerante con Dedekind. (Si éste se lo tomó relajadamente, la razón hay que buscarla en las grandes diferencias entre su personalidad y la del genial pero inestable Cantor.) Kronecker y Dedekind compartían casi todo: campos de trabajo –teoría de números, álgebra, curvas algebraicas–, interés por los fundamentos y capacidad para ir a fondo en ambas direcciones. Pero había buenas razones para su enfrentamiento, no casual sino sintomático de dificultades que ya no desaparecerían. Se trataba del enfrentamiento entre los métodos y concepciones de la matemática moderna, conjuntista y estructural, por un lado, y por otro los métodos y concepciones de la matemática constructivista (que en cierta medida seguía más apegada a los modos de hacer tradicionales). Kronecker fue, en efecto, un antecesor muy coherente de Brouwer, Weyl, Lorenzen o Bishop, partidario de que todos los objetos matemáticos fueran definidos o construidos explícitamente a partir de los números naturales, sin recurrir al artificio de los conjuntos infinitos. Nada más lejano del punto de vista de Dedekind, quien creía, con cierta ingenuidad, que recurrir a conjuntos infinitos eran simplemente hacer uso de la lógica y del pensamiento racional. Siendo como era profesor en una Escuela Técnica, Dedekind no tuvo discípulos, no creó escuela. Pero además de la influencia de sus escritos, magníficamente presentados, estuvo su colaboración con grandes matemáticos como el citado Heinrich Weber, como Frobenius, etc. Años después de su artículo conjunto, Weber publicó un manual de álgebra que sería obra de referencia obligada durante tres décadas. La correspondencia con Frobenius, publicada hace poco, desempeñó un papel importante en el desarrollo de la teoría de caracteres de grupos. Las indicaciones de Dedekind fueron importantes para orientar a Frobenius, y también lo fue el trabajo de aquél sobre números hipercomplejos publicado en 1885. En una de las cartas escribe Frobenius: Hace ya mucho tiempo me sorprendía que no hubiera Ud. participado más activamente en el desarrollo de la teoría abstracta de grupos, pese a que, dada su disposición, este campo debía haberle resultado especialmente atractivo. Ahora veo que se ha ocupado Ud. de ella durante diez años, pero sin compartir con sus amigos y admiradores (¿quizá también, desgraciadamente, dada su disposición?) sus resultados extremadamente bellos. Y por supuesto está la famosísima correspondencia con Cantor, sobre todo de 1872 a 1882, en la que éste iba desarrollando sus geniales ideas nuevas y las sometía al riguroso análisis de su colega.  Es a Dedekind a quien Cantor dirige la conocida frase “lo veo pero no lo creo” (añadiendo “mientras no me dé Ud. su aprobación”) en referencia a la equipotencia de los continuos de cualquier número de dimensiones. El trabajo de Dedekind sobre fundamentos del número estaba íntimamente ligado con su investigación en álgebra y teoría de números. Este tipo de interacción es distintiva de su obra, y precisamente es lo que le condujo a dar con nociones fundamentales que tenían a la vez la generalidad necesaria para reconstruir todo el edificio de la matemática pura. Igual que veía el álgebra en términos de estructuras (esencialmente cuerpos o subestructuras de cuerpos) y morfismos, acabó reduciendo el concepto de número a conjuntos y aplicaciones. Nacía así, en paralelo con las novedosas contribuciones de Cantor, el enfoque conjuntista de los fundamentos. Lo característico y muy original de Cantor fue su fantástico viaje de exploración de lo que él llamaba transfinito; pero en lo relativo a reformular la matemática dentro del enfoque conjuntista, Dedekind fue más lejos y además se anticipó. El primer paso fundamental en esa dirección lo dio Dedekind en 1858, cuando ideó la definición de los números reales mediante cortaduras, insatisfecho porque hasta entonces la teoría de límites se apoyaba en evidencias geométricas. Dedekind advirtió que las propiedades de orden denso de los números racionales hacían posible utilizar el fenómeno de las cortaduras para definir los reales. Una cortadura es una partición de Q en dos subconjuntos disjuntos (A1, A2) tal que cada número de A1 es menor que todo número de A2. El conjunto de los números reales es (en esencia) el conjunto de todas las cortaduras sobre Q, y Dedekind demostraba rigurosamente que dicho conjunto es continuo. De este modo, podía demostrar con rigor que toda sucesión estrictamente creciente y acotada de reales tiene por límite un número real. Con ánimo polémico, Dedekind escribió que hasta ese momento nadie había dado los medios para demostrar que √2 · √3 = √6. De nuevo, su trabajo quedó muchos años sin publicar, y la razón –si creemos a su autor– fue que no era original, sino que cualquier buen matemático que decidiera prestar su atención al tema llegaría a algo similar. Sólo en 1872, teniendo que escribir algo para un volumen de homenaje a su padre, Dedekind sacó sus notas del cajón y publicó “Continuidad y números irracionales”, un artículo magistral. Se debe notar que aquí R queda caracterizado, al pie de la letra, como un cuerpo de números dotado de un orden lineal continuo (el orden denso del cuerpo Q era analizado también con toda precisión, pero sin usar el término “denso”). El descubrimiento de que los números reales eran reducibles a los números racionales, empleando sólo teoría de conjuntos, debió tener un efecto muy poderoso sobre Dedekind. Como muchos de sus contemporáneos, Dedekind creía (ingenuamente) que la teoría de conjuntos no era más que una parte de la lógica elemental. (Este punto de vista exigía recurrir implícita o explícitamente al principio de comprehensión, presunto axioma lógico que años después se demostró contradictorio gracias precisamente a las paradojas.) Al pensar de esa manera llegó al convencimiento de que –como escribió en 1888– “la aritmética”, pero también “el álgebra y el análisis”, son “sólo una parte de la lógica”. Nacía así, hacia 1872, el programa logicista en fundamentos de la matemática. Pero para establecerlo era necesario dar una teoría totalmente rigurosa de los números naturales, basada sólo en la teoría de conjuntos y aplicaciones. ¿Qué son y para qué sirven los números? de R. Dedekind (1888) Dedekind se puso manos a la obra durante los años 1870, y publicó sus resultados en el librito ¿Qué son y para qué sirven los números? (1888), una obra que hizo época, según dijo el propio Hilbert. El nivel de rigor alcanzado en el desarrollo de la aritmética de N era altísimo, sin precedentes, pero lo más notable era el enfoque. La teoría de los naturales, que siempre se habían considerado los objetos finitos por excelencia, se deducía íntegramente a partir de resultados sobre conjuntos infinitos. Otro ejemplo similar: la equipotencia entre todos y partes, que ya desde Galileo se había considerado la gran paradoja del infinito, se convertía simplemente en definición de conjunto infinito. En su libro, Dedekind axiomatizaba la aritmética de los naturales ofreciendo una caracterización de la estructura del conjunto de los números naturales. La idea es que N es un conjunto dotado de una aplicación inyectiva Φ (la función sucesor) y con un elemento distinguido 1, tal que: (a) Φ(N) ⊂ N, lo que le hace infinito; (b) 1 ∉ Φ(N), es decir, no es un sucesor; y (c) N es la Φ-cadena de , lo que intuitivamente significa que es el más pequeño conjunto que satisface (a) y (b) y es cerrado bajo Φ. Estas condiciones son equivalentes a los famosos axiomas de Peano, propuestos por éste un año más tarde. En concreto, la condición (c) de ser una cadena permite deducir el axioma de inducción. Pero lo cierto es que Dedekind era más general y más riguroso que Peano, como muestra por ejemplo el hecho de que desarrolló una teoría general de las definiciones recursivas. Para preparar esa definición de los naturales, Dedekind empezaba su libro presentando una teoría elemental pero general de conjuntos, en la que encontramos algunos de los axiomas de Zermelo. Estudiaba luego la teoría de aplicaciones, por primera vez en la historia, y finalmente desarrollaba una teoría general de cadenas que tuvo mucha importancia en el desarrollo de la teoría de conjuntos. Sólo a partir de la sección 6 limitaba sus consideraciones con vistas a la aritmética finita, y en algún lugar sugería que era fácil generalizar sus ideas al caso transfinito. Ahora bien, hay un punto (afortunadamente sólo uno) donde su enfoque no resultó aceptable a la vista de las antinomias: el intento de demostrar que existe un conjunto infinito. Las paradojas arruinaron la interpretación logicista de esos resultados, pero no el desarrollo teórico mismo, que fue reincorporado dentro de la teoría axiomática de conjuntos. (Por cierto, Zermelo solía denominar “axioma de Dedekind” al axioma del infinito, ya que las ideas esenciales y la necesidad de un principio así se encuentran en su trabajo.) Para quienes entendieron esa obra de Dedekind, y comprendieron sus conexiones con el álgebra y el análisis, los conjuntos y las aplicaciones se convertían en las piedras básicas con las que se construía todo el edificio de la nueva matemática estructural. Una de estas personas fue Hilbert, que –como hemos descubierto recientemente– fue partidario del logicismo de Dedekind hasta 1900 o algo más. Precisamente Hilbert escribió que el enfoque de Dedekind, con su idea de fundar lo finito en lo infinito, resultaba “deslumbrante y cautivador”. Dedekind fue un hombre de vida retirada, modesto, recto y exigente, aunque con sentido del humor. Soltero, vivió una existencia provinciana y cerrada junto a su madre y su hermana, rehusando incluso alguna cátedra universitaria por no alejarse de la familia. Eso sí, parece haber disfrutado mucho de la música (tocaba bien el cello y el piano), de la lectura (junto a su hermana, escritora de éxito), y de la naturaleza. Felix Klein, hombre de mundo, amante del poder y las grandes empresas, escribió de él: Su fuerza estaba en la capacidad de penetrar profundamente en los principios de su ciencia; fue en esencia un hombre de natural contemplativo, al que quizá le faltaba empuje y capacidad de decisión. Quizá, más que nada de esto, de lo que careció es de ambición y, sin duda, de espíritu aventurero. Bibliografía: G. Cantor & R. Dedekind, Briefwechsel, Paris, Hermann, 1937. (Hay trads. francesa de Cavaillès e inglesa de Ewald.) R. Dedekind, Mathematische Werke, 3 vol., Braunschweig, Vieweg, 1930–1932. R. Dedekind, ¿Qué son y para qué sirven los números?, ed. & introduc. J. Ferreirós, Madrid, Alianza/UAM, 1997. R. Dedekind, Theory of algebraic integers [trad. de un artículo original en francés, 1877], Cambridge Univ. Press, 1996. G. L. Dirichlet y R. Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie, Braunschweig, Vieweg, 1863, 1871, 1879, 1894. Reimpresión de la 4ª edición en New York, Chelsea, 1968 (selecciones de las otras eds. en Werke, vol. 3). Versión inglesa: American Mathematical Society (AMS), 1999. P. Dugac, Richard Dedekind et les fondements des mathématiques (avec de nombreux texts inédits), Paris, Vrin, 1976. H. M. Edwards, The genesis of ideal theory, Arch. Hist. Exact Sciences 23 (1980), 321-378. H. M. Edwards, Dedekind's invention of ideals, Bull. London Math. Soc. 15 (1983), 8-17. Reimpreso en Studies in the history of mathematics (Washington, DC, 1987). J. Ferreirós, Labyrinth of Thought: A history of set theory, Basel, Birkhäuser, 1999.
Martes, 18 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Josep Pla i Carrera (Universitat de Barcelona)
[31 de marzo de 1596 a la Haye (ahora Descartes), Touraine 11 de febrero de 1650, Estocolmo, Suecia] René Descartes es un filósofo integral cuya obra Géométrie [Geometría] ha jugado un papel muy importante tanto en su sistema filosófico global cuanto en la historia del pensamiento matemático. Por esta razón es de gran provecho releerla de nuevo para comprender la evolución de dicho pensamiento antes y después de Descartes. Descartes fue educado en el colegio de los jesuítas de La Flèche de Anjou. Ingresó a los nueve o diez años y permaneció en la institución hasta 1615. Al parecer, por motivos de salud, se le permitía permanecer en la cama hasta las once de la mañana, una costumbre que Descartes mantendría a lo largo de toda su vida. En La Flèche estudió fundamentalmente a los clásicos, filosofía y lógica en la tradición aristotélica. En cambio, bajo la influencia de Clavius, del Collegio Romano —el centro en el cual se formaban los cuadros de los jesuítas—, los centros educativos de esta orden prestaron un especial interés por las matemáticas de la época. Así pues, Descartes, bajo la atenta mirada del padre Jean François, entró en contacto con los textos matemáticos de la época probablemente a través de la obra crítica de Clavio. Sin embargo, según expone el propio Descartes en la introducción al Discours de la méthode [Discurso del método] las enseñanzas que recibió no le satisfacían, exceptuando las de la matemática porque proporcionaban un conocimiento verdadero. La verdad como garantía del conocimiento es uno de los leitmotivs de Descartes a lo largo de toda su filosofía. Por esta razón pensó que toda forma de pensamiento debería basarse en los mismos principios en los que se basaban las matemáticas: simplicidad y claridad. Estas bases se hallan expuestas de forma específica en las inacabadas Regulæ ad directionem ingeniï [Reglas para la dirección  del espíritu] y en el ya citado Discurso del método. Los estudios de derecho los realizó en la Universidad de Poitiers, en donde obtuvo el grado en 1616. Este mismo año se alistó en la escuela militar de Breda. En 1618, cuando estaba estudiando matemáticas y mecánica bajo el influjo del científico holandés Isaac Beeckman, se planteó la necesidad de establecer una ciencia unificada que fuese apta y útil para el estudio de la Naturaleza. Esta concepción de la unidad del conocimiento no le abandonaría jamás. En 1619 se unió al ejército de Baviera. Entre 1620 y 1628 viajó por Europa. En 1623, hallándose en París, entró en contacto con el padre mínimo Marin Mersenne, circunstancia indispensable para poder mantener un nexo vivo y permanente con el resto de eruditos de Europa. Viajó a Italia para conocer a Galileo Galilei, pero la fortuna no le acompañó y nunca llegó a producirse el encuentro. Cuando en 1628 decidió retirarse de la vida cortesana de París y establecerse definitivamente en un lugar tranquilo, eligió Holanda —los Países Bajos— en los que permaneció los siguientes veinte años. Fueron años de reflexión, de meditación, de trabajo, y de producción. Se ha dicho que Descartes, descontento con las enseñanzas que se impartían en los Centros más prestigiosos basadas en los textos de los filósofos de la Antigüedad, se propuso substituirlas por su nueva visión del conocimiento. Recién acabado de establecerse en Holanda, inició esta tarea con un tratado de filosofía de la naturaleza, Le Monde, ou Traité de la lumière [El Mundo, o Tratado de la luz]. Se basaba en las ideas copernicanas, defendidas por Galileo. Pero cuando éste fue condenado por el Santo Oficio de Roma, decidió no publicar su tratado. A pesar de que nunca perdió el contacto, a través de Mersenne, con los pensadores franceses e ingleses, ni tampoco con Beeckmann, en Holanda conoció, entre otros,  a Mydorge, Hortensius, Huygens, y Frans van Schooten. Con alguno de ellos se estableció una auténtica amistad. Ellos le instaron para que publicara sus ideas, lo cual  Descartes hizo  con un tratado sobre ciencia que tenía por título Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la Verité dans les Scienes, plus trois Essais, La Dioptrique, Les Météors, et la Géométrie [Discurso del método para razonar correctamente y buscar la verdad en las ciencias, seguido de tres Ensayos, La Dióptrica, Los Meteoros, y la Geometría]. Escrito en francés "para que lo pudieran entender hasta las mujeres", se publicó en Leyden en 1637. Refiriéndose a este Tratado, dice a Mydorge: En la Dióptrica y los Meteoros he intentado mostrar que mi método es superior que el método vulgar, y con la Geometría lo he demostrado. Primera edición del “Discours de la Methode” de R. Descates (1637) Este texto está íntimamente ligado con el Tratado, no publicado, de la Luz y también con un texto inacabado de juventud, las Regulæ. Con los ensayos pretende ofrecer textos alternativos a los de óptica, astronomía y geometría de los currículums habituales. Además constituyen un ejemplo de la unidad del pensamiento, por lo menos, por lo que se refiere a la ciencia. En la Geometría estudia los óvalos [de Descartes], que, en la óptica, utiliza para hacer lentes, en la Dióptrica da las leyes matemáticas de la reflexión y de la refracción, y en los Meteoros las usa para explicar el porqué del arco iris. Pero Descartes quería también aportar sus nuevos puntos de vista en los campos de la filosofía, la teología, y la ética. Por esta razón publicó Méditationes de prima philosphia (1641) y Principia Philosophiæ (1644), Les passions de l'âme (1649), etc. Los Principia Philosophiæ constan de cuatro partes que versan sobre el conocimiento humano, sobre los principios de las cosas materiales, sobre el mundo visible, y sobre la Tierra. En dicho tratado sostiene —en la línea de Galileo— que el estudio del universo debe reducirse a la matemática a través de una cierta mecánica. Sin embargo, sus presupuestos metafísicos eran muy rígidos —no aceptaba la posibilidad de la "acción a distancia", ni tampoco la existencia del vacío, etc.—, y le impidieron darse cuenta de la importancia del fenómeno de la gravedad. En este sentido es paradigmático el ejemplo de su demostración de la ley de la refracción de la Dioptrique, basada más en las "cualidades", en la línea clásica, de la luz que en un modelo matemático como el que ofrecería Pierre de Fermat, basado en el principio de la mínima acción: "la luz sigue el camino más breve". Sin embargo, hemos de afirmar, en honor a la verdad, que su mathesis fue bien acogida por los pensadores de la generación siguiente y halló su síntesis —en el tercer tercio del siglo XVII— en la obra genial de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. En 1647, con ocasión de un viaje a París, Descartes pudo conocer a Blaise Pascal con el cual sostuvo una discusión acerca de la existencia del vacío en la Naturaleza. En 1649, cuando Descartes era considerado uno de los sabios más notables de Europa, la reina Cristina de Suecia le persuadió para que se instalase en su corte de Estocolmo. Las consultas de la reina a altas horas de la noche y de la madrugada —que quebraban las costumbres de Descartes— junto con el rigor del frío en Suecia en invierno, llevaron a Descartes a contraer, a los pocos meses de estancia en Estocolmo, una neumonía que pondría fin a su vida el 11 de febrero de 1650, cuando aún no había cumplido 54 años. Descartes dejaba una obra importante y sobretodo novedosa. Pero, con la perspectiva del tiempo —sin pretender cuestionar en absoluto su importancia como pensador global y como filósofo de una influencia decisiva en el pensamiento occidental moderno—, podemos afirmar que, de entre todas, la obra que realmente supuso una revolución en la manera de entender la disciplina de la que trataba es la Géométrie. Todavía mantiene, en gran parte, toda su vigencia. Es por esta razón que le dedicaremos un poco más de atención que al resto de sus obras. La importancia matemática de "La géometrie" hizo que, poco después de su aparición, se publicara separadamente del Discurso. Los problemas de la geometría griega eran, según la clasificación de Pappos, de tres tipos: planos, sólidos y grámicos, según que, para resolverlos, bastasen la regla y el compás, se requiriese además alguna de las secciones cónicas o, en fin, algún tipo de curva que no fuese ninguna de éstas, como la cuadratriz, la espiral de Arquímedes, la concoide, la cisoide, etc. Ahora bien, en la época de Descartes, se dispone de un lenguaje nuevo gracias a las aportaciones de muchos ilustres geómetras, de entre los cuales, en Francia, cabe destacar a François Viète. Este nuevo lenguaje permite expresar ciertas curvas, no ya por medio de una característica geométrica definitoria, sino por medio de una expresión algebraica cerrada que, en el más simple de los casos, es una ecuación polinómica en dos variables. Con este bagaje Descartes, en el Libro I, De los problemas resolubles por medio de rectas y circunferencias, analiza los problemas que los griegos resolvían con el uso exclusivo de la regla y el compás, observando que, con estos instrumentos, puede sumar, restar, multiplicar, y dividir dos segmentos dados, y obtener un nuevo segmento cuya longitud sea, respectivamente, la suma, diferencia, producto, y cociente de las longitudes de los segmentos dados. Y, además, puede extraer la raíz cuadrada de un segmento dado. En breve, dados dos segmentos de longitudes a y b, puede construir los segmentos cuyas longitudes resepctivas sean a+b, a-b, ab, a/b, y √a. Para ello, sin embargo, Descartes precisa de un segmento unidad al cual referir las longitudes de los restantes segmentos rectilíneos. Con esta lectura algebraica de la geometría Descartes rompe con dos de los presupuestos epistemológicos de la geometría griega: 1) Todo segmento tiene asignada una longitud —un número—, con independencia del carácter conmensurable o inconmensurable del valor de dicha longitud. 2) El producto de dos o tres segmentos es un segmento y no un rectángulo o un paralelepípedo, con lo que el problema de la dimensión geométrica deja de ser un impedimento para la generalización. Es posible multiplicar más de tres segmentos. La transcripción algebraica le permite afirmar: Las ecuaciones de segundo grado son resolubles con regla y compás. Y puede mostrar cómo hay que hacerlo para resolverlas geométricamente. Conviene recordar en todo momento que lo que Descartes hace —así lo indica en  título del ensayo, Géométrie— es geometría. De ahí la importancia de una construcción geométrica efectiva y completa. Además, en uno de aquellos momentos de genialidad que le caracterizan, afirma que: Cualquier problema resoluble con regla y compás lleva siempre, en última instancia, a una ecuación de segundo grado. Esta afirmación será precisada y demostrada doscientos años más tarde, en 1837, por Jean Pierre Wantzel. Sin embargo, el filósofo era consciente que su método debía ir más allá y resolver problemas que, en la geometría griega, eran difícilmente resolubles o incluso eran imposible resolver.  Por esta razón plantea, a modo de colofón del Libro I, el problema de las tres y las cuatro rectas que había sido estudiado por Apolonio y resuelto parcialmente por Pappos. En síntesis, establece: Dadas cuatro rectas, dos de las cuales pueden ser la misma, el lugar geométrico de los puntos C del plano tales que el producto de las distancias a dos de las rectas es proporcional al producto de las distancias a las otras en una proporción dada, es una sección cónica. El éxito de Descartes es doble. Por un lado, puede reescribir el problema en función de las coordenadas x,y del punto C. Obtiene una ecuación general de segundo grado en x,y. Entonces, en el Libro II, establece: Toda ecuación de la forma Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Ex + 2Fy + G = 0 es una cónica y su naturaleza depende del signo del discriminante Δ = B2 - 4AC. Se plantea entonces la cuestión: ¿Tiene sentido plantear el resolver el problema cuando hay más de cuatro rectas? ¿Es posible resolverlo? La respuesta es afirmativa: No hay limitaciones espaciales y cualquier problema lleva a una ecuación polinómica. Entonces Descartes plantea y resuelve el más simple de los problemas aún  por resolver. Es el problema de las cinco rectas, cuatro de las cuales son paralelas y equidistantes y la quinta es perpendicular a todas ellas. Obtiene la cúbica semiparabólica: y3 - 2ay2 - a2y + 2a3 = axy. Así pues, de lo que se trata es 1) de caracterizar las ecuaciones polinómicas y 2) de ver, de alguna manera, si las ecuaciones polinómicas corresponden a problemas geométricos. Por lo que, a la primera cuestión se refiere, Descartes decide que las únicas curvas que podemos considerar como geométricas son aquellas que admiten una caracterización algebraica polinómica, aun cuando, para él, esta caracterización sea siempre subsidiaria. Lo importante es que procedan de un problema geométrico en el cual se dé una teoría de la proporción dependiente. Las curvas cuya teoría de la proporción es independiente, las llama mecánicas y las excluye de la Geometría. Esto será criticado muy vehementemente por Leibniz que introducirá las curvas algebraicas —son las cartesianas— y las curvas trascendentes —son las que trascienden el álgebra. Para Descartes las curvas geométricas deben ser construíbles con algún ingenio que tenga la misma precisión que la regla y el compás. No hay razón alguna, según Descartes, para limitarse a estos dos instrumentos a la hora de resolver problemas geométricos. De ahí los compases que Descartes ofrece justo al inicio del Libro II, De la Naturaleza de las curvas. Es curioso observar que, con el segundo de sus compases, se puede construir la cúbica semiparabólica que resuelve el problema de las cinco rectas que acaba de analizar. Además se pueden fabricar curvas de cualquier grado. Sin embargo, Descartes no plantea el problema de si toda curva geométrica va asociada a algún tipo de compás que permita construirla. De ahí la importancia de la segunda cuestión planteada: Toda curva polinómica proviene de un problema geométrico. Descartes lo resuelve afirmando que Toda curva geométrica —polinómica— proviene de algún problema de las 2n-1 o 2n rectas. Sin embargo, como observaría Newton, esta afirmación es falsa. A pesar de que la ecuación de una curva sea, para Descartes, algo subsidiario, el geómetra advierte la importancia que tiene conocer la ecuación de una curva para poder determinar elementos geométricos de la curva, cuales son el centro, el vértice, los ejes, los diámetros, etc.  Pero va mucho más lejos y resuelve "el problema más difícil que podía imaginar". Página del Libro II de “La géometrie” de Descartes. Este problema consiste en determinar el ángulo que forman dos curvas. Recordemos toda la discusión de la época escolástica acerca del ángulo de contacto que debía ser más pequeño que cualquier ángulo rectilíneo sin ser nulo, poniendo en tela de juicio la imposibilidad de la existencia de los infinitésimos. El ángulo que forman dos curvas se mide por medio del ángulo que forman las normales de las curvas en el punto de contacto. Es preciso, pues, determinar la normal a una curva en un punto. Para ello Descartes introduce el círculo osculador de una curva, adelantándose a la curvatura de una curva y al radio de curvatura. El círculo osculador a una curva Φ(x,y)=0 en un punto C de la misma, es aquel círculo que la toca pero no la corta. Es decir, que es tangente a la curva en el punto C. Su radio OC, en donde O es el centro de dicho círculo, nos da la dirección de la normal a la curva en el punto C.  Pero, ¿Cómo podemos determinar el círculo osculador a la curva Φ(x,y)=0, en el punto C? La respuesta de Descartes, de este problema geométrico, es algebraica. Bastará que el círculo y la curva se corten en un punto doble. Es decir, tenemos la ecuación de la curva y la ecuación de la circunferencia del círculo osculador: Si eliminamos, por ejemplo, y, obtenemos una ecuación polinómica P(x)=0 que debe tener un a raíz doble x=a. Esto, según Descartes, lo podemos expresar en la forma: P(x)=(x-a)2Q(x), en donde Q(x) es un polinomio que corrige el grado de (x-a)2 y que se obtiene por el método de los coeficientes indeterminados, un método introducido por Descartes y también, simultáneamente, por Fermat. Ello permite determinar finalmente los parámetros v y s, teniendo en cuenta que a es x. Todo ello lo puede aplicar entonces Descartes a la óptica y a la fabricación de lentes. Introduce los famosos óvalos [de Descartes] y los analiza. Sin embargo para una comprensión cabal de su exposición hacía falta familiarizarse con  el lenguaje del álgebra y con las técnicas de resolución de ecuaciones polinómicas. Además, los matemáticos griegos habían planteado, y resuelto, problemas que no eran planos como la trisección del ángulo y la duplicación del cubo. Por esta razón Descartes ofrece un tercer Libro, De la construcción de los problemas sólidos y más que sólidos, en el cual expone los rudimentos del lenguaje algebraico de los polinomios, entre los cuales incluye la famosa regla de los signos que, según John Wallis, ya era conocida con anterioridad por Thomas Harriot. Nos indica la manera de resolver las ecuaciones cúbicas y las cuárticas, en cuyo caso ofrece un método personal de una gran originalidad: Toda cuártica se puede descomponer como el producto de dos ecuaciones de segundo grado, los coeficientes de las cuales se obtienen, por el método de los coeficientes indeterminados, resolviendo una ecuación cúbica. Formalmente, dada la cuártica reducida  x4 + bx2 + cx + d, hacemos x4 + bx2 + cx + d = (x2 + αx + β)(x2 - αx + γ) Entonces basta determinar los números reales α, β, γ, lo cual siempre es posible. Después basta resolver las dos ecuaciones de segundo grado, si ello es posible. Este método sería el que elegiría Leonhard Euler para resolver una  ecuación polinómica en general, pero no podemos garantizar que, para grados superiores, podamos resolver las ecuaciones que permiten determinar los coeficientes de las ecuaciones de segundo grado. Descartes, además, establece el enunciado del teorema fundamental del álgebra en los términos: Podemos imaginar que una ecuación polinómica tiene tantas raíces como el grado. De ahí el nombre de número imaginario que se dio a las raíces no reales de las ecuaciones polinómicas. El primer intento por demostrar este teorema lo debemos a Jean le Rond d'Alembert y data de 1746. Para Descartes, sin embargo, las únicas raíces aceptables son las reales positivas —que llama raíces positivas. Las negativas —que llama falsas— son aceptables porque son las raíces de la ecuación polinómica que se obtiene al substituir X por -X. Pero fiel a su propósito geométrico, Descartes se ve obligado a dar una interpretación geométrica de las ecuaciones cúbicas y cuárticas. Entonces establece que toda cuártica se puede resolver cortando un círculo y una cónica adecuados. Establece con toda claridad la equivalencia que hay entre resolver una cúbica irreducible en el sentido de Gerolamo Cardano —de discriminante negativo— y la trisección del un ángulo, mientras que las cúbicas no irreducibles equivalen a saber doblar un cubo. Da un método geométrico para trisecar un ángulo dado. El carácter generalizador de su método lo lleva a preguntarse como podemos resolver geométricamente una ecuación polinómica, en general. Pero, en realidad, sólo lo hace para las quínticas y las séxticas. La idea consiste en cortar una circunferencia con una curva adecuada —en el caso de las ecuaciones de segundo grado, con una recta; en el caso de las cúbicas y cuárticas, con una cónica. Pues bien, en el caso de las quínticas y las séxticas se puede recurrir a la cúbica semiparabólica que ha obtenido en el caso de las cinco rectas, con lo que su obra se cierra con una unidad que parecía difícil de conseguir. No es ésta la única aportación que Descartes hizo a la matemática —recordemos su método para aproximar con regla y compás la longitud de una circunferencia de radio dado, sus contribuciones en aritmética, su intento por resolver el problema de deBaunne, su aproximación a la fórmula de Euler-Poincaré, las curvas algebraicas que introdujo, como los óvalos, el folio, etc.—, pero es sin duda la más importante de todas y una de las más importantes de la primera mitad del siglo XVII y uno de los textos básicos de toda la historia de la matemática. En él, Descartes no sólo introduce la geometría analítica o cartesiana sino que pone los cimientos de la geometría algebraica. Basten los ítems expuestos para comprender su profundidad, unidad interna, originalidad y novedad y recúrrase a la bibliografía para una mayor profundización. Bibliografía: - Obras de Descartes [1] Oeuvres de Descartes. Publicadas por Charles Adam y Paul Tannery. Vrin. París 1996. [2] Le Monde ou Traité de la lumière. Traducción castellana de Ana Rioja, El Mundo o Tratado de la luz. Alianza editorial. Madrid 1991. [3] Regulæ ad directiomen ingenii. Traducción castellana de Eloy Rada, Reglas para la dirección del espíritu. Alianza editorial. Madrid 1987. [4] Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et cherché la Verité dans les Scienes, plus trois Essais, La Dioptrique, Les Météors, et la Géométrie. Traducción castellana de Guillermo Quintás, Discurso del método para razonar correctamente i buscar la verdad en las ciencias, seguido de tres Ensayos, La Dióptrica, Los Meteoros, y la Geometría. Ediciones Alfaguara. Madrid 1981. [5] Principia philosophiæ. 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Martes, 18 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico


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