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Biografías de matemáticos ilustres

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Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Carlos Sánchez y Concepción Valdés (Universidad de la Habana)
El más multifacético de los magníficos geómetras Bernoulli es, sin dudas, Daniel. Tenía una facilidad especial para obtener resultados originales en las más disímiles regiones del saber. Se destacó en las Matemáticas Puras como la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo de probabilidades y la sumación de series infinitas, pero sobre todo se apasionó por las Matemáticas Mixtas como la hidromecánica, la náutica, la mecánica racional, la teoría de la elasticidad, la teoría de la música, ... Nos parece asombroso porque hoy no existen matemáticos capaces de tales hazañas intelectuales. A Daniel lo ayudó el carácter de una época en la que se apreciaba tanto la perspicacia como la destreza y, por supuesto, la influencia de su familia, en especial de su padre Johann I. Daniel pasó los primeros 5 años de su vida en Groninga donde su padre Johann trabajaba como catedrático. Fue cuando la familia regresó a Basilea que empezaron a hacerse notables sus dotes para las Ciencias Matemáticas. El padre, aunque quería que fuera comerciante, le enseñó a desentrañar los misterios del cálculo y le dio el ejemplo de su labor como profesor de matemática y física experimental que le habían ganado popularidad en toda Europa. El afecto hacia la investigación mecánico-matemática lo desarrolló todavía más con la ayuda del hermano mayor Nicolaus que se había decidido también por las Ciencias Matemáticas. A los 16 años Daniel era Magíster en Filosofía y dominaba varias lenguas. Llegaba el momento de escoger una de las tres carreras universitarias existentes en la época. Nicolaus había escogido la carrera de Derecho, pero Daniel se sintió más atraído por la de Medicina. Antes de recibir su licencia para ejercer la Medicina en la Universidad de Basilea, se dirigió a la Universidad de Heidelberg, la más antigua de la parte germana, donde profundizó en la teoría; y también a Estrasburgo, donde realizó prácticas. Terminó en 1721 con una tesis sobre la respiración donde asumió el enfoque mecanicista que predominaba en la época y que estaba más cerca de sus inclinaciones intelectuales. Los dos años siguientes a la terminación de su carrera de Medicina los pasa Daniel en Basilea. Según escribiera más tarde en su Autobiografía, el estudio serio y profundo de las Ciencias Matemáticas lo comenzó en Basilea entre los años 1721 y 1723. Allí se presenta a los concursos de las cátedras de Anatomía y de Lógica, pero sin suerte. Decide viajar a Venecia a trabajar con el fisiólogo Pietro Antonio Michelotti, amigo del padre.
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Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Carlos Sánchez y Concepción Valdés (Universidad de la Habana)
Jacob es el primero de los Bernoulli en estudiar en una universidad, el primero en investigar en las ciencias matemáticas, el primero en recibir un título de doctor y el primero de la familia en ser aceptado como catedrático de matemáticas en la Universidad de Basilea. Jacob pronto se convirtió en guía espiritual y en ejemplo de todos los demás magníficos geómetras Bernoulli que le sucedieron. Era de un humor colérico, muy susceptible. Gustaba de desafiar intelectualmente a los demás, de consagrarse a la resolución de problemas y de polemizar sobre las soluciones. Nunca pudo aceptar que Johann, su hermano menor y más brillante, lo pudiera aventajar como geómetra. Su vida científica giró alrededor del núcleo fuerte del estudio de las curvas con el uso del nuevo cálculo. El deseo de su padre lo llevó a realizar estudios filosóficos, teológicos y de idiomas en la Universidad de Basilea. Se graduó con el grado de magíster en filosofía a los 17 años, y 5 años más tarde era doctor en teología. Dominaba los idiomas alemán, francés, inglés, latín y griego. Pero Jacob sentía una gran inclinación hacia las matemáticas y, a escondidas, estudiaba diferentes aspectos de ellas, sin maestro alguno y casi sin libros adecuados. No obstante, a los 18 años, ya resolvía correctamente algunos problemas matemáticos difíciles, en especial los relacionados con la astronomía. Como era costumbre en la época, al término de sus estudios comenzó un largo periplo de cuatro años por Suiza, Francia e Italia. De regreso en Basilea, inspirado por la aparición de un gran cometa en 1680, Jacob publica su primer trabajo científico, lo dedicó a la teoría de los cometas. Aquí propone las leyes que gobiernan el comportamiento de estos cuerpos celestes y en particular afirmó que sus trayectorias, podían ser predichas con suficiente antelación. La teoría elaborada por Jacob no era totalmente correcta, pero constituyó un pronunciamiento contra la creencia de la época según la cual los cometas estaban regidos por la voluntad divina. Este trabajo atrajo fuertes críticas de los teólogos. En el período de su viaje por Francia e Italia, Jacob comenzó a llevar una libreta de notas donde incluía diferentes comentarios de carácter científico. Un lugar fundamental en estas notas lo ocupa la resolución de problemas matemáticos. Por estos puede juzgarse el interés de Jacob por las aplicaciones. Realizó importantes trabajos en física, tales como la determinación del centro de oscilación de cuerpos sólidos y el cálculo de la resistencia de los cuerpos que se mueven en un líquido. Estas notas revelan cómo, de forma paulatina, Jacob se comenzó a interesar primero por los métodos matemáticos conocidos en su época y más tarde por los métodos infinitesimales, a cuyo desarrollo y perfeccionamiento contribuyó significativamente.
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Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Carlos Sánchez y Concepción Valdés (Universidad de la Habana)
Para muchos y sobre todo para él mismo, Johann Bernoulli era el más afamado de todos los geómetras de su época. Aquí yace el Arquímedes de su tiempo es el epitafio, que Johann mandó colocar sobre su sepulcro. Reconoció a Leibniz como grande, porque de él había recibido sus herramientas de trabajo principales. También distinguió al joven Leonhard Euler llamándolo líder de los matemáticos. Como muchos otros, Euler había sido su alumno. Con certeza, las siguientes generaciones de geómetras Bernoulli, fueron influidas directa o indirectamente por su pasión por el Nuevo Cálculo de Leibniz. De sus 4 hijos varones, 3 se dedicaron a las Ciencias Matemáticas. En los múltiples desafíos intelectuales en que se vió envuelto fueron tantos sus partidarios como sus adversarios,. Gracias a algunos de estos retos, que él mismo lanzara a la comunidad científica, se abrió una de las ramas más fructíferas de la Matemática: el Cálculo de Variaciones, la teoría general de los problemas de máximos y mínimos. El 27 de julio de 1667 nació el décimo de los hijos de Nicolaus y Margaretha Bernoulli, tercer varón de la familia, 13 años más joven que su hermano Jacob, el primero de la familia en dedicarse a las ciencias matemáticas. Le nombrarían Johann y desde pequeño el padre lo destinaría a ser su sucesor en los negocios de farmacéutica. Por eso a los 15 años, cuando terminó la escuela, fue enviado a Neuchâtel. Pero este viaje solo le sirvió a Johann para aprender bien el francés y convencerse de que no servía para el negocio de las hierbas medicinales. Con gran disgusto su padre consintió para que Johann iniciara estudios en la Universidad de Basilea. Al poco tiempo obtuvo el título de Bachiller y dos años más tarde el de Maestro en Artes. Es en esta época que comienza a estudiar medicina siguiendo el consejo de su hermano mayor Jacob, Doctor en Filosofía y docente en la Universidad de Basilea. Johann siguió exitosamente la carrera de Medicina, sin embargo, la mayor parte de su tiempo lo dedicaba al estudio de las matemáticas con su hermano Jacob. Tres años después de publicado el trabajo pionero de Leibniz sobre el Nuevo Cálculo ya los hermanos Bernoulli lo conocían y habían logrado asimilar los fundamentos del mismo. No obstante, en 1690 defendió la tesis que lo acreditaba para ejercer la medicina. En ese mismo año aparece su primera publicación científica, que no versó precisamente sobre un asunto matemático, sino sobre el proceso de fermentación. Pero, también en ese mismo año, participa en el primer desafío matemático: la determinación de la ecuación de la catenaria, el cual había sido lanzado por su hermano mayor Jacob. El joven Johann inmediatamente resolvió el problema y asombró a sus contemporáneos, ganando el reconocimiento de la comunidad científica europea. Pero Johann se jactó de su talento y no mencionó las enseñanzas de Jacob. Así, desde su primer éxito con la catenaria la colaboración fraterna pasó a ser una competencia que alcanzó ribetes de lucha fratricida.
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Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Carlos Sánchez y Concepción Valdés (Universidad de la Habana)
Los Bernoulli constituyen una singular familia en la historia de las ciencias. Sus orígenes los encontramos en la región de Flandes, cuna de pintores, banqueros y comerciantes, región que estuvo largo tiempo a la cabeza de la civilización europea hasta que fue azotada por la epidemia de la intolerancia. Los primeros Bernoulli de quien tenemos noticias eran comerciantes, precisamente en una de las zonas que más sufrió la plaga de las huestes católicas comandadas por el Duque de Alba, enviadas a frenar la rebelión de los protestantes. Como muchas otras familias burguesas, los Bernoulli migraron hacia tierras más al sur que prometieran la tolerancia ideológica y la estabilidad económica propicia para tender sus raíces. A principios del siglo XVII se instalaron en Basilea, ciudad colindante con poblados italianos, alemanes y franceses, lo que propiciaba el comercio de la familia y que poseía una afamada universidad donde podrian formarse las nuevas generaciones. Ocho de los nuevos miembros de la familia se destacaron en la labor científica como geómetras. De estos los cuatro más importantes son Jacob, el Primero (1654-1705), Johann, el Pendenciero (1667-1748) hermano de Jacob, Nicolaus, el hijo del pintor (1687-1759) sobrino de Jacob, y Daniel, el Virtuoso (1700-1782) hijo de Johann. Los restantes cuatro, aunque menos célebres, también se destacaron por su ingeniosidad en el campo de las matemáticas mixtas. En la segunda generación encontramos a los otros dos hijos de Johann, el Pendenciero, Nicolaus II (1695-1726) que fue el preferido por su padre, aunque una enfermedad mortal frustró sus sueños a temprana edad y Johann II (1710-1790) quién obtuviera la cátedra de matemáticas de Basilea al morir su padre. En la tercera generación de geómetras se destacaron los hijos de Johann II, Johann III (1744-1807), que desde temprana edad fue captado por la Academia de Berlín como astrónomo y el benjamín Jacob II, (1759-1789), con una corta vida, casi toda fuera de su tierra natal en Turín, Venecia y San Petersburgo, donde, recién alcanzada la notoriedad como matemático, tuvo un accidente mortal. Pero todos los miembros citados de la familia Bernoulli se interesaron por el Nuevo Cálculo, sobre todo en la forma de cálculo de los diferenciales, como le llamó Leibniz. Crearon un potente arsenal de variadas expresiones analíticas, introdujeron muchas de las reglas para su manipulación y con sus ingeniosas habilidades en las matemáticas mixtas, ampliaron su alcance y su valor sociocultural en la Europa del siglo de las luces Los Bernoulli fueron aceptados como miembros en varias de las primeras Academias de Ciencias de Europa como la de Berlín, la de París y especialmente tuvieron un protagonismo relevante en la Academia de Ciencias creada por mandato de Pedro el Grande en San Petersburgo. Su participación fue muy activa, no sólo con publicaciones en las flamantes revistas científicas entonces fundadas, sino también en los concursos y desafíos que las Academias organizaron para estimular el creciente impacto social de las Ciencias. Aunque en su época no era muy atractiva la función del catedrático, los Bernoulli trabajaron fundamentalmente en la Universidad de Basilea, donde por más de un siglo ocuparon la cátedra de matemáticas, pero también ganaron, en distintos períodos, las cátedras de física, fisiología, anatomía, oratoria, lógica y derecho. La existencia de pocas cátedras y demasiados aspirantes, llevó a los miembros de la familia a emigrar en diferentes momentos. Por eso los vemos afanosos en Padua, Venecia, Turín, Groninga, Berlín, París y otras ciudades importantes de la época. Alguien ha dicho que el siglo XVII fue el siglo del genio, así como que el siglo XVIII había sido el siglo del ingenio. Los Bernoulli como fieles exponentes de su época desplegaron su industria y sus mañas enfrentando atrayentes desafíos y participaron con denuedo en la socialización del conocimiento matemático.
Lunes, 13 de Octubre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Ricardo Moreno Castillo (Universidad Complutense de Madrid)
Bhaskhara vivió entre los años 1114 y 1185, y es el último gran matemático de la India medieval. En sus dos tratados, Vija-Ganita y Lilavati, reunió muchas aportaciones originales con diversos problemas procedentes de Brahmagupta y de otras fuentes. Lilavati es el nombre de la hija de Bhaskhara. El día de su nacimiento, cuenta una leyenda, los astros predijeron que moriría soltera. Pasaron los años y Lilavati se convirtió en una hermosísima mujer. Su padre, queriendo contrariar al destino, le buscó un apuesto joven como marido. Después convocó a los astrólogos más célebres, y entre todos señalaron la hora precisa en que la boda debía celebrarse. Prepararon una clepsidra, consistente en un depósito cilíndrico con la base perforada metido en un recipiente lleno de agua. De este modo, el agua entraba en el cilindro, y cuando éste quedara del todo hundido, sería llegado el momento para oficiar el matrimonio. Lilavati, curiosa, se asomó a la clepsidra, y una de las perlas que adornaban su vestido cayó dentro y obstruyó el orificio. Así, la hora propicia nunca llegó y el novio, aconsejado por los astrólogos, huyó. Bhaskhara aceptó la inutilidad de enfrentarse al destino y, para consolar a su hija, dio su nombre a su obra más importante. De esta manera, el nombre de Lilavati vivió para siempre, y esto fue para ella como una segunda vida. El cálculo con el cero En el Vija-Ganita aparece por primera vez la afirmación de que el resultado dividir por cero es infinito: La fracción en la que el denominador es cero se llama cantidad infinita. En esta cantidad en la cual cero es el divisor no hay alteración posible por mucho que se añada o se quite, lo mismo que no hay cambio en Dios infinito e inmutable. Después de esta cita se sostiene que (a/0)0 = a, Como si Bhaskhara no fuera capaz de mantener la claridad de ideas que se transparenta en el texto. Problemas de segundo grado Este problema de segundo grado aparece en el Lilavati: De un enjambre de abejas, un número igual a la raíz cuadrada de la mitad de su número total fue a libar a las flores. Después, un número de abejas igual a ocho novenas partes del enjambre total fue a libar al mismo lugar. Después fue un zángano, se introdujo en una de las flores y quedó atrapado dentro de ella. A su zumbido, su consorte llegó desde el exterior. ¿Cuántas abejas tenía el enjambre? Del enunciado se desprende que todas las abejas fueron a libar a las flores y que la pareja del zángano fue la última en llegar. Entonces, si x es el número de abejas del enjambre, el problema se traduce a la ecuación: Se puede considerar como incógnita a √x o, aun mejor, hacer x = 2z2, y entonces la nueva ecuación es 2z2 - 9z - 18 = 0. Su solución es 6, y el número de abejas es 72. Este otro problema, también de segundo grado procede en cambio del Vija-Ganita: En un bosque, un número de monos igual al cuadrado de la octava parte del total del número de monos está jugando ruidosamente. Los doce monos restantes, en una actitud más comedida, están en una colina cercana, molestos por los gritos que vienen del bosque. ¿Cuál es el número total de monos de la manada? El número x de monos es solución de la ecuación: A diferencia de la ecuación anterior, las dos soluciones x = 16 y x = 48 son igualmente admisibles. Problemas diofánticos De entre los problemas indeterminados del Lilavati, destacaremos el siguiente: buscar cuatro números cuya suma coincida con la de sus cuadrados. Esto equivale a resolver la ecuación: x + y + z + u = x2 + y2 + z2 + u2 Claramente carece de soluciones enteras, y habrá que conformarse con racionales. Bhaskhara da la solución x = 1/3, y = 2/3, z = 1 y u = 4/3. Este otro problema diofántico es del Vija-Ganita: Un hombre tiene 5 rubíes, 8 zafiros, 7 perlas y 90 monedas. Otro tiene 7 rubíes, 9 zafiros, 6 perlas y 62 monedas. Sabiendo que ambos son igualmente ricos, calcular los precios de cada clase de gema. Si x es el precio de cada rubí, y el de cada zafiro, y z el de cada perla, el problema da lugar a la ecuación: 5x + 8y + 7z + 90 = 7x + 9y + 6z + 62 que convenientemente simplificada, se convierte es esta otra: 2x + y - z = 28 Bhaskhara  supone z = 1, y la ecuación se convierte en 2x + y = 29, que proporciona las soluciones x = 14, y = 1 y z = 1, y también x = 13, y = 3 y z = 1. Un problema de tercer grado Entre los problemas diofánticos del Vija-Ganita tiene un enorme interés este de tercer grado. Se trata de encontrar dos números tales que la suma de sus cubos sea un cuadrado y la de sus cuadrados sea un cubo. Bhaskhara supone los números de la forma x = z2 e y = 2z2. Esto garantiza ya la primera condición: x3 + y3 = z6 + 8z6 = 9z6 = (3z3)2 Ahora hay que escoger z de modo que se cumpla la segunda: x2 + y2 = z4 + 4z4 = 5z4 El número más pequeño que convierte al último miembro en un cubo es z = 25, de manera que x = 625 e y = 1250 son los números buscados: 6252 + 12502 = 390625 + 1562500 = 1953125 = 1253 6253 + 12503 = 244140625 + 1953125000 = 2197265625 = 468752 Sobre un triángulo racional Bhaskhara planteó el problema de encontrar un triángulo rectángulo de lados racionales cuya superficie fuera numéricamente igual a la longitud de su hipotenusa. Para empezar, las longitudes de los lados del tal triángulo no pueden ser números enteros. En efecto, si la hipotenusa mide a y los catetos b y c, han de suceder estas dos cosas: a2 = b2 + c2 2a = bc Ambas llevan a que b2 = 4(b/c)2 + 4. Si b = c, b = √8, que no es un número entero. Si b ≠ c, b2 no es entero y tampoco b. Bhaskhara parte del triángulo de lados 3, 4 y 5, y postuló que el buscado por él tenía por lados 3x, 4x y 5x. Esto lleva a la ecuación 6x2 = 5x, cuya solución es x = 5/6.  Los lados miden entonces 5/2, 10/3 y 25/6. La culebra y el pavo real Uno de los problemas geométricos más populares del Lilavati es el siguiente: Un pavo real está posado en lo alto de un poste, en cuya base una culebra tiene su escondrijo. Localiza a la culebra a una distancia del pie del poste igual a tres veces su  altura, se lanza sobre ella mientras ésta intenta ganar su nido, y la apresa cuando ambos han recorrido la misma distancia. ¿A qué distancia del agujero tuvo lugar la captura? Bhaskhara resuelve el problema de la siguiente manera: si OA es el poste y la culebra es avistada en el punto C, entonces OA = h y OC = 3h (ver figura). Si la captura tiene lugar en un punto B a una distancia x de su base, entonces: h2 + x2 = (3h - x)2 Unos cálculos sencillísimos llevan a que x = 4h/3. Bibliografía DICKSON, L. E. (1971), History of de theory of numbers, Chelsea Publishing company, New York. GERICKE, H. (1984), Mathematik in Antike Orient, Springer-Verlag, Berlín. GHEVERGHESE, G. (1996), La cresta del pavo real, Ediciones Pirámide, Madrid. MORENO, R. (2011), Aryabhata, Brahmagupta y Bhaskara, tres matemáticos de la India, Editorial Nivola, Madrid. ORE, O.  (1988), Number Theory and its History, Dover Publications, New York. VAN DER WAERDEN, B. L. (1983), Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer-Verlag, Berlín.
Miércoles, 25 de Julio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Santiago Fernández Fernández (Berritzegune de Bilbao)
Janós Bolyai fue un matemático húngaro del siglo XIX. Creador de una de las geometrías no euclideanas, la geometría hiperbólica, junto al matemático ruso N.I. Lobachevski. Hijo del matemático Farkas Bolyai. En toda su vida publicó únicamente 24 páginas, recogidas en un tratado que ha hecho historia: El Appendix. La vida y obra de Janós Bolyai están estrechamente relacionadas con las de su padre: Wolfang (Farkas) Bolyai. Sería imposible entender las aportaciones matemáticas de Janos sin  relatar la vida y obra de su progenitor. Wolfgang (Farkas) Bolyai (1775-1856) Farkas Bolyai, padre de János Bolyai, nació en un pequeño pueblo de Transilvania. Desde muy joven dio pruebas de una memoria extraordinaria, era capaz de recitar, sin faltas, páginas enteras leidas una sóla vez. Completó sus estudios de filosofía y matemáticas en la Universidad alemana de Göttingen donde Kaestner fue su profesor. Llegó a ser un buen amigo de F. Gauss y compañero de estudios en Göttingen; esta amistad perduró a lo largo de casi toda su vida. El año 1802 volvió a su país, allí enseñó ædurante medio sigloæ matemáticas, física y química en Marosvásárhely (Hungria). Farkas Bolyai se interesó en el postulado de las paralelas ya desde su época de Universidad. Se carteó con Gauss acerca de este tema durante la mayor parte de su vida, en ocasiones para comunicarle resultados propios y en otras para informarle de las investigaciones realizadas por su hijo. Su principal trabajo, Tentamen Juventutem studiosa in elementa Matheseos (1832-33) (Ensayos de iniciación de la juventud escolar en los fundamentos de matemáticas puras), un  manual  que se compone de dos volúmenes, es un intento de cara a conseguir una base sistemática y rigurosa de la geometría, aritmética, álgebra y análisis. Es claramente un libro menor, pero incluye un famoso apéndice en el primer volumen –escrito por su hijo– conocido como el Appendix. Farkas era un hombre muy activo, se interesó –además de las matemáticas– por la poesía, la composición musical, el arte dramático y el desarrollo de la lengua magiar.
Lunes, 10 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más
Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Jesús Hernández (Universidad Autónoma de Madrid)
La muy prestigiosa revista Comptes Rendus de l'Académie de Sciences de Paris publicó, al final de los años treinta, alguna nota firmada por Nicolas Bourbaki, del que después se dijo era miembro de la Real Academia de Poldevia. A la vista de ello, el lector podrá dudar de si Poldevia existió realmente o era algo parecido a la Ruritania del Prisionero de Zenda. En apoyo de lo primero puede citarse que años antes prestigiosos intelectuales habían convocado en París un mitin en apoyo del pueblo poldevo, sometido a una insoportable tiranía (¿les suena?), que al parecer tuvo éxito. Y sin embargo, no era así. Algún tiempo antes un grupo de jóvenes y brillantes matemáticos franceses, más o menos de la misma edad, y que tenían en común haber sido normaliens -es decir, haber estudiado en la famosa Escuela Normal Superior, donde se hicieron amigos, y ser profesores en universidades francesas de provincias, habían tenido, visto que no les agradaban los existentes, la idea de escribir un nuevo texto de Análisis. Empezaron a reunirse en algún café cercano a la Sorbona y el proyecto se amplió enseguida a un tratado que ofreciera de modo sistemático y riguroso todas las bases para una presentación de la matemática a la altura de los tiempos. Se pusieron a la tarea (detalles más abajo), adoptando el pseudónimo colectivo de Nicolas Bourbaki, pero la Segunda Guerra Mundial, que afectó gravemente a los interesados, retrasó en unos diez años la puesta en marcha de la redacción y publicación del grueso de la obra. Las notas antes citadas fueron una especie de presentación en sociedad, que no tuvo continuación, y el camino seguido para publicarlas fue hacer que Elie Cartan (1869-1951), uno de los grandes matemáticos franceses, y académico, padre de un miembro del grupo, las presentase. A Cartan padre se le hizo notar que era obligación de la institución cuidar el nivel científico de las notas, pero no los detalles biográficos de sus autores. El académico, que debía estar al cabo de la calle, hizo la propuesta a sus colegas cuando tomaban los licores al final de un banquete y no hubo ninguna objeción. Entre los miembros fundadores estaban Henri Cartan (1904), el único todavía vivo, André Weil (1906-1998), Claude Chevalley (1909-1984), y Jean Dieudonné(1906-1992), todos ellos entre los matemáticos más importantes del siglo. Algunos otros, como Jean Leray, acudieron a las primeras reuniones y se retiraron. El grupo se organizó siguiendo una serie de normas y costumbres, entre las que estaban organizar el trabajo en reuniones, hechas en general en verano, de una o dos semanas en algún lugar agradable de la campiña francesa (A. Weil, de viaje por España, se enamoró de El Escorial y decidió que allí se haría una, pero las guerras lo impidieron). La materia se organizó en libros, divididos a su vez en capítulos. Una vez decidido escribir alguno, se encargaba una redacción a algún miembro, redacción que era criticada (a menudo ferozmente) y si no había acuerdo se encargaba una nueva a otro, proceso que podía repetirse varias veces más. Los miembros debían retirarse a los cincuenta años, para evitar el anquilosamiento, pero parece que no siempre fue así, y es evidente que algunos continuaron influyendo. Entre los que ingresaron después hay matemáticos tan conocidos como Laurent Schwartz (1915-2002), Medalla Fields en 1950, Jean- Pierre Serre (1926, Medalla Fields 1954, Premio Abel 2003), Alexandre Grothendieck (1928, Fields 1966), Roger Godement y Pierre Cartier. Otros, como René Thom (1923-2002, Fields 1958), no quisieron incorporarse.
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Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Xaro Nomdedeu Moreno
EL OPTIMISMO DE LA VOLUNTAD Evelin Boyd Granville fue una mujer del siglo XX y un ejemplo de optimismo o fuerza de voluntad. Rodeada por todas las condiciones desfavorables que podrían haberla dejado en la cuneta pudo sobresalir con éxito en su empeño de ser una matemática prestigiosa, gracias a la organización, la cooperación, la disciplina del yo interior, o sea, la fuerza de voluntad. Las dificultades vividas para conseguirlo le hicieron tomar conciencia de las injusticias del sistema y el optimismo de su voluntad la condujo a participar en  movimientos por los Derechos Civiles de las mujeres y de la población negra, como el liderado por Martin Luther King, con el objetivo de que acceder a esos derechos llegue a ser lo normal, no lo excepcional. La edad de la inocencia Nació en Washington en el año 1924, el mismo en que murió Lenin, el líder de la revolución rusa. Lo hizo en el seno de una familia trabajadora de raza negra, compuesta por sus padres, William Boyd y Julia Walker, su hermana Doris, año y medio mayor que ella, y su tía, Louise Walker, que siempre la trató como a una hija. Su infancia se desarrolló inmersa en la Gran Depresión, que devastó el país al final de los años veinte y durante los primeros años treinta. Contaba con cinco años cuando se produjo el Crack De Wall Street, el jueves negro que acabó con los felices años veinte y contribuyó a que florecieran los fascismos que llevaron a la humanidad a la Segunda Guerra Mundial. Evelyn, como cualquier niña que crecía en Washington en aquellos años era conscientes de las dificultades generadas por la segregación racial existente en el país, aunque ella no la había sufrido personalmente. Sus mayores creían firmemente que era imprescindible una buena preparación intelectual para vencer aquella barrera, para hacerse un hueco en la sociedad y para conseguir los cambios necesarios en ella.  Habían leído y habían oído hablar de personas de su raza que habían contribuido a la causa, gracias a una buena formación. Estas personas fueron los modelos a seguir. Ése fue el objetivo que le transmitieron a Evelyn sus mayores y al que dedicaron una parte importante de sus esfuerzos.
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Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Ricardo Moreno Castillo (Universidad Complutense de Madrid)
Brahmagupta vivió durante el siglo VI de nuestra era. Su obra más importante es Brama Sputa Siddhanta (El sistema revisado de Brama), un texto de astronomía que contiene varios capítulos sobre matemáticas. En otro trabajo astronómico, titulado Khanda Khadyaka, se encuentran dispersos algunos desarrollos trigonométricos de interés. Los números negativos En la obra de Brahmagupta aparece sistematizado, por primera vez en la historia, el cálculo con números negativos y el cero. Los griegos tuvieron una idea del vacío, pero no lo llegaron a tratar como un número. Y la regla de los signos, aunque subyacente en algunas fórmulas sobre productos de restas, nunca había sido enunciada explícitamente: Positivo dividido por positivo, o negativo por negativo es positivo. Cero dividido por cero es nada. Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por positivo es negativo. Positivo o negativo dividido por cero es una fracción que tiene al cero por denominador A la luz de este texto se puede ver que para Brahmagupta 0/0 = 0. Sobre el significado de  a/0 (para un número a ≠ 0) no se atreve a pronunciarse. Las ecuaciones de segundo grado Las aportaciones más importantes de Brahmagupta están en el campo del álgebra. Para las ecuaciones cuadráticas da soluciones generales, proporcionando las dos raíces, sin desechar las negativas. La regla para resolver la ecuación ax2 + c = bx la enuncia así: Deja el número en un lado y en el otro el cuadrado de la incógnita menos la incógnita. Multiplica el número por cuatro veces el coeficiente del cuadrado, súmalo al cuadrado del coeficiente del término medio, y la raíz de esto menos el coeficiente del término medio dividido por dos veces el coeficiente del cuadrado es la incógnita.   Para aplicar esta regla a la ecuación x2 - 10x = -9 va haciendo los cálculos del siguiente modo: 4(-9) = -36, -36 + 100 = 64, √64 = 8, 8 - (-10) = 18 y 18/2 = 9. El teorema chino de los restos Dos números enteros a y b son congruentes respecto de otro entero m si su diferencia es múltiplo de m (o si dan idéntico resto al ser divididos entre m). Esto se escribe así: a ≡ b (mod m). El menor número congruente con a respecto de m se llama el resto de a en relación a m, y es justamente el resto de dividir a por m. Las congruencias mantienen las operaciones aritméticas, de modo que si a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m), entonces a + c ≡ b + d (mod m) y ac ≡ bd (mod m). La idea de número congruente no fue claramente definida hasta el  siglo XVIII, pero fue utilizado desde mucho antes. Supongamos ahora que tenemos dos series de números enteros a1, a2,..., an y m1, m2,..., mn, y que queremos encontrar un número x para el cual se cumpla lo siguiente: x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) ................... x ≡ an (mod mn) El llamado teorema chino de los restos, afirma que la condición necesaria y suficiente para que el número buscado exista consiste en que ai ≡ aj (mod mij), siempre que i ≠ j, y siendo mij el máximo común divisor de mi y mj. En el Brama Sputa Siddhanta se encuentra el siguiente problema que es un caso particular del teorema chino: Tenemos una cesta de huevos. Si los cogemos de dos en dos, sobra uno, si de tres en tres, sobran dos, si de cuatro en cuatro, sobran tres, si de cinco en cinco, sobran cuatro, si de seis en seis, sobran cinco, y si los cogemos de siete en siete, no sobra ninguno. ¿Cuál es el mínimo número de huevos que puede haber en la cesta? Si x es el número de huevos, tenemos la siguiente colección de ecuaciones: x = 2y + 1 x = 5v + 4 x = 3z + 2 x = 6w + 5 x = 4u + 3 x = 7y El problema se resuelve aplicando sucesivamente el método de Aryabhata, y se llega de este modo a la solución más pequeña posible, que es 119. En el lenguaje de los números congruentes, el problema puede  ahora ser formulado de esta manera: x ≡ 1 (mod 2) x ≡ 4 (mod 5) x ≡ 2 (mod 3) x ≡ 5 (mod 6) x ≡ 3 (mod 4) x ≡ 0 (mod 7) Es fácil comprobar que cumple las hipótesis del teorema chino. Así que, antes de resolverlo, ya se sabe que tiene solución. La ecuación de Pell Entre los problemas indeterminados que aparecen en la obra de Brahmagupta ocupa un importante lugar la ecuación que la posteridad llamaría ecuación de Pell: x2 - Dy2 = 1 Si D = d2, no hay soluciones (salvo x = 1 e y = 0): si D = d2, resultaría que (x + dy)(x - dy) = 1, y esto es imposible. Pero si D no es un cuadrado, hay infinitas. Y es fácil encontrar las más sencillas por tanteo. Brahmagupta dio con un camino para, a partir de dos soluciones, fabricar una tercera. Este método (que en sánscrito se denomina samasa) es el siguiente: si los pares de números (α,β) y (χ,δ) son soluciones, también lo es el par de números calculados de la siguiente manera: σ = αχ + βδD ω = αδ + βχ Que esto es así es algo de muy simple comprobación. Sea, por ejemplo, la ecuación: x2 - 8y2 = 1 Fácilmente se llega a la solución (3,1). Compuesta consigo misma, tenemos otra solución (17,6), y componiendo las dos, una tercera (99,35). Y así sucesivamente. Triángulos racionales Un triángulos cuyos lados y cuya superficie son números racionales (y en consecuencia también sus alturas) se llama triángulo racional. Brahmagupta tiene la siguiente aportación sobre triángulos racionales. Si los lados de un triángulo son: entonces es racional, resultado de yuxtaponer dos triángulos rectángulos con un cateto común de longitud p (ver la figura que aparece a continuación): AP = p, AC = b, AB = c, PB = c - r y PC = b - q. El cuadrilátero cíclico Por tres puntos no alineados siempre pasa una circunferencia. Por cuatro puntos no siempre sucede así. Por esta razón no todo cuadrilátero tiene una circunferencia circunscrita. Los que sí la tienen se llaman cíclicos. Sobre ellos descubrió  Brahmagupta un hermoso teorema que pasamos a describir. Llamamos fórmula de Herón a la expresión del área de un triángulo en función de sus lados. Si éstos son a, b y c, y  p = (a+b+c)/2 es el semiperímetro, la superficie es: Esta fórmula ha sido muy utilizada por agrimensores y topógrafos, porque no necesita buscar la altura del triángulo, cosa que en terreno abierto no siempre es fácil. Brahmagupta encontró una fórmula que amplía la de Herón a cuadriláteros cíclicos. Si a, b, c y d son los lados del cuadrilátero y p es el semiperímetro, la superficie es: Si d = 0 sale la fórmula de Herón. Pero ignoramos (los textos sánscritos son muy oscuros) si Brahmagupta sabía que su teorema no era válido para cualquier cuadrilátero. Bibliografía DICKSON, L. E. (1971), History of de theory of numbers, Chelsea Publishing company, New York. GERICKE, H. (1984), Mathematik in Antike Orient, Springer-Verlag, Berlín. GHEVERGHESE, G. (1996), La cresta del pavo real, Ediciones Pirámide, Madrid. MORENO, R. (2011), Aryabhata, Brahmagupta y Bhaskara, tres matemáticos de la India, Editorial Nivola, Madrid. ORE, O.  (1988), Number Theory and its History, Dover Publications, New York. VAN DER WAERDEN, B. L. (1983), Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer-Verlag, Berlín.
Viernes, 27 de Julio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Xaro Nomdedeu Moreno
"Al desabrochar el abrigo, metió las manos en los bolsillos de su pantalón para mostrar mejor el chaleco, que estaba tejido con el dibujo de un mosaico impreciso de diminutos cuadros azules y blancos. Los sastres los denominaban el Estampado a cuadros de Ada, la señora que había programado el telar Jacquard para que tejiera álgebra pura" Gibson y B. Sterling Hace muchos, muchos años, allá por el año 1944, había una hermosa joven en un fábrica de tejidos que producía en serie, metros y metros de telas estampadas. La joven vigilaba el correcto funcionamiento de una máquina que tejía automáticamente los dibujos gracias a unas tarjetas que guardaban todas las órdenes necesarias. Grupos de tarjetas que actuaban una y otra vez para estampar repetidamente el mismo motivo a lo largo de la enorme pieza de tela. Libre de pensar en el número de pasadas y puntos en que antaño ocupaba su atención, cuando atendía su propio telar en la casa familiar, ahora mataba el hastío dejando volar su imaginación en alas de los cuentos de hadas y soñaba que una de ellas se había ocupado de ahorrarle la monotonía de las repeticiones. Recuerda que le gustaba crear o descifrar una muestra, pero luego era embrutecedora la necesidad de repetirla infinidad de veces hasta conseguir la pieza completa. Ciertamente, en un lejano país, muchos años atrás, una hechicera, hija de un poeta mágico y de la princesa de los paralelogramos, inventó un lenguaje nuevo con la intención que la bella joven suponía. Aunque ahora parecía que una horrible bruja la había encadenado a aquella máquina y la había convertido en una pieza más de la enorme fábrica que deglutía millas y millas de hilo y vomitaba sin cesar las piezas “manufacturadas” que engrosaban progresivamente las arcas del amo. La niña hechicera recibió, al nacer, el nombre de Ada y heredó de sus padres dos dones, de su madre el don de hablar el lenguaje de la aritmética y la geometría y de su padre el don de las letras. Gracias a estos dones, siendo muy joven, inventó unas palabras mágicas que, ser pronunciadas por los duendes mecánicos, eran capaces de conseguir lo arriba referido. La industria textil vio pronto la posibilidad de tejer los mismos estampados con muchas menos tarjetas y adiestró a sus duendes en la pronunciación de las palabras mágicas. Los duendes así adiestrados produjeron tal cantidad de telas estampadas y brocados que las aldeas se vaciaron porque las jóvenes aldeanas y los mozos de las aldeas emigraron a lejanas ciudades atraídos por la magia de éstos duendes y en busca de fortuna. Este relato parece un cuento, pero no lo es: Ada, en 1833, era una joven de 17 años. Un lunes del mes de junio, el día 5 exactamente, iba con su madre, Annabella Milbanke, a ver la máquina pensante, era la máquina de diferencias de Charles Babbage. Unas semanas antes le habían conocido en una fiesta en casa de Mary Somerville, que introdujo a Ada en el mundo de las diferencias finitas. Ya en aquella ocasión, Babbage les hizo saber que estaba pensando en construir una máquina totalmente nueva. El proceso simplificador del cálculo seguía avanzando a lo largo de la Historia. Y todavía avanzaría más, cuando la tecnología llegara a estar a la altura del "Hardware" de Charles y del "Software" de Ada. Diez años más tarde del primer encuentro entre Ada y Charles, éste último daría una conferencia en Turín para presentar su Ingenio Analítico, como llamó a la nueva máquina. Acudió a la conferencia el joven ingeniero Menabrea. Quedó tan impresionado que escribió un resumen de la conferencia y lo publicó en francés. Ada, que ahora era la esposa del conde de Lovelace y, por eso, llevaba su apellido, se puso a traducir el resumen de Menabrea. Enterado Babbage, la animó a comentar la traducción y, así, fue como surgió su obra “Sobre la máquina analítica”. En palabras de Ada Byron Lovelace, “La característica que distingue a la máquina analítica, es la inclusión en ella del principio que Jacquard concibió para regular la fabricación, mediante tarjetas perforadas, de los más complicados modelos de brocados. Al capacitar a los mecanismos para combinar entre sí símbolos generales en sucesiones de variedad y extensión ilimitadas, se establece un eslabón entre las operaciones materiales y los procesosmentales abstractos de la rama más teórica de la ciencia matemática. Se desarrolla un lenguaje nuevo, amplio y poderoso, para su empleo futuro en elanálisis, cuyas verdades se podrán manejar de modo que su aplicación sea más práctica y precisa para la humanidad de lo que hasta ahora han hecho las medidas a nuestro alcance”. En sus márgenes una explicación de cómo hacerla funcionar, que triplicaba el texto, mejoraba el reciente invento de las tarjetas perforadas del francés mencionado por ella misma, Jacquard, para que pudieran ser reutilizadas en las tareas cíclicas. Aquello era el invento de las subrutinas, pieza clave en la programación de los modernos ordenadores. En otra de sus páginas se podía leer: "La Máquina Analítica no tiene ninguna pretensión de originar nada. Es capaz de hacer cualquier cosa, siempre que sepamos ordenarle cómo hacerla. Puede seguir el análisis; pero no tiene capacidad de anticipar cualquier relación o verdad analítica. Es de su incumbencia ayudarnos a hacer disponible lo que ya conocemos. Está calculada para hacer esto primordialmente y sobre todo, claro está, por medio de sus facultades ejecutivas; pero es posible que ejerza una influencia indirecta en la ciencia misma de otra manera. Porque, al distribuir y combinar las verdades y las fórmulas del análisis de manera tal que sean lo más fácil y rápidamente disponibles a las combinaciones mecánicas de la máquina, las relaciones y la naturaleza de varios temas en esa ciencia, reciben necesariamente una nueva luz, y se investigan más profundamente". El Ingenio analítico estaba diseñado con dispositivo de entrada, a semejanza de las tarjetas perforadas del telar de Jacquard; almacén, llamado hoy memoria; molino, nuestro micro y moderno procesador, y dispositivo de salida en papel u otra vez en tarjetas, como las actuales impresoras y disqueteras. La máquina podía sumar, restar, multiplicar, dividir –como la máquina de Pascal- y ejecutar instrucciones atendiendo a ciertas condiciones, repetir algunas de las instrucciones y computar cualquier fórmula algebraica, sin intervención humana en el proceso de cálculo. Bastaba para ello traducir las órdenes, condiciones y fórmulas algebraicas a tarjetas perforadas, éstas eran sólo otro lenguaje analítico, un lenguaje de programación, diríamos hoy, en realidad el Software de Ada. Era con esta aportación con lo que la condesa de Lovelace superaba al telar inventado por Jacquard en 1801, que organizaba las hebras de las tejedoras, que a su vez habían aprendido de las arañas o tal vez de las mariposas. Ada Byron nació en Londres el día 10 de diciembre de 1815, con el fin del imperio napoleónico. Fue hija de Anne Isabella Milbanke y de Lord Byron. Las fechas de nacimiento de los progenitores marcan los extremos de uno de los periodos históricamente más relevantes para Europa: la Revolución Francesa. Él con el anuncio de la convocatoria de Estados Generales, pocos meses antes de la toma de la Bastilla, ella el mismo año en que Mary Wollstonecraft publicó la Vindicación de los Derechos de la Mujer en Londres y Francia declaraba su primera República. El matrimonio, celebrado en Londres mientras Napoleón iniciaba sus memorias y su declive, fracasó inmediatamente y Lord Byron abandonó la ciudad pocos meses después. Pasó el verano de 1816 en Suiza con Percy y Mary Shelley, autora de la novela Frankestein. La princesa de los paralelogramos, como llamaba Byron a su esposa que había estudiado álgebra, geometría y astronomía con el Catedrático de Cambridge William Frend, puso todo su empeño en educar a su hija científicamente, alejada de las "triviales" tendencias literarias y en la más severa "disciplina", para contrarrestar los “vapores de la fantasía” que había heredado de su padre. Ada tuvo como profesora de matemáticas a Mary Somerville y también recibió consejo científico de Lord Morgan. Luego, cuando conoció a Babbage, aprovechó esta amistad para seguir creciendo en sus conocimientos matemáticos. En 1835 Ada se casó con El octavo Lord King, nombrado conde de Lovelace en 1838, momento a partir del cual Ada pasó a ser la condesa de Lovelace. El matrimonio tuvo una hija Anna Isabella Noel y dos hijos Byron Noel, vizconde de Ockham y Ralph Gordon Noel, treceavo barón de Wentworth y segundo conde de Lovelace. Además de tal abundancia de títulos nobiliarios, el primer conde de Lovelace proporcionó a Ada la posibilidad de acceder a los fondos bibliográficos de la Royal Society de Londres, para lo cual consiguió ser nombrado miembro de tan afamada sociedad científica. Ella, como mujer, no tenía acceso ni a la biblioteca de esta institución ni a la de ninguna otra de nivel universitario. Murió muy joven ocho años antes de que la primera universidad europea, la suiza, en 1860, admitiera en sus aulas a una mujer. Hasta 1874 ninguna mujer obtendría el doctorado en matemáticas, al que Ada hubiera podido optar por sus dotes, sus conocimientos y sus aportaciones, que la convertían no en poeta como su padre ni matemática como deseaba su madre, sino en una matemática poética, en lo cual fue precursora de los planteamientos más progresistas de la actualidad que abogan por la capacidad de exponer poéticamente una demostración matemática. El programa confeccionado por Ada Byron, sobre tarjetas perforadas, para el Ingenio Analítico de Babage computaba los números de Bernouilli, y da idea de sus conocimientos matemáticos y de su capacidad para crear un programa, mucho más complejo y ambicioso que los pequeños programitas ideados por el propio Babbage. Extrapolaba la primitiva estrategia fabril a una máquina de calcular. La idea de reutilizar las tarjetas encargadas de cierto procedimiento, cada vez que fuera necesario, dentro de un mismo programa, era tan avanzada que en los cien años posteriores no se escribió nada mejor referente a esta materia. Para entonces, ya se estaba aprovechando su aportación en la industria textil que enriquecía a unos pocos y explotaba a tantas y tantas mujeres como la joven del comienzo de este cuento. La salud de Ada nunca fue robusta y, a partir de 1843, a los 27 años, madre de tres criaturas pequeñas y terminadas las notas a la edición de Menabrea, decayó alarmantemente. Los médicos, en un principio, diagnosticaron histeria, era el saco de sastre de aquella época. Ada creyó durante largo tiempo en la certeza del primer diagnóstico. El láudano la alivió del dolor, producido por el terrible cáncer diagnosticado pocos meses antes de su muerte, hasta que su madre se hizo cargo de ella al final de su enfermedad y le retiró todos los calmantes, para que ganara la salvación eterna de su alma con el sufrimiento infinito de su cuerpo. Murió a los 36 años, como su padre, el famoso Lord Byron, al que nunca llegó a conocer, pero del que heredó la poderosa imaginación que la hizo vivir y sufrir. Ada pidió ser enterrada junto a él, que pensó siempre en ella y que le dedicó las últimas palabras antes de morir. De su triunfo científico sólo nos quedan sus iniciales en el artículo “Taylor’s Scientific Memoirs” publicado en 1843. Poner sólo las iniciales la preservaba del ridículo a que hubiera estado expuesta socialmente de haberse sabido que ella, una mujer, publicabamaterial“tan masculino”. Hoy, en la era de la informática, se le han concedido reconocimientos como dar su nombre a un lenguaje de programación, el lenguaje ADA, diseñado por y para el Departamento de Defenda de los Estados Unidos de América. Este lenguaje permite a Ada viajar alrededor del globo y en el tiempo, gracias a su amabilidad, flexibilidad, robustez y adaptabilidad a software nuevo. Está presente en un arsenal de industrias y organizaciones en Bélgica, Francia, Alemania, Suecia, Suiza, España, Reino Unido, y los Estados Unidos que utilizan el lenguaje Ada en los sistemas de control, de fabricación, en los sistemas de las actividades bancarias y de información, aviación, comunicación por satélite, y diseño. Por ejemplo, en los sistemas de control de la industria nuclear checa Westinghouse y elsistema de control del proceso del acero de la Weirton o en el sistema de actividades bancarias en el estado sueco que automatiza así todo el pago de la nómina, gastos, depósitos, y transacciones electrónicas. También se utiliza en telefonía móvil y en el diseño de circuitos integrados, en los sistemas de pruebas de motores de vehículos y a para diseñar toda la automatización de Microsoft Windows. Se invierte un décima parte de tiempo y de presupuesto en el software para cohetes espaciales, lo cual es la razónprimordial por la que los militares de USA utilizan este lenguaje. También se recuerda a Ada Byron Lovelace como personaje principal en novelas, obras de teatro y en un film de realidad virtual “Conceiving Ada”. En nuestro país, La Organización Española para la Coeducación Matemática ha adoptado su nombre, OECOM “Ada Byron”, con la misma finalidad: reconocer en la era cibernética el papel pionero de una mujer en ese campo, tan ligado a las matemáticas como la misma Ada Byron reconoce en las citas apuntadas en esta breve biografía. Libros y revistas Nomdedeu Moreno, Rosario; Mujeres Manzanas y Matemáticas. Entretejidas.Nivola. Madrid. 2000. Nomdedeu Moreno, Rosario; “Un cuento de Adas”.Atrevernos a educar 9-21. Madrid. Marzo. 2003. Toole, Betty Alexandra; The enchantress of numbers. Prophet on the computer age. Strawberry Press. Canada. 1992. Páginas web: Exposición de Teresa Lanceta en Divulgamat http://myhero.com/myhero/hero.asp?hero=a_lovelace http://platea.pntic.mec.es/~mmediavi/Shelley/index.html http://www.adabyron.org/
Martes, 11 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico


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