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Biografías de matemáticos ilustres

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Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Nácere Hayek (Universidad de La Laguna)
N. H. Abel, matemático noruego del siglo XIX, fue un genio incomprendido marcado por la fatalidad. Su vida es un triste, más bien terrible ejemplo del drama que representa en numerosos casos, la íntima conexión de la pobreza y la tragedia. Tuvo que salir de su tierra, para contactar con los grandes matemáticos europeos, sin conseguir que le reconocieran sus sobresalientes méritos hasta después de su muerte. Su fecunda idea de la inversión marcó un hito en la matemática. Su primera mayor aportación fue la prueba de la imposibilidad de resolución algebraica de la ecuación quíntica mediante radicales. Propulsó luego sobremanera el desarrollo de la teoría de integrales elípticas estudiando sus funciones inversas. Su contribución fue además decisiva en la fundamentación del análisis con el uso del rigor, dando precisión al contexto de series infinitas. La repercusión de los numerosos resultados que obtuvo en importantes zonas del análisis , le sitúan entre los más notables matemáticos de la historia. Junto a Henrik Ibsen, Abel es uno de los iconos nacionales de Noruega. Niels Henrik Abel nació el 5 de agosto de 1802 en la isla de Finnöy en la costa sudoccidental de Noruega. Era descendiente de una familia de sacerdotes rurales. Su padre Sorën-Georg Abel ejercía como párroco protestante de la pequeña aldea de Finnöy, en la diócesis de Cristianía (la actual Oslo), aunque también colaboraría como político en pro de una Noruega independiente. Su madre Ana María Simonsen, era hija de un comerciante de Risör. El matrimonio tuvo siete hijos. Abel era el segundo de ellos. Ya cumplido un año, su padre fue designado pastor de un lugar llamado Gjerstad cerca de Risör, donde Abel junto con su hermano primogénito tuvo que iniciar su educación en un período crítico para el desarrollo de su país, ya que la disolución en 1814 de la unión de Noruega con Dinamarca (gobernadas desde Copenhague por el mismo rey) acabó con la cesión de Noruega a Suecia. Esta última estableció entonces un gobierno provisional en Oslo y aunque a Sören se le incluyó en el cuerpo legislativo para su nueva constitución, la fuerte crisis noruega impidió al padre de Abel resolver la precaria situación económica de su familia. Unos años antes, Sören coadyuvaría con eficaces campañas, en la fundación (1811) de la primera Universidad noruega en Cristianía, la cual se pudo crear al proveerse de un cuerpo docente constituido por los mejores maestros de la Escuela Episcopal de Cristianía (existente desde la Edad Media), inaugurando la docencia universitaria en 1813. En 1815 logró conseguir a duras penas, una modesta ayuda para que Abel y el primogénito accediesen a la citada Escuela, donde destacaban en el curriculum Lenguas Clásicas, Religión e Historia.
Lunes, 13 de Octubre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más
Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:María Molero Aparicio (Liceo Español de París) y Adela Salvador Alcaide (U. P. Madrid, E. T. S. I. C
María Gaetana Agnesi es una matemática italiana cuya obra más importante, Instituciones Analíticas, fue traducida a varios idiomas y utilizada para aprender Matemáticas durante más de cincuenta años en muchos países de Europa. En ella trataba con sencillez y claridad temas, tan novedosos entonces, como el Cálculo Diferencial e Integral. Al final de su vida era famosa en toda Europa como una de las mujeres de ciencia más capaces del siglo XVIII. Un cráter de Venus lleva su nombre en su honor. En la Biblioteca Ambrosiana de Milán se guardan sus obras inéditas que ocupan veinticinco volúmenes. Durante el siglo XVIII la Ilustración impulsó el sapere aude (atreverse a saber) entre las clases acomodadas, aunque con limitaciones entre las mujeres. La Ilustración no fue un movimiento homogéneo en toda Europa y en lo que hoy es Italia tuvo manifestaciones diversas según cada ciudad estado. No obstante, en los siglos XVII y XVIII, hubo en ese país un resurgimiento de las mujeres de ciencia: Elena Cornaro Piscopia fue profesora de Matemáticas en 1678 en la universidad de Padua; Diamente Medaglia escribió una disertación sobre la importancia del estudio de las Matemáticas para las mujeres; María Angela Ardinghelli estudió Matemáticas y Física en Nápoles; y Laura María Catarina Bassi se doctoró en filosofía en la universidad de Bolonia en 1733, donde ocupó una cátedra de física y publicó trabajos sobre física cartesiana y newtoniana [4]. Pero la que alcanzó mayor fama fue María Gaetana Agnesi. Su vida María Gaetana Agnesi nació en Milán el 16 de mayo de 1718, hija de Don Pietro Agnesi Mariami y de Anna Brivio. En su país, al contrario que en otros países europeos, sí se aceptaba que las mujeres recibieran educación, y ella tuvo una esmerada formación. Fue una niña precoz y dotada, que con cinco años hablaba francés, y con nueve, conocía siete lenguas: italiano, latín, francés, griego, hebreo, alemán y español, por lo que recibió el apelativo de "Oráculo de siete idiomas". Su padre, un hombre de talento, rico y cultivado era, según unos libros, profesor en la Universidad de Bolonia [1, 4, 5, 8, 9, 10], aunque según otras fuentes [7], esto no es correcto ya que se dedicaba al comercio de la seda con lo que había conseguido una gran fortuna. Tuvo 21 hijos e hijas, siendo María, la mayor. D. Pietro se propuso dar a sus hijos e hijas la mejor educación, incluyendo una formación científica. Pudo proporcionarles tutores de la más alta cualificación. María fue afortunada pues dirigieron sus estudios: Carlo Belloni, Francesco Manara, Michele Casati y el padre benedictino Ramiro Rampinelli, profesor de Universidad, que cuando llegó a Milán frecuentó la casa de los Agnesi. Con la ayuda de Rampinelli estudió el texto de Reyneau “Analyse demontrée” (1708). Estudió las matemáticas de Fermat, Descartes, Newton, Leibniz, Euler y de los Bernoulli [10].
Viernes, 31 de Octubre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más
Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Ricardo Moreno (Universidad Complutense de Madrid)
Al-Biruni nació en el año 973 en Kharezm (actual Uzbekistán) y murió en el 1048 en Ghazna (la actual Afganistán). Fue uno de los sabios que más hizo por difundir entre los árabes la cultura y la matemática hindú. Se propuso resolver el problema de inscribir en un círculo un polígono de nueve lados. Si x es el doble de la apotema, tenemos que: x = 2 cos 20º (como se ve en la figura). En la fórmula del coseno del ángulo triple: cos3θ = 4cos3θ - 3cosθ sustituimos θ por 20º y llegamos a lo siguiente: Eliminamos los denominadores y llegamos a una ecuación de tercer grado de cuya solución depende la del problema geométrico: x3 - 3x - 1 = 0 Al-Biruni encontró una raíz numérica de una precisión que hoy diríamos de seis cifras decimales. En una obra dedicada a la regla de tres, titulada Sobre la regla de tres en la India, demuestra cómo los hindúes habían emprendido la generalización de estas reglas y estudia la proporcionalidad directa e indirecta.
Lunes, 03 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más
Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Ricardo Moreno (Universidad Complutense de Madrid)
Abu Ali al-Hasan ibn al Hasan ibn al-Haytam, más conocido en occidente como Alhacén, vivió aproximadamente entre los años 965 y 1039 y formó parte del grupo de científicos del Cairo, aunque nació en Basra, Persia (la actual Irak). Fue uno de los primeros matemáticos árabes que abordó con éxito ecuaciones de grado superior al segundo, al resolver geométricamente una de tercero que, más de mil doscientos años antes, había planteado Arquímedes en su obra Sobre la esfera y el cilindro. La proposición 4 del libro II propone el siguiente problema: partimos en dos trozos una esfera de radio R mediante un plano que la corta a una distancia de R - x del centro, como se puede ver en la figura 1: Figura 1 Los volúmenes de cada uno de los trozos son respectivamente: y Se trata de calcular x de manera que la relación entre ambos sea un número decidido de antemano. Es fácil comprobar que x ha de ser raíz de la ecuación siguiente: En la obra citada no se dice como encontrar la solución, pero según Eutocio (un comentarista bizantino de comienzos del siglo VI), Arquímedes logró resolverla geométricamente cortando secciones cónicas. En el siglo IX al-Mahani (matemático de la escuela de Bagdad) intentó sin éxito hacerlo algebraicamente. Alhacén dio con una solución, siguiendo un camino parecido al trazado por Arquímedes, ayudándose de una parábola y una hipérbola. En un libro titulado Tesoros de la óptica plantea Alhacén un problema (que todavía en el siglo XVII despertó el interés de matemáticos como Huygens y Barrow) que conduce a una ecuación de grado cuatro. También la resolvió mediante intersecciones de secciones cónicas. Consiste en localizar sobre un espejo circular el punto en el que se ha de reflejar un rayo salido de un punto A para que incida en un punto B (ver figura 2). Sea éste el punto M. Figura 2 Si r es el radio del espejo, a = AO, b = BO, α el ángulo AOM y β el ángulo BOM, tenemos lo siguiente: MP = a cosα - r, MQ = b cosβ - r, AP = a senα, BQ = a senβ Ahora bien, sabemos por las leyes de la reflexión que los triángulos rectángulos AMP y BMQ tienen un ángulo igual, en consecuencia son semejantes. Entonces: Como el ángulo α + β = AOB es conocido, lo mismo que a, b y r, la última igualdad conduce a una ecuación de grado cuatro.
Lunes, 03 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más
Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Ricardo Moreno (Universidad Complutense de Madrid)
Poco sabemos de la vida de Mohammed ibn-Musa al-Jwarizmi1 , tan sólo que vivió aproximadamente entre los años 780 y 850 y que fue miembro de la Casa de la Sabiduría fundada por al-Mamún. Cinco de sus obras han llegado hasta nosotros. Son tratados de aritmética, álgebra, astronomía, geografía y el calendario. Hay noticias de otras, sobre el cuadrante solar y el astrolabio, pero no se han conservado. La Aritmética La Aritmética la conocemos a través de cuatro fuentes. La primera está en la Biblioteca de la Universidad de Cambridge, y es una copia del siglo XIII de una traducción latina que posiblemente es del siglo anterior. Algunos errores y añadidos hacen pensar que no es una traducción fiel, pero ignoramos si proceden del traductor o del copista, el cual ni siquiera terminó su trabajo porque el manuscrito se interrumpe en medio de un ejemplo sobre la multiplicación de fracciones. Las otras fuentes son obras que se inspiran muy directamente en la de al-Jwarizmi. Una de ellas es el Liber Algorismi de practica arismetrice, atribuida a Juan de Sevilla. La segunda es Alchorismi in artem astronomicam a magistri A. compositus. No sabemos quien es el autor, pero lo de “Magíster A.” puede referirse al inglés Abelardo de Baht. La tercera es un tratado sobre aritmética indú de al-Nasawi, matemático del siglo XI de la escuela de Bagdad. Después de exponer en su aritmética el sistema de numeración posicional mediante cifras hindúes, explica al-Jwarizmi cómo nombrar los grandes números usando los conceptos de unidad, decena, centena y millar, que él acababa de definir. Se sirve como ejemplo del número 1 180 703 051 492 863, que se ha de leer de la manera siguiente: Un mil de mil de mil de mil y de mil, y un ciento de mil de mil de mil y de mil, y ochenta de mil de mil de mil y de mil, y setecientos de mil de mil y de mil, y tres mil de mil y de mil, y cincuenta y uno de mil y de mil, y cuatrocientos mil, y noventa y dos mil, y ochocientos sesenta y tres.
Martes, 04 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más
Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Ricardo Moreno (Universidad Complutense de Madrid)
Este matemático pertenecía a la escuela de Bagdad, ciudad en la que nació hacia el año 953 y murió alrededor del 1016. Escribió un Compendio de la ciencia de la aritmética en setenta capítulos, de los cuales los diecisiete últimos están dedicados al álgebra. En las ecuaciones cuadráticas sigue a Abu Kamil, pero además del método geométrico, proporciona otro puramente aritmético, que no necesita apoyarse en los Elementos. Sus procedimientos son más generales y trabaja con ecuaciones cuyo coeficiente principal no es necesariamente uno. Es el primero que estudia las ecuaciones de grado superior fácilmente reducibles a cuadráticas, bien por ser de la forma ax2n + bxn = c, bien por ser de esta otra ax2n+m + bxn+m = cxm. Los capítulos dedicados a la aritmética siguen la línea de Abu-l-Wefa, pero habla de la prueba del once (además de la del nueve) lo cual es una novedad entre los árabes. La prueba del nueve consiste en sustituir los datos y el resultado de una operación por sus restos módulo nueve (en lenguaje moderno diríamos llevar la operación desde Z hasta Z9 a través del homomorfismo canónico). Ya sabemos que si tenemos un número, para encontrar otro con él módulo nueve no tenemos más que sumar sus cifras: ⇒ ⇒ ⇒ Multiplicamos el divisor por el cociente, le sumamos el resto y sometemos el resultado al mismo proceso: 1x8 + 7 = 15 → 6, luego la división es correcta. El inconveniente de este método está en que no detecta un error si éste es múltiplo de nueve, como el que se produce cuando hay un baile de cifras. En la prueba del once las cosas son idénticas, pero en lugar de sumar las cifras tenemos que sumar aparte las que ocupan lugares pares de las que ocupan lugares impares, y después restar los resultados. Si el resultado es negativo, podemos sumar once. Repetimos el ejemplo anterior: ⇒ ⇒ La última división es obviamente cierta.
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Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Pedro Miguel González Urbaneja (IES Sant Josep de Calassanç, Barcelona)
Este artículo está dedicado con admiración a la figura humana, científica y didáctica del Profesor Miguel de Guzmán, egregio espíritu innovador en la Docencia y en la Investigación matemáticas. En diversos escritos manifestó que su afición a la Geometría le había estimulado a acercarse con gusto a las obras de Apolonio. Apolonio representa [en la Geometría griega] la grandeza técnica especializada, el virtuosismo geométrico por excelencia. Es verdad que su obra hizo olvidar lo que antes de él se había escrito en el campo de su mayor brillantez, las cónicas, pero por su carácter tan especializado y tan difícil, ni siquiera esta obra maestra, las Cónicas, se conoce hoy en su integridad y más de la mitad de ella permaneció oculta para el mundo occidental hasta que fue publicada por Edmond Halley en 1710. Miguel de Guzmán. Apolonio (en Un retablo de historias matemáticas. Pensamientos en torno al quehacer matemático [CD–ROM], Madrid, 2001). Apolonio, el Gran Geómetra Si entre los matemáticos griegos Euclides representa el maestro sistematizador, y Arquímedes el genio investigador por antonomasia, el tercer talento del helenismo, Apolonio de Perga, personifica el virtuosismo geométrico. Mientras Euclides codifica en Los Elementos los fundamentos de la Geometría griega de la regla y el compás como cuerpo de doctrina central de la totalidad de las ciencias matemáticas elementales y Arquímedes, en su fecunda y brillante obra, magnifica de forma muy considerable el patrimonio matemático griego, alcanzando incluso el estudio riguroso de multitud de problemas infinitesimales tratados con inefable originalidad, Apolonio polarizó su actividad investigadora en una dirección casi monotemática con una sagacidad tan magistral que sus investigaciones sobre cónicas, donde aparecen sus bellísimos descubrimientos sobre ejes, centros, diámetros, asíntotas, focos, rectas máximas y mínimas –tangentes y normales–, etc., le convierten en el primer especialista que registra la Historia de la Geometría y dan justificación al apelativo de «gran geómetra». La mayor parte de los exiguos datos conocidos sobre la vida de Apolonio provienen de unas pocas noticias que el propio autor reseña en las introducciones a algunos de los libros de su magna obra Las Cónicas. Se sabe que nació hacia el año 262 a.C., en Perga, región de Panfilia (la actual Antalya, Turquía); estudió en el Museo de Alejandría con los sucesores de Euclides; y residió tanto en la propia capital alejandrina como en Éfeso y Pérgamo, urbe que gozaba del prestigio de una Biblioteca y un emporio académico del Saber, similares a los de Alejandría, ciudad donde murió hacia el 190 a.C. Según relata Pappus (siglo IV d.C) en La Colección Matemática, donde aparecen numerosas referencias a la obra de Apolonio, el Gran Geómetra era de trato difícil y tenía un carácter melancólico e irascible. El gran historiador de la matemática F.Vera en su edición de Las Cónicas (en Científicos griegos. Aguilar, Madrid, 1970, p.301) dice que «Apolonio era un genio de mal genio». Debido a que el nombre de Apolonio era muy frecuente en Grecia, se suelen cometer habituales errores de atribución. De hecho, importantes sabios y eruditos griegos tuvieron este nombre: Apolonio de Rodas, Apolonio de Tralles, Apolonio de Atenas, Apolonio de Tyana, Apolonio de Tiro, etc. En particular el busto exhibido pudiera no ser de Apolonio de Perga sino del famoso pitagórico del siglo I d.C. Apolonio de Tyana. La obra geométrica de Apolonio ElTesoro del Análisis de La Colección Matemática de Pappus estaba constituido en gran parte por obras de Apolonio, perdidas o conservadas entonces de forma fragmentaria, que debían de incluir mucho material geométrico cuyo estudio forma parte hoy de la Geometría Analítica. Como se sabe, durante el siglo XVII hubo una auténtica obsesión, en particular por Fermat, por la reconstrucción de muchas de las obras perdidas de Apolonio y precisamente en esta labor estuvo el origen de su Geometría Analítica. Según Pappus debemos a Apolonio la clasificación clásica de los problemas geométricos en planos, sólidos y lineales –según sean resolubles, respectivamente, con rectas y circunferencias, cónicas u otras curvas superiores–, que perseguía la idea de ajustar la envergadura de los instrumentos geométricos a utilizar a la enjundia de los problemas geométricos a resolver. Los dos Libros sobre Los Lugares Planos estudiaban lugares geométricos rectilíneos o circulares. Mediante un lenguaje geométrico moderno buena parte del Libro I se puede resumir diciendo que la homotecia, la traslación, la rotación, la semejanza y la inversión, transforman un lugar plano en otro lugar plano. En el Libro II aparecen dos importantes lugares geométricos: «El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos puntos fijos A, B, es constante, es una recta perpendicular al segmento AB». «El lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a dos puntos fijoses constante, es una circunferencia». En el libro Secciones en una razón dada –el único que ha sobrevivido además de siete de los ocho Libros de Las Cónicas–, traducido por Edmond Halley del árabe al latín, en 1710– Apolonio resuelve diversos casos del siguiente problema: «Dada dos rectas y sendos puntos en ellas, trazar por un tercer punto otra recta que corte a las anteriores en segmentos, que medidos sobre ellas desde los respectivos puntos dados, estén en una razón dada». Este problema conduce a una ecuación cuadrática de la forma ax–x2=bc. También en el libro Secciones en un área dada se resuelve un problema similar que pide que los segmentos determinados por las intersecciones formen un rectángulo equivalente a otro dado. En este caso el problema lleva a una ecuación cuadrática de la forma ax+x2=bc. Con la potencia de nuestra herencia cartesiana y fermatiana, la Geometría Analítica, los problemas se reducen fácilmente a una intersección de cónicas. El geómetra griego aplicaba con suma habilidad el Álgebra geométrica de los Libros II y VI de Los Elementos de Euclides, para, mediante transformaciones geométricas sucesivas, reducir la ecuación –permítasenos un anacronismo matemático– a una forma canónica en la que se reconocía alguna de las tres cónicas. De esta forma podemos imaginar cómo merced a sus extensos conocimientos sobre las curvas cónicas pudo proceder Apolonio en la resolución de problemas tan brillantes. En el Libro Secciones determinadas, Apolonio plantea el problema siguiente: «Dados cuatro puntos A, B, C, D, sobre la misma recta, hállese un quinto punto P sobre ella, de modo que el rectángulo construido sobre AP y CP esté en una razón dada con el construido sobre BP y DP». Como en los casos anteriores el problema es equivalente a la resolución de ecuaciones cuadráticas, con las que se tratan todas las variantes que se presentan en los datos y las correspondientes soluciones. En los dos Libros De las Inclinaciones, aparecen problemas sólidos y lineales donde se renueva una técnica utilizada por Arquímedes en Sobre las espirales, por ejemplo: «Dadas dos líneas y un punto, trazar por él una recta tal que las líneas dadas corten en ella un segmento de longitud dada». Finalmente mencionamos las siguientes obras de Apolonio: Las Tangencias (obra conocida también por el nombre de Los Contactos que alude a la concepción de la tangente en la Geometría griega) donde aparece el histórico Problema de los círculos Apolonio que veremos más adelante. El Okytokion (o Tratado sobre Cálculo rápido), una obra de Logística –la Aritmética práctica de los griegos de uso en el comercio y los oficios artesanales– con técnicas para el manejo de números grandes más operativas que las del Arenario de Arquímedes. Un tratado acerca del tornillo, Sobre la hélicecilíndrica, citado por Gémino (hacia 77 a.C.). Un Tratado universal, citado por Marino (hacia 475 d.C.), que examinaba, tal vez con intención y espíritu crítico, los fundamentos de las Matemáticas, y que incluía observaciones sistemáticas de tipo axiomático. Algunos restos remanentes de esta obra pudieran haber subsistido en las Definiciones de Herón (hacia 65 a.C.) y sobre todo en el Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides de Proclo (hacia 460 d.C.). Sobre los irracionales desordenados, obra que glosaría el Libro X de Los Elementos de Euclides sobre los inconmensurables cuadráticos, llamado por Stevin «la cruz de los matemáticos». Sobre el Icosaedro y el Dodecaedro, obra dedicada a la comparación de poliedros regulares inscritos en una esfera. Algunos de los resultados geométricos de esta obra pasaron al apócrifo Libro XIV de Los Elementos de Euclides, que se atribuye a Hipsicles (hacia 150 a.C.). Los dos teoremas más interesantes son: «La circunferencia circunscrita al pentágono regular del dodecaedro y la circunscrita al triángulo equilátero del icosaedro, ambos inscritos en la misma esfera, es la misma». «Si se inscribe un cubo, un dodecaedro y un icosaedro en una esfera, los lados del cubo y del icosaedro son proporcionales a las áreas y a los volúmenes del dodecaedro y del icosaedro, siendo el factor de proporcionalidad la razón áurea, es decir, la razón entre los segmentos que divide una recta en media y extrema razón». Pero sin duda alguna la obra que ha inmortalizado a Apolonio en la Historia de las Matemáticas es Las Cónicas una de las obras cumbres de la Matemática griega junto con Los Elementos de Euclides, los grandes tratados de Arquímedes, El Almagesto de Ptolomeo, La Aritmética de Diofanto y La Colección Matemática de Pappus. La obra de Apolonio supera con creces y oscurece lo que con anterioridad habían escrito sobre el tema Menecmo, Euclides y otros, cuyos trabajos, reproducidos por Apolonio, vamos a estudiar someramente a continuación... La Edición de BARROW de las Cónicas de Apolonio Archimedis opera; Apollonii Pergaei conicorum libri IIII; Theodosii Sphaerica. Edición de I.Barrow de Las Cónicas de Apolonio (Londres, 1675). Contiene también obras de Arquímedes y de Teodosio. Las ilustraciones con la portada y las figuras de Apolonio procede de la Biblioteca del Real Instituto y Observatorio de la Armada de San Fernando (Cádiz).
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Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Mª Rosa Massa Esteve (Universitat Politècnica de Catalunya)
Aristarco de Samos1, que floreció entre Euclides (aprox. 300 a.C.) y Arquímedes (287-212 a.C.), fue una de las raras excepciones que planteó ideas heliocéntricas del Universo. Sin embargo, en su obra Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna utilizó la teoría geocéntrica. Aristarco fue uno de los pioneros en escribir una obra que calculaba los tamaños del Sol y la Luna relacionándolos con los de la Tierra y las distancias de ellos a la Tierra. Cuando Aristarco escribió su obra (aprox. 230 a.C.) en la astronomía griega ya se conocían teorías diversas sobre el cosmos. Así podemos citar, por ejemplo, a Tales (aprox. 624-547 a.C.), conocido como astrónomo y que predijo y explicó las causas de un eclipse de Sol, entendía la Luna y el Sol como discos o cilindros cortos que se comportaban como si flotaran en el agua [Heath, 1981b, pp. 137-138]. Tannery compara esta visión del universo de Tales con la que se encuentra en los papiros egipcios [Tannery, 1990, p. 74]. Algunas ideas diferentes fueron presentadas por Pitágoras (aprox. 572-497 a.C.) y sus seguidores, quienes reconocieron que la Tierra era una esfera y que Venus, la estrella vespertina, era el mismo planeta que Venus, la estrella matutina. El movimiento de la Tierra así como el del Sol, la Luna y los planetas alrededor de un fuego central fue también una teoría atribuida a un discípulo de Pitágoras, Filolao de Crotona (aprox. 470 a.C.) [Berry, 1961, pp. 24-25]. Posteriormente, Eudoxio (aprox. 408-355 a.C.) propuso una teoría de esferas homocéntricas para describir el movimiento de los cuerpos celestes. Supuso que la Tierra permanecía inmóvil en el centro y que los planetas (incluyendo el Sol y la Luna) ejecutaban movimientos circulares alrededor de ella. Eudoxio las consideró esferas encajadas y concéntricas con la Tierra: tres esferas para el Sol, tres para la Luna y cuatro para cada uno de los otros planetas con diferentes velocidades de rotación y ejes de giro. También construyó un observatorio en Cnido, observó las estrellas y escribió un libro sobre la salida y la puesta de las constelaciones.
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Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Luis Vega Reñón (U.N.E.D.)
Es no sólo el talento matemático griego por excelencia, sino el científico más célebre de la Antigüedad. Su fama nació tanto de sus contribuciones teóricas, como -o quizá más- de sus habilidades técnicas en ingeniería civil y militar, y de la circunstancia de estar en el lugar y en el momento oportunos (la caída de Siracusa el año 212, durante la 2ª guerra púnica entre los romanos y los cartagineses -a quienes Siracusa se había aliado dos años antes-), para atraer la atención de los grandes historiadores greco-romanos (Polibio, Livio, Plutarco). Mereció una biografía temprana de Heráclides, hoy perdida. Pese a su popularidad y a la vez en aras de ella, las noticias que nos han llegado de su vida y milagros, heurísticos e ingenieriles, no son muchas, ni son todas fiables -véase el panorama crítico que Knorr ha presentado en [7]. Sabemos por él mismo (Arenario, I 9) que fue hijo de Fidias, astrónomo. Mantuvo, al parecer, buenas relaciones con la dinastía siracusana y le rindió cumplidos servicios: tal vez fuera una especie de consejero áulico del tirano Hierón II, a cuyo hijo -y corregente- Gelón está dedicado el Arenario. Hierón, un sagaz estadista, procuró sacar partido de la inventiva de Arquímedes, sobre todo en obras de fortificación y defensa militar, al tiempo que lamentaba no disponer en sus dominios de otro talento similar para el desarrollo de la agricultura. El dato mejor establecido de la vida de Arquímedes es su muerte en el fragor de la toma y saqueo de su ciudad natal, Siracusa, en 212 a.n.e. Es fama que murió a manos de un legionario mientras se hallaba absorto en la consideración de un problema geométrico, aunque ésta sólo sea una de las varias versiones que correrían siglos después sobre una desgracia también sentida por el general romano Marcelo, ansioso de conocer al “Briareo geómetra” que había contenido y atemorizado con toda suerte de máquinas y artilugios defensivos a sus tropas de asalto. Si, a partir de ese dato, diéramos crédito a lo que Tzetzes, un polígrafo bizantino del s. XII, afirma sobre Arquímedes: «trabajó en geometría hasta edad avanzada viviendo 75 años» (Quiliades, 2, historia xxxv), podríamos suponer que nació el año 287 a.n.e.
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Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres
Autor:Ricardo Moreno Castillo (Universidad Complutense de Madrid)
Aryabhata, el más antiguo de los matemáticos hindúes cuyos trabajos se conservan, nació en el 476, en un lugar que desconocemos. Su obra más importante, llamada por la posteridad Aryabhatiya, es un libro en verso organizado en cuatro capítulos en el que se habla de muy diversos temas de astronomía y matemáticas. En él aparecen aportaciones propias del autor, y también se recogen y sistematizan resultados procedentes de los Siddhantas (una colección de textos donde teorías astronómicas de origen griego aparecen mezcladas con viejas creencias hindúes) y de obras ce científicos anteriores. Así, aunque el Aryabhatiya carece del orden expositivo de los Elementos, el papel de Aryabhata en la matemática India recuerda al de Euclides en la griega, porque de los escritos de los matemáticos anteriores solo han sobrevivido pequeños fragmentos. El método de inversión para resolver ecuaciones algebraicas En el Aryabhatiya aparecen algunas ecuaciones algebraicas resueltas por el método de inversión, que consiste en partir del resultado e ir haciendo las operaciones inversas en sentido contrario a como se dan en el enunciado. Una de ellas es la siguiente: Se multiplica un número por 3, al producto se le suman sus tres cuartas partes, la suma se divide por 7, del cociente se resta su tercera parte, la diferencia se multiplica por sí misma, al cuadrado se le resta 52, de la diferencia se extrae la raíz cuadrada, a la cual se la suma 8, dicha suma se divide por 10 y el resultado es finalmente 2. ¿Cuál es ese número? Entonces se procede de la siguiente manera: Si la última operación antes de llegar a 2 es dividir por 10, multiplicamos 2 por 10: 2 x 10 = 20. La penúltima operación consistió en sumar 8, entonces restamos 8: 20 - 8 = 12. La antepenúltima consistió en una raíz cuadrada, luego calculamos el cuadrado de lo que tenemos: 122 = 144. Antes de hacer la raíz se restó 52, que es lo que se ha de sumar ahora: 144 + 52 = 196. Antes de restar 52 se hizo un cuadrado, entonces se ha de hacer ahora una raíz cuadrada: √196 = 14. Previamente a la raíz, se había sustraído de una cantidad su tercera parte, lo cual equivale a multiplicarla por dos tercios, entonces multiplicamos por tres medios: 14 x (3/2) = 21. La cantidad multiplicada por tres medios era el resultado de dividir algo entre 7, por consiguiente se ha de multiplicar el último resultado por 7: 21 x 7 = 147. Lo que se había dividido entre 7 es el triple del número buscado al cual se le había sumado sus tres cuartas partes, lo cual equivale a multiplicar por siete cuartos, entonces hay que multiplicar ahora por cuatro séptimos y dividir por 3: (147 x (4/7)) / 3 = 28. El método de pulverización para resolver ecuaciones diofánticas Los matemáticos hindúes resolvieron las ecuaciones diofánticas lineales según un procedimiento llamado kuttaka, palabra sánscrita que se podría traducir por pulverización.  Vamos a describir el método a través del siguiente ejemplo: 29x + 4 = 8y Dividimos el coeficiente mayor entre el menor: 29 = 8 x 3 + 5, y hacemos el cambio y = 3x + u, lo que da lugar a una nueva ecuación 5x + 4 = 8u. Volvemos a dividir el coeficiente mayor entre el menor: 8 = 5 x 1 + 3, y hacemos x = u + v, y tenemos una tercera ecuación 5v + 4 = 3u. La tercera división es 5 = 3 x 1 + 2, hacemos u = v + w, y tenemos una cuarta ecuación 2v + 4 = 3w. La cuarta división es 3 = 2 x 1 + 1. Hacemos v = w + t, y tenemos una quinta ecuación 2t + 4 = w. El coeficiente de una de las incógnitas es 1, entonces damos la otra un cierto valor y hacemos el camino inverso: si t = 0, entonces w = 4, v = 4, u = 8, x = 12 e y = 44. Si se necesita la solución más pequeña posible, se divide 12 por 8 (el coeficiente de la y) y 44 por 29 (el coeficiente de la x), divisiones que dan lugar a los restos 4 y 15. Estos restos son la solución buscada. En cuanto tenemos una solución particular, es fácil comprobar que las demás proceden de la siguiente fórmula: x = 4 + 8m y = 15 + 29m Sobre progresiones aritméticas Una progresión aritmética es una sucesión de números cada uno de los cuales se deduce del anterior sumándole un numero fijo d llamado diferencia de la progresión. Entonces, si  es una progresión, a2 = a1 + d, y en general ap = a1 + (p-1)d. Aryabhata tiene algunas consideraciones sobre progresiones aritméticas. En primer lugar, explica cómo sumar m términos consecutivos, multiplicando el número de sumandos por el término central (dando así por sentado que el número de sumandos es impar), y para calcularlo proporciona la siguiente regla: El número de términos menos uno se divide por dos, se suma el número de términos que preceden, se multiplica el resultado por la diferencia, y al producto se le suma el primer elemento de la progresión. Si los términos a sumar son ap+1, ap+2, ..., ap+m, el “número de términos que preceden” es p, el elemento central se calcula como sigue: También explica como calcular el número total de términos cuando se conoce el primero, la suma de todos ellos y la diferencia de la progresión: Multiplica la suma por ocho veces la diferencia, suma el cuadrado de la distancia entre el doble del primer miembro y la diferencia, haz la raíz cuadrada, resta dos veces el primer término, divide el resultado por la diferencia, suma uno y divide por dos. En efecto, por lo que se ha visto antes, la suma de todos los elementos de la progresión es (porque ahora m = n y p = 0): El número n es solución de la ecuación cuadrática: dn2 + (2a1 - d)n - 2S = 0 Resolviéndola, tenemos la regla de Aryabhata: La trigonometría del Aryabhatiya La trigonometría griega trabajaba con las cuerdas de los arcos. La idea del seno, la semicuerda del ángulo doble, es de origen hindú. En el Aryabhatiya se da una tabla de los senos de 24 ángulos, cada uno de los cuales excede al anterior en (3 + 3/4)º. Pero no se utilizaba, como se hace hoy, una circunferencia de radio uno, de manera que su concepto de seno no es idéntico al nuestro, de manera que si R es el radio de la circunferencia, el seno hindú de un ángulo es el seno actual multiplicado por R. Aryabhata toma como unidad de longitud el minuto de arco. Como da al número  el valor de 3.1416, el radio es: La longitud del radio es aproximadamente 3438 veces la del arco de un minuto. Como valor del seno del ángulo más pequeño de su tabla toma 225, la longitud del arco. El error cometido es insignificante: Para el cálculo de los demás senos, se sirve de la siguiente fórmula (en la cual α = (3 + 3/4)º): De este modo: Y así va completando su tabla. Bibliografía DICKSON, L. E. (1971), History of de theory of numbers, Chelsea Publishing company, New York. GERICKE, H. (1984), Mathematik in Antike Orient, Springer-Verlag, Berlín. GHEVERGHESE, G. (1996), La cresta del pavo real, Ediciones Pirámide, Madrid. MORENO, R. (2011), Aryabhata, Brahmagupta y Bhaskara, tres matemáticos de la India, Editorial Nivola, Madrid. ORE, O.  (1988), Number Theory and its History, Dover Publications, New York. VAN DER WAERDEN, B. L. (1983), Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer-Verlag, Berlín.
Sábado, 21 de Julio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico


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