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Historia de las matemáticas

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Historia de las matemáticas/Caricaturas de matemáticos españoles
Autor:Enrique Morente Luque
Nombre y Apellidos: Carlos Andradas Fecha y lugar de Nacimiento: 14 de Julio de 1956, Reus. Datos Académicos (Licenciatura, Doctorado, Categoría, Universidad de Trabajo…): Licenciado en Matemáticas (1978), Doctor por la UCM (1982) y por la University of New Mexico (1983). Área/s de Trabajo: Álgebra y geometría algebraica reales. Cargos que ocupa o ha ocupado: Decano de la Facultad de Matemáticas UCM, Vicerrector de Investigación UCM, Vicerrector de Ordenación Académica UCM, Vicepresidente del ICM, Presidente de la RSME. Aficiones personales: Montaña, bicicleta, lectura y cine. Si no hubiese sido matemático, ¿Qué le hubiese gustado ser?: Ingeniero. - Algunas preguntas rápidas: un matemático: Poincaré un resultado/teorema matemático: Teorema Egregio de Gauss ¿qué resultado matemático le gustaría demostrar?: Problema 17 de Hilbert para Funciones Analíticas un tipo de música: Country un libro: 2666 una película: Crash un viaje: China un color: Azul un plato de comida: Me pierden los dulces una bebida: vino Autor de la caricatura: Enrique Morente Luque
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Historia de las matemáticas/Caricaturas de matemáticos españoles
Autor: Enrique Morente Luque
Nombre y Apellidos: Luis Balbuena Castellano Fecha y lugar de Nacimiento: 22-Enero-1945 en Fontanales-Moya-Las Palmas. Datos Académicos (Licenciatura, Doctorado, Categoría, Universidad de Trabajo…): Maestro Nacional, Licenciado en Matemáticas, Catedrático de Matemáticas de Educación Secundaria en los Institutos Diego de Guzmán de Huelva, Antonio González de Tejina y Viera y Clavijo en La Laguna (Tenerife). Área/s de Trabajo: Didáctica de las Matemáticas. Cargos que ocupa o ha ocupado: Profesionales: Director y Vicedirector de Instituto, Presidente y Secretario General de la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas. Secretario General de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas. Secretario General de la Federación Iberoamericana de Sociedades de Educación Matemática. Políticos: Consejero de Educación del Gobierno de Canarias, Concejal del Ayuntamiento de La Laguna. Premios: Un tercer Premio “Giner de los Ríos”, Un Segundo Premio “Giner de los Ríos”, Dos Primeros Premios “Giner de los Ríos”, Cuatro Premios “Educación e Inventiva”, Encomienda “Alfonso X el Sabio”, Palmes Academiques (Francia), Medalla Viera y Clavijo al mérito docente. Aficiones personales: Caminar – Coleccionismo - Vexilología. Si no hubiese sido matemático, ¿Qué le hubiese gustado ser?: Geólogo. - Algunas preguntas rápidas: un matemático: Gauss ¿qué resultado matemático le gustaría demostrar?: Pero, ¿todavía quedan? un tipo de música: Barroca un libro: El Quijote una película: El Golpe un viaje: Chile de norte a sur un color: Verde un plato de comida: lentejas una bebida: vino blanco de Icoden Autor de la caricatura: Enrique Morente Luque
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Historia de las matemáticas/Caricaturas de matemáticos españoles
Autor:Enrique Morente Luque
Nombre y Apellidos: Juan Ignacio Montijano Torcal Fecha y lugar de Nacimiento: 27 de diciembre de 1956,  Tarazona (Zaragoza). Datos Académicos (Licenciatura, Doctorado, Categoría, Universidad de Trabajo…): Licenciado en Físicas (1978) y en Matemáticas (1980) por la Univ. de Zaragoza,  Doctor en Ciencias-Matemáticas (1983) por la Univ. de Zaragoza, Catedrático de Matemática aplicada desde 2003. Área/s de Trabajo: Análisis numérico-Resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Cargos que ocupa o ha ocupado: Vicedecano de la Facultad de Ciencias (1992-2001), Presidente de la Comisión de docencia de la Facultad (2000-2002), Presidente de la Sociedad Española de Matemática Aplicada (2005-2006),  Director del Dpto. de Matemática aplicada desde 2002. Premios: "Academia General Militar" al mejor expediente de licenciatura de la Facultad de Ciencias. Aficiones personales: Bicicleta, Yoga. Si no hubiese sido matemático, ¿Qué le hubiese gustado ser?: Ingeniero, para criticar a los matemáticos. - Algunas preguntas rápidas: un matemático: Gauss un resultado/teorema matemático: Cualquier resultado anterior al siglo XIX me parece asombroso ¿qué resultado matemático le gustaría demostrar?: Obtener un resultado nuevo siempre me da gran satisfacción un tipo de música: Soul un libro: El juego de Ender, de Orson Scott Card una película: Doctor Zhivago un viaje: Egipto un color: Azul un plato de comida: Las lentejas una bebida: Agua fresca un deseo: Dejar un mundo un poco mejor a la generación que nos sigue (aproximaciones sucesivas) Autor de la caricatura: Enrique Morente Luque
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Historia de las matemáticas/Caricaturas de matemáticos españoles
Autor:Enrique Morente Luque
Nombre y Apellidos: Domingo Morales González Fecha y lugar de Nacimiento: 05-11-1958, Las Palmas de Gran Canaria. Datos Académicos (Licenciatura, Doctorado, Categoría, Universidad de Trabajo…): Licenciatura: Ciencias Matemáticas, Universidad Complutense de Madrid, 09-07-1980. Doctorado: Matemáticas (Estadística e Investigación Operativa), Universidad Complutense de Madrid, 28-04-1984. Categoría: Catedrático de Universidad (05-11-1998) Universidad de trabajo: Universidad Miguel Hernández de Elche. Área/s de Trabajo: Estadística, con líneas de investigación en (1) estimación en áreas pequeñas, (2) teoría de la información estadística, (3) estadística asintótica, (4) simulación y (5) muestreo. Cargos que ocupa o ha ocupado: Director del Centro de Investigación Operativa (Universidad Miguel Hernández de Elche). Secretario de la Sociedad de Estadística e Investigación Operativa. Presidente de la Sociedad de Estadística e Investigación Operativa. Vocal del Consejo Valenciano de Estadística. Editor asociado de las revistas TEST y Computational Statistics and Data Analysis. Premios: Premio "Ramiro Melendreras" concedido en la XV Congreso Nacional de Estadística e Investigación Operativa. Beca de la "Olimpiada de las Matemáticas" concedida por la Real Sociedad de Matemática Española. Premio a las nuevas ideas empresariales de la Fundación Empresa Universidad FUNDEUM de la Universidad de Alicante. Edición 2001. Aficiones personales: Senderismo, lectura. Si no hubiese sido matemático, ¿Qué le hubiese gustado ser?: Ingeniero. - Algunas preguntas rápidas: un matemático: Kolmogorov un resultado/teorema matemático: Teorema de factorización para estadísticos suficientes ¿qué resultado matemático le gustaría demostrar?: Deducir una aproximación de segundo orden del error cuadrático medio de estimadores EBLUP de parámetros lineales en modelos lineales mixtos con matriz de covarianzas de la variable de respuesta no diagonal a bloques un tipo de música: Jazz un libro: La fundación, de Isaac Asimov una película: 2001 Odisea en el Espacio un viaje: Una travesía de montaña de tres días un color: Azul un plato de comida: Sancocho Canario una bebida: Vino un deseo: Una universidad española con investigación de calidad Autor de la caricatura: Enrique Morente Luque
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Historia de las matemáticas/Caricaturas de matemáticos españoles
Autor:Enrique Morente Luque
Nombre y Apellidos: David Nualart Rodon Fecha y lugar de Nacimiento: Barcelona, 21 de Marzo de 1951. Datos Académicos (Licenciatura, Doctorado, Categoría, Universidad de Trabajo…): Licenciado en Ciencias (Sección de Matemáticas) por la Universidad de Barcelona en 1972. Doctor en Matemáticas por la Universidad de Barcelona en 1975. Profesor en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Kandas, USA desde 2005. Área/s de Trabajo: Procesos estocásticos. Cargos que ocupa o ha ocupado: Director del IMUB (Instituto de Matemáticas de la Universidad de Barcelona) 2001-04. Premios: Premio de la Real Academia de Ciencias de Madrid en 1991. Premio Iberdrola de Ciencia y Tecnología en 1999. Aficiones personales: Lectura, viajar. Si no hubiese sido matemático, ¿Qué le hubiese gustado ser?: Cocinero. - Algunas preguntas rápidas: un matemático: Paul Levy un resultado/teorema matemático: La fórmula de Ito ¿qué resultado matemático le gustaría demostrar?: La unicidad de solución fuerte para la ecuación del calor estocástica con  nolinealidad Holder un tipo de música: Jazz un libro: Los pilares de la tierra de Ken Follet una película: Volver de Almodóvar un viaje: El Caribe un color: Azul un plato de comida: La paella una bebida: Orujo Autor de la caricatura: Enrique Morente Luque
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Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos españoles
Autor:Mª Carmen Escribano Ródenas (Universidad CEU San Pablo)
Astrónomo y Matemático del final del primer milenio, el madrileño más antiguo de cuya referencia se tiene noticia. Formó una escuela científica en Córdoba, a la que acudían a oírle estudiosos de todo al-Andalus. Según algunos autores Maslama es el personaje más importante del mundo científico cordobés durante el califato y el padre de la posterior expansión y florecimiento de las Matemáticas en al-Andalus. Tanto sus obras como las de sus discípulos gozaron de gran fama y popularidad en todo el mundo árabe y latino de su época, y además tuvieron una importancia decisiva por servir de base, como astronomía esférica elemental proyectada sobre un plano, para la construcción del astrolabio esférico que llevaron  a cabo posteriormente los astrónomos de la corte del rey Alfonso X el Sabio. VIDA Y ACTIVIDAD DE MASLAMA Abu-l-Qasim Maslama b. Ahmad al-Faradi al-Mayriti nació en Madrid, a mediados del siglo X, y murió en Córdoba hacia el año 1.007. Los datos reflejados en las fuentes historiográficas que lo citan son un tanto escuetos en cuanto a su vida, aunque sí nos pueden servir para ver el reconocido prestigio del que gozaba. Como ejemplo merece la pena citar las palabras del escritor cordobés Ibn Hazm en su Epístola Apologética de al-Andalus, donde se puede resaltar la importancia de Maslama: “…carezco de autoridad y conocimientos en lo que se refiere a la aritmética y la geometría y por tanto no puedo fiarme de mis conocimientos para distinguir qué autores son buenos o mediocres entre los que habitan nuestra patria. A pesar de ello, he oído decir a un sabio de cuya inteligencia y buena fe fío y al que se le considera muy competente en esta materia que, en cuanto a Tablas astronómicas no hay iguales a las de Maslama e Ibn al-Samh y ambos autores son nuestros compatriotas.” Siendo muy joven deja su Madrid natal y se instala en Córdoba, en donde fue discípulo del famoso geómetra Abd al Gafir b. Muhammad, y del matemático y astrónomo Abu Bakr b. Abi Isa, al tiempo que sostenía relación con el núcleo de científicos cordobeses introductores de la ciencia helenística en al-Andalus durante la época de Abd al-Rahman III al Nasr,  lo que le permitió el acceso y traducción de textos griegos, en particular de Ptolomeo, dato de sumo interés que precisa el valor y el nivel científico de Maslama. Su fama llegó a ser muy extendida en la segunda mitad del siglo X, durante los reinados de los califas al-Hakam II y Hisam II, y es muy probable que esta popularidad le llevara a ser elegido para ejercer de astrólogo en la corte cordobesa. Lo que sí es cierto es que, alrededor suyo se formó una verdadera escuela científica, acudiendo para oírle estudiosos de todo al-Andalus, consiguiendo esta dispersión geográfica de sus alumnos que sus conocimientos llegaran a todos los centros de enseñanza andalusíes, facilitándose de este modo el desarrollo del saber matemático. Tal y como afirman J. Vernet y M.A. Catalá, se puede decir que Maslama es el personaje más importante del mundo científico cordobés durante el califato y el padre de la posterior expansión y florecimiento de las Matemáticas en al-Andalus. La información que proporciona en su Tabaqat, el cadí Said de Toledo (1029-1070, autor de una verdadera historia universal de la ciencia), sobre los discípulos de Maslama, y los discípulos a su vez de éstos, permite establecer una verdadera escuela de astrónomos y matemáticos andalusíes, que además de la Astronomía cultivan la Aritmética y la Geometría. Según el profesor Julio Samsó, Maslama se interesó por la conjunción de Saturno y Júpiter que tuvo lugar en el año 1006/1007 e implicó un cambio de triplicidad ya que se inició en Leo (signo de fuego) y continuó en Virgo (signo de tierra) y a raíz de esta conjunción, y análogamente a otras varias interpretaciones astrológicas de ilustres contemporáneos, Maslama predijo un cambio de dinastía, ruina, matanzas y hambre, pero no vivió lo suficiente como para comprobar su predicción, ya que murió en el año 1007. En realidad, entre los años 1009 y 1011 estalla una etapa de guerras civiles (fitna) que dura hasta el año 1031, termina el califato y comienza la etapa de los reinos de Taifas. De los aciertos y logros científicos de nuestro biografiado Maslama, citaremos: La determinación de la longitud celeste de la estrella denominada hoy Régulo, denominada en las fuentes Calbalazada. Maslama fue el primer astrónomo andalusí que consiguió su longitud (135;40º). La adaptación de las tablas astronómicas de los orientales al-Jwarizmi y al Battani al meridiano de Córdoba, reduciendo los años persas a árabes y determinando las posiciones medias de los planetas para el primer día de la Hégira. Los años persas eran de 365 días, y su fecha radix para el cómputo era el principio de la era del último monarca sasánida, Yezdeguerd III (año 632), en cambio las tablas de Maslama y sus discípulos utilizan el año lunar musulmán, de 354 ó 355 días, y su fecha de referencia (radix) es el principio de la Hégira (año 622). Estas tablas, según los últimos estudios son mucho más sencillas de utilizar y dan resultados más precisos que las tablas de los orientales, que sólo conseguían aproximaciones en ciertas ocasiones. La realización de un manual de aritmética mercantil para uso popular. La traducción del “Planisferio” de Ptolomeo, obra perdida que hoy conocemos gracias a que sirvió para posteriores traducciones al latín y hebreo, que son las que nos han llegado (se cree que Maslama conoció al monje bizantino Nicolás, que se encontraba por aquella época en Córdoba traduciendo la Materia Médica de Dioscórides, y que aprendió de él griego, lo que hizo posible la traducción de esta obra) y, particularmente. La introducción de nuevas técnicas para la construcción de astrolabios, basadas ya en modelos ptolomeicos. Con los comentarios que Maslama hace de la obra de Ptolomeo, se dan tres procedimientos de trazado originales de Maslama que completan los dos dados por Ptolomeo para dividir la eclíptica del astrolabio, otros tres nuevos procedimientos para dividir la proyección del horizonte, y otros tres procedimientos para proyectar las estrellas fijas usando coordenadas eclípticas, coordenadas ecuatoriales y coordenadas horizontales. También determina la ascensión recta de cada signo zodiacal y la declinación de los astros. No se tiene constancia, ni se puede asegurar que Maslama realizase ningún tratado sobre la construcción del astrolabio, lo que sí se ha conseguido deducir es que las técnicas descritas por Maslama, así como las tablas de coordenadas estelares, han servido para que sus discípulos realizasen tratados sobre el uso del astrolabio y sobre la construcción del mismo. Estos tratados, algunos de ellos breves y prácticos, y otros más voluminosos, gozaron de gran fama y popularidad en el mundo árabe y latino de la época, haciendo que sirvieran de base (como astronomía esférica elemental proyectada sobre un plano) para la construcción del astrolabio esférico que llevaron  a cabo posteriormente los astrónomos de la corte del rey Alfonso X el Sabio. LEGADO CIENTÍFICO DE MASLAMA A pesar de la controversia entre los estudiosos del tema, por confusión con los manuscritos del otro Maslama, Abu Maslama Muhammad al Mayriti, quien se dedicó sobre todo a la Alquimia y a las Ciencias Naturales,  parece ser que la nómina definitiva de sus obras es la que se indica a continuación: Al Mu´amalat, libro de aritmética mercantil que, según Ibn Jaldun, trataba de ventas, catastros, impuestos, etc. Y en el que se utilizaban indistintamente procedimientos geométricos, aritméticos y algebraicos. En el siglo XII, Johannes Hispalensis realiza una traducción al latín dela obra Al-Mu’amalat de Maslama o de sus discípulos Ibn al-Samh, y al-Zahrawi, con el título Liber mahameleth. Este libro tiene una parte teórica donde se trata la teoría de las proporciones y de las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división y raíz cuadrada) y donde se dan buenos procedimientos para obtener aproximaciones a raíces cuadradas inexactas. También se dan referencias a la resolución de ecuaciones de primero y segundo grado. Al final de la obra hay una extensa colección de problemas sobre compra y venta de mercaderías, contratación de obreros, distribución y preparación de alimentos y cambio de monedas. Algunos de éstos problemas, como por ejemplo el problema de la escalera, tiene una larga historia, ya que se plantea por primera vez en textos matemáticos babilonios. Esta obra se corresponde con lo que es factible que se conociera en la segunda mitad del siglo X en al-Andalus: Euclides, Arquímedes, Nicómaco de Gerasa, al-Jwarizmi y Abu Kamil. Un tratado de astrolabio, breve, que durante mucho tiempo se ha confundido con el escrito por Ibn al-Saffar, en donde se describe la construcción técnica y el uso de este instrumento. El manuscrito se encuentra en la Biblioteca Nacional de París y ha sido catalogado por BAJDA, M.G. (1.957), Répertoire des catalogues et inventaire des manuscrits arabes, París, vol. 25, pág. 8 y traducido y editado por VERNET, J. y CATALÁ, M.A. (1.965), “Las obras matemáticas de Maslama de Madrid”, Al-Andalus, vol.XXX, págs. 15 – 47. Una adaptación de las Tablas pequeñas astronómicas de al-Jwarizmi al meridiano de Córdoba y a la Hégira. Estas tablas fueron corregidas por el cadi Said en un libro que éste escribió de Astronomía, y donde fue mencionando los errores de Maslama en la nueva edición de las tablas de al-Jwarizmi. Adaptación de las Tablas astronómicas de al-Battani, igualmente al tiempo y al espacio cordobés. Han sido editadas por NALLINO, C.A. (1.899-1.907), Al-Battani sive Albatennii opues astronomicum, Milán, vol. II, págs. 300-303; su uso y posterior influencia ha sido demostrado por Millás. Al-Shakl al qatta, notas al teorema de Menelao, en donde aborda soluciones para el problema de paso entre coordenadas celestes, coordenadas ecuatoriales y coordenadas horizontales, utilizando para ello la trigonometría esférica, manejando exclusivamente una tabla de senos y resolviendo sólo triángulos esféricos rectángulos. Esta obra ha sido estudiada por VILLUENDAS, M.V. (1.979), La trigonometría europea en el siglo XI, Barcelona. Tastih basit al kura, traducción del “Planisferio” de Ptolomeo al árabe. Perdido el manuscrito, la labor de Maslama se ha conservado gracias a una versión al latín que hizo de la misma Hermann el Dálmata en 1.143 y editada en Bàle en 1.536 y en Venecia en el año 1.558, y a otra versión en hebreo, cuyo manuscrito se conserva en París y que contiene los comentarios consignados por Maslama. En el siglo XIV, el gran al-Shatir, enel prólogo de su obra Nihayat al-sul, cita a Maslama como uno de los pocos autores que se habían atrevido a criticar a Ptolomeo. Una obra de astronomía, utilizada por al Maydi, de acuerdo con las indicaciones de Sezgin. DISCÍPULOS DE MASLAMA La escuela de Maslama es un hecho importante, pues los estudiosos venían a escucharle desde bastante distancia, y las obras de sus discípulos astrónomos y matemáticos fueron muy relevantes en toda la Edad Media. De entre los personajes famosos que fueron discípulos suyos directos, mencionaremos a: Abu Bakr Yahya B. Ahmad (Ibn al-Jayyat) (980-?), Abu-l-kasim Asbag B.Muhammad al Garnatí Ibn al-Samh (980-1035), Abu Abd Allah Muhamed B. Safar al-Qurtubi (¿-1035), Abu-l-Hasan Ali B. Sulayman al-Zahrawi, Abu Muslim Omar B. Ahmad B. Jaldun al-Jadrami (¿-1057), Al-Kirmani (¿-1.066), Abu Utman Said B. Muhammad al-Tulaytuli (Benalbagones). BIBLIOGRAFÍA DJEBBAR, A. (1992): “Las matemáticas en al-Andalus a través de las actividades de tres sabios del siglo XI”, en  El legado científico andalusí. Madrid. ESCRIBANO RÓDENAS, M.C. (Coord.)(2000): Matemáticos madrileños. Ed. Anaya. Madrid. ESCRIBANO RÓDENAS, M.C. y MARTOS QUESADA, J. (1998): “Las Matemáticas en al-Ándalus: Fuentes y Bibliografía para el estudio del matemático y astrónomo árabe madrileño Maslama”,  en Estudios de Historia de las Técnicas, la Arqueología Industrial y las Ciencias, Actas del VI congreso de la Sociedad Española de Historia de las Ciencias y de las Técnicas, Segovia-La Granja 9-13 Septiembre 1.996 , Segovia. MARTOS QUESADA, J. (2001): “Los estudios sobre el desarrollo de las matemáticas en al-Andalus: estado actual de la cuestión”,Pág. 269-293, en DYNAMIS. Acta Hisp. Med. Sci. Hist. Illus. vol.21. Seccion Monográfica Medicina y Ciencia en al-Andalus. Universidad de Granada. MARTOS QUESADA, Juan (2001): “El matemático andalusí Ibn al-Samh, posible autor de un manuscrito de aritméticadepositado en El Escorial”, en Anaquel de Estudios Árabes, 12 Págs. 429-442. MARTOS QUESADA, Juan (2005): “La actividad científica en la España musulmana” en Hesperia Culturas del Mediterráneo, 2, 137-164. MARTOS QUESADA, Juan (2006): “La ciencia matemática árabe”, prólogo al libro de Ibn al Samh, Compendio del Cálculo, Ed. Nivola. Madrid, 2006,   Págs. 9-46. MILLÁS, J.M. (1943-1950): Estudios sobre Azarquiel, Madrid-Granada. MILLÁS, J.M. (1955): “Los primeros tratados de astrolabio en la España árabe”,  en Revista del Instituto Egipcio de Estudios Islámicos, vol. III, págs. 35-49. MILLÁS, J.M. (1991): Nuevos Estudios sobre Historia de la Ciencia Española, Madrid. NORTH, J.D. (1962): “Tablas astronómicas en al-Andalus”, en El legado andalusí, Madrid, págs. 39-40. OLIVER ASÍN, J. (1951): “El ambiente cultural y militar del Madrid musulmán”, en Revista de Archivos, Bibliotecas y Museos, Madrid, vol. XX, págs. 259-288. SAMSÓ, J. (1980): “Maslama al Majrit and the Alphonsine Book on the construction of the astrolabe”, en Journal for the History of Arabic Science, vol. IV, págs. 3-8. SAMSÓ, J. (1992): “Astronomía teórica en al-Andalus”, en El legado Andalusí, Madrid. SAMSÓ, J. (1992): Las ciencias de los antiguos en al-Andalus, Madrid. SANCHEZ PÉREZ, J.A. (1921): Biografías de matemáticos árabes que florecieron en España, Madrid. SEZGIN, M.F. (1970): Geschichte der Arabischen Schriftums, Leiden, vol. V, pág. 334, vol VI, pág. 226. VERA, F. (1932): “El matemático madrileño Maslama Benahmed”, en Revista de Archivo, Biblioteca y Museo del Ayuntamiento de Madrid, vol. IX, págs. 135-149. VERNET, J. (1986): La ciencia en al-Andalus, Sevilla. VERNET, J. (1978): La cultura hispanoárabe en Oriente y Occidente, Barcelona. VERNET, J. (1976): Historia de la ciencia española, Valencia. VERNET, J. y SAMSÓ, J. (1981): “Panorama de la ciencia andalusí en el siglo XI”,  en Actas de las Jornadas de cultura  árabe e islámica 1978, Madrid, págs. 135-164. VERNET, J. y CATALÁ, M.A. (1965): ”Las obras matemáticas de Maslama de Madrid”, en al-Andalus, vol. XXX, págs. 15-45. VERNET, J. (1967) : « Al-Madjriti », en  Encyclopédie de l´Islam, Leiden, vol. V. VILADRICH, M. (1992): “Astrolabios andalusíes”, en El legado andalusí, Madrid. VILLUENDAS, M.V. (1979): La trigonometría europea en el siglo XI, Barcelona.
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Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos españoles
Autor:Javier Peralta (Universidad Autónoma de Madrid)
En 1857, con la Ley Moyano, se crean en España las Facultades de Ciencias (hasta entonces, el estudio de Matemáticas y demás Ciencias se realizaba en las Facultades de Filosofía); lo que unido a otras medidas tomadas en los años precedentes habría de favorecer el desarrollo de nuestra matemática, que entonces se encontraba en un considerable retraso. También en 1857, el día 2 de septiembre nace en Madrid Luis Octavio de Toledo y Zulueta, en el seno de una familia culta (su padre era archivero-bibliotecario); y fallecería en esta misma ciudad, tras una larga y penosa enfermedad, el 18 de febrero de 1934. De las cinco hijas y dos hijos que tuvo, estos dos últimos, militares, murieron muy jóvenes –uno de ellos a los 25 años, a causa de una enfermedad contraída durante su destino castrense en África, y el otro a los 34 años, en combate con Marruecos-, lo que le produciría una gran amargura y un importante deterioro físico. Octavio de Toledo estudia la segunda enseñanza en Madrid, en el Colegio Hispano-Romano de Nuestra Señora de la Esparanza y en el Instituto San Isidro, y cursa Ciencias Exactas en la Facultad de Ciencias de la Universidad Central. De sus profesores de la licenciatura y doctorado (Eduardo Torroja, Agustín Monreal, Emilio Ruiz de Salazar, Antonio Aguilar ...) puede decirse que, aunque generalmente competentes, prácticamente ninguno de ellos, salvo Torroja, realizó progreso científico alguno en la matemática de su época, limitándose a enseñar la matemática francesa de los textos de Girodde, Rouché, etc. En 1882 gana por oposición la cátedra de Matemáticas del Instituto de León, en 1890 la de Geometría analítica de la Universidad de Sevilla, en 1893 es nombrado catedrático de Análisis matemático de la Universidad de Zaragoza y en 1898 obtiene la cátedra de esta misma disciplina en la Universidad Central, en la que permanece hasta el término de su vida académica. En 1917 accede al Decanato de la Facultad de Ciencias, cargo que desempeña durante catorce años (incluso después de cumplir la edad reglamentaria de jubilación, en 1929. Ocuparía también los puestos de vicepresidente y presidente de la sección de Matemáticas de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias, en cuyo primer congreso (Zaragoza, 1908) se crea una comisión formada por Benítez, Jiménez Rueda, Rey Pastor y Octavio de Toledo, que culminará con la creación de la Sociedad Matemática Española en 1911. El importante papel que juega este último en el nacimiento de la Sociedad prosigue igualmente una vez constituida; así, en 1919 es nombrado vicepresidente de la misma y en 1924 presidente efectivo, cargo en el que continuará hasta su fallecimiento. En 1912 es elegido miembro numerario de la Real Academia de Ciencias, de la que toma posesión en 1914, con el discurso titulado Algunos de los descubrimientos realizados en la teoría y resolución de ecuaciones durante el siglo XIX. En él analiza las dos vertientes fundamentales de la resolución de ecuaciones: algebraica y numérica, destacando de forma especial las contribuciones de Abel y Galois, relativas al primer enfoque, y de Sturm y Gräffe, en relación con el segundo. En cuanto a su producción científica, mencionemos en primer lugar sus libros: Elementos de la teoría de formas (1889); Elementos de Aritmética Universal I: Calculatoria (1900-1902) y II: Coordinatoria. Determinantes. Algoritmos ilimitados (1916); Tratado de Álgebra (1905); Tratado de Trigonometría rectilínea y esférica (1905) y Elementos de Análisis Matemático I. Introducción al estudio de funciones de variable compleja (1907). Los más destacables de ellos por su repercusión en la matemática española posiblemente sean la obra que encabeza la relación, que puede considerarse como la primera en que es tratado este tema por un autor español; Elementos de Aritmética Universal, de gran éxito editorial, que introduce en nuestro país la teoría de números inconmensurables con el recurso de los conjuntos y el texto de Funciones de variable compleja, aunque sobre este tema ya hubiera escrito García de Galdeano. Los restantes libros, si bien tuvieron varias ediciones y fueron estudiados por numerosos universitarios (especialmente el Tratado de Trigonometría), no aportan novedades a nuestras matemáticas. Respecto de sus artículos puramente de investigación matemática, sus contribuciones no son muy numerosas, aunque están publicados en las mejores revistas matemáticas nacionales de entonces: El Progreso Matemático, Revista de la Sociedad Matemática Española ... Algunas de tales aportaciones son: “Teoría formal de las progresiones”, “Propiedades del Wronskiano”, “Una lección acerca de las series dobles”, etc.; que no nos parece sean especialmente creativas. Sin embargo, a las anteriores publicaciones habría que que añadir muchas otras histórico-biográficas, bibliográficas y sobre enseñanza de las matemáticas. De las últimas hay que reseñar en particular los trabajos expuestos en el III Congreso Internacional de Matemáticos (Heidelberg, 1904) y también en su V Congreso (Cambridge, 1912), en el cual Octavio presenta una memoria –de la que es uno de los autores- sobre la situación matemática en nuestro país (para que pudiera asistir al mismo, la Junta de Ampliación de Estudios le concedió una beca de 750 pesetas). También tendrían que sumarse numerosas recensiones; notas bibliográficas, necrológicas e informativas aparecidas en la Revista de la Sociedad Matemática Española; etc. Todo ello, junto a su propuesta realizada en el primer número de la Gaceta de Matemáticas Elementales (1903) para la elaboración de versiones españolas de algunas de las grandes obras matemáticas extranjeras, contribuiría de manera importante a dinamizar nuestra comunidad matemática. Su obra científica posiblemente pueda ser resumida en las siguientes líneas debidas a Barinaga, su sucesor en la cátedra: “... no fue un matemático investigador. Ni pretendió serlo jamás. Le interesaba más perseguir la verdad ya descubierta, a través de la Historia, esparcirla por medio de la enseñanza y facilitar el perfeccionamiento del conocimiento divulgando la bibliografía”. Aunque para tener una imagen más completa de Octavio de Toledo, probablemente debiéramos mencionar también una característica humana de su personalidad: su condición de hombre de bien. Para finalizar, digamos respecto de su ubicación histórica, que su existencia transcurrió durante un periodo en el que España experimentó una notable renovación cultural, que igualmente irrumpió en el campo de las matemáticas. Así, el nacimiento de Octavio de Toledo tiene lugar en los años en los que empieza a notarse en España la influencia del krausismo, el inicio de su juventud coincide en el tiempo con el estado de liberalización intelectual que acompaña a la Revolución de 1868 y a todo el sexenio democrático; y su vida posterior se desenvuelve bajo la influencia que ejercen en el pensamiento español la Institución Libre de Enseñanza y el movimiento de regeneración nacional surgido a finales del siglo XIX (Crisis del 98). Del mismo modo, el destacado papel que juega nuestro ilustre personaje en el panorama matemático del país, también se corresponde con una de nuestras etapas de mayor progreso humanístico y científico: el primer tercio del siglo XX (la Edad de Plata de la cultura española); y su fallecimiento, cuando nuestro nivel matemático ya era prácticamente homologable al de muchos países europeos, es casi coincidente con el comienzo del profundo parón científico ocasionado por el lamentable episodio de la Guerra Civil. BIBLIOGRAFÍA BARINAGA, J. (1934). “D. Luis Octavio de Toledo y Zulueta”. Anales de la Universidad de Madrid, Tomo III (Ciencias), 1-8. El Progreso Matemático. Tomo I (1899), 2ª serie. Zaragoza. ETAYO, J. J. (1987). “75 años de vida matemática” (conferencia de clausura), en Actas de las XI Jornadas Hispano-Lusas de Matemáticas, Vol. I, 1986. Badajoz: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura, 23-42. Gaceta de Matemáticas Elementales. Tomos I y II (1903-1904). Vitoria. OCTAVIO DE TOLEDO, L. (1907). Estudios de Análisis Matemático I. Introducción al estudio de funciones de variable compleja. Madrid: Viuda e hijos de Murillo. (1914). Algunos de los descubrimientos realizados en la teoría y resolución de ecuaciones durante el siglo XIX. Discurso de recepción. Madrid: Real Academia de Ciencias. (1932). Tratado de Trigonometría rectilínea y esférica, 5ª edición, 2ª tirada. Madrid: Librería General de Eusebio Fernández. Artículos y notas publicados en las revistas reseñadas en esta Bibliografía. PERALTA, J. (1999). La matemática española y la crisis de finales del siglo XIX. Madrid: Nivola. (2000). “La Matemática madrileña en el panorama español de 1800 a 1936”, en Matemáticos Madrileños. Madrid: Anaya, 183-230. (2003). “Octavio de Toledo y la Matemática de su tiempo”, en Actas del IV Simposio “Ciencia y Técnica en España de 1898 a 1945”: Cabrera, Cajal, Torres Quevedo, 2002, Lanzarote: Amigos de la Cultura Científica (aparecerá próximamente) Revista de la Sociedad Matemática Eapañola. Tomos I a VI (1911-1917). Madrid. Revista Matemática Hispano-Americana. Tomos I a V (1919-1924), 1ª serie; I a VIII (1926-1933), 2ª serie. Madrid. SÁNCHEZ PÉREZ, J. A. (1934). “Don Luis Octavio de Toledo y Zulueta”. Revista Matemática Hispano- Americana, 2ª serie, IX, 49-53.
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Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos españoles
Autor:Joaquín Hernández Gómez
Nació Puig Adam en Barcelona, el 12 de mayo de 1900. Parece que esto le hacía ilusión porque siempre que hablaba de su edad añadía "yo voy con el siglo". Debió ser un niño seriecito y obediente -educado en el rigor de la época-, que siempre habló de usted a su padre, de tú a su madre y bastante listo: para entenderse con su abuelo Faustino, que era sordomudo, aprendió a expresarse con el alfabeto de las manos y, con su facilidad para asimilar todo lo que se pusiera por delante, fue avanzando en el conocimiento del francés hasta tal punto que su padre decidió enviarle a un internado en Lyon, allá por marzo de 1908 hasta junio de 1909 y donde volvería otra vez, de mayo a octubre de 1912. Hizo bachillerato en el único instituto que había entonces en Barcelona, acabándolo con premio extraordinario. Ingresó en la Escuela de Ingenieros Industriales de Barcelona simultaneando los dos primeros cursos de ingeniería con los tres primeros años en la Facultad de Matemáticas. Al terminar la licenciatura, también con premio extraordinario, pasó a cursar el doctorado en Madrid, donde conoció a Rey Pastor, de quien fue primero discípulo y luego amigo y colaborador. Con su tesis doctoral Resolución de algunos problemas elementales en Mecánica Relativista Restringida obtuvo de nuevo premio extraordinario. "Por cierto -dice el profesor Torroja Miret en su contestación al discurso de Ingreso de Puig Adam en la Real Academia de las Ciencias- el calificativo de elementales aplicado a los problemas estudiados en este trabajo y que nada, en verdad, exigía hacer constatar en su título, es una muestra, entre tantas, de aquella cualidad que he señalado en nuestro nuevo compañero y que tan simpático me le hizo cuando estudiaba: su innata modestia". Continuó los estudios de Ingeniería -que había interrumpido- pero por breve tiempo, pues a los veinticinco años, atraído por la docencia, obtuvo la cátedra de Matemáticas en el Instituto San Isidro de Madrid. La lucha fue dura, porque hubo hasta veinte contrincantes, en su mayoría ya catedráticos de Instituto. A raíz de este triunfo, Rey Pastor le propuso colaborar con él en la redacción de libros de Matemáticas para el Bachillerato, que constituyeron durante muchos años la base de las enseñanzas en este nivel. Siendo ya catedrático del San Isidro terminó en Madrid sus estudios de Ingeniería Industrial en 1931. Era admirador de la obra del Institut-Escola, institución de la Generalitat, fundada por el doctor Estalella en la Barcelona republicana, con quien había tenido su primer contacto por una carta entusiasta que éste le escribió con motivo de la publicación, con Rey Pastor, del primer libro que sobre matemática elemental escribieron ambos. Durante la guerra civil marchó a Barcelona, quedándose allí tras acabar la guerra para salvar lo que se pudiera de la obra pedagógica del doctor Estalella y de su Institut-Escola, tras su fallecimiento en 1938. Pero sólo pudo aportar sus esfuerzos para disminuir los efectos de la represión que se cernió sobre profesores y alumnos y abandonó, desilusionado, su proyecto regresando a Madrid, al San Isidro, y a su docencia en la Escuela de Ingenieros Industriales en la que en 1934 había sido nombrado profesor adjunto de Análisis Matemático y en la que en 1946, obtuvo la cátedra de Cálculo. La estimación y el respeto a que iba haciendo acreedor Puig Adam a través de estos años le llevaron a ocupar un sillón de miembro numerario en la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, sustituyendo a su maestro y amigo Don Esteban Terradas y en la que, con motivo de su recepción en marzo de 1952, leyó un discurso de ingreso sobre Matemáticas y Cibernética. Sus aportaciones a la didáctica de las Matemáticas, junto a su impresionante capacidad de trabajo, le llevaron, desde 1955 hasta su muerte en 1960, a participar activamente en la Comisión Internacional para el estudio y mejora de la enseñanza matemática y a formar parte desde 1956, del comité que presidido por Piaget redactó las Recomendaciones para la enseñanza de la Matemáticas, así como a organizar, en 1957, la Exposición Internacional de Material Didáctico y Matemático, celebrada en Madrid. Esta biografía estaría tremendamente coja si no hiciéramos una pequeña incursión en alguna de las vertientes que sobre la vocación de matemático se pueden distinguir en la obra de Puig Adam. Como matemático aplicado, podríamos citar muy diversos trabajos y artículos en los que se refleja su visión de las Matemáticas "que aun siendo de naturaleza abstracta, no deben desligarse nunca del juego de abstracciones y concreciones que, por una parte las originan y, por otra, les dan aplicación so pena de perder lo más importante de su valor educativo e incluso de hacerse estériles para su evolución posterior". Entre ellos, uno que le causó especial satisfacción -según relato de su hija- fue Sobre la estabilidad del movimiento de las palas del autogiro (Revista de Aeronáutica, 1934) en la que respondió al problema que le planteó personalmente el ingeniero Juan de la Cierva, que tenía en construcción un modelo de autogiro para velocidades mayores que las ya ensayadas y en el que le propuso la estabilidad del movimiento de las palas del mismo, expresado por una ecuación diferencial lineal, homogénea y de coeficientes periódicos. Puig Adam resolvió el problema en colaboración con sus alumnos de la Escuela Superior Aerotécnica, aplicando métodos numéricos de Runge y gráficos de Meissner, encontrando resultados que confirmaban plenamente las intuiciones de De la Cierva. Pero, en palabras de su compañero, el profesor Femández Biarge, Quizás la parte más original de su obra científica la constituyen sus trabajos sobre Fracciones Continuas de cocientes incompletos diferenciales, publicados en los años 1951 a 1953. Estos trabajos fueron inspirados, en perfecta consonancia con las directrices que se observan en toda su obra, por un problema de índole técnica: la impedancia de una línea eléctrica con autoinducción y capacidad repartidas en forma continua a lo largo de ella. Generalizando el paso al límite de una función de partición que conduce a la definición de la integral de Riemann, construye otra función de partición aplicando a las diferenciales de dos funciones dadas el algoritmo de las fracciones continuas. Obtiene así, por paso al límite, un funcional de la pareja de funciones citadas que resuelve el problema de partida. Este funcional no lineal tiene interesantes propiedades, y así como la integral de Riemann resuelve la ecuación diferencial consistente en la obtención de la primitiva de una función, el nuevo funcional resuelve la ecuación de Riccati. Cualquier semblanza sobre la figura de Puig Adam tiene que reflejar su aportación pedagógica. Copio de una conferencia que, con motivo del 25 aniversario de su muerte pronunció el doctor Mariano Yela, miembro de la Real Academia de Ciencias Morales y Políticas: Estamos en 1940. En un aula fría y destartalada del Instituto San Isidro, unos cien muchachos de sexto curso esperamos nuestra primera clase de matemáticas. Entra Don Pedro [...] y se ve, tras sus gafas, la mirada chispeante, ingeniosa, acogedora, ingenua, casi infantil. Se inicia la clase. Primera sorpresa: Don Pedro no explica, no escribe ninguna fórmula en la pizarra. Habla con nosotros como un amigo mayor. Pregunta a varios qué es la matemática. Pide a algunos que recojan y resuman las contestaciones. Los demás las revisan y discuten. Poco a poco, la clase se anima; todos intervenimos. Nos olvidamos de que estamos en clase, nos ponemos gozosamente a pensar. De pronto, Don Pedro lanza una pregunta sorprendente: ¿Creéis que hay dos españoles con el mismo número de pelos en la cabeza? Todos queremos hablar. Nos parece que no; algunos creen que podría darse el caso, pero que sería mucha casualidad. Entonces, Don Pedro nos va ayudando a reinventar la matemática, a percatarnos de lo que es y para qué sirve [...] Se acaba la clase. ¿Serán todas así? Con mil variantes, sí lo fueron. Puig Adam fue un revolucionario. O, si a alguien le parece muy fuerte, un adelantado de su época. Una persona que, en 1921, en su tesis doctoral, trata problemas de Mecánica Relativista Restringida, cuando las teorías de Einstein, aún no bien comprendidas en muchos medios científicos, eran conocidas por muy pocos en España. Una persona que en su discurso de ingreso en la Real Academia de Ciencias, en 1952, cita a Norbert Wiener y da las primeras aplicaciones de las máquinas que después llamaremos ordenadores. Pero donde de verdad se ve que era un hombre de otra época es en su concepción de la enseñanza. Toda su teoría didáctica chocaba con la pomposidad y el conservadurismo de la práctica docente de sus compañeros. En 1953 decía: ...la formación del profesorado de Enseñanza Media había fomentado inconscientemente la falsa idea de que el Instituto era una Universidad en pequeño [...] ¡Cuánto camino había que recorrer (y falta por recorrer todavía en muchos centros) hasta llegar a la clase taller, a la cátedra sin estrado, a la cátedra sin cátedra, en la que el profesor , sin lugar especial para sí, está sin embargo en todas partes!. O, en 1957: Se ha tardado no poco en tener conciencia clara de que el acto de aprender es mucho más complicado que lo que supone la recepción pasiva de conocimientos transmitidos; que no hay aprendizaje donde no hay acción y que, en definitiva, enseñar bien ya no es transmitir bien, sino saber guiar al alumno en su acción de aprendizaje. Esta acción del alumno ha terminado así primando sobre la acción del maestro, condicionándola totalmente y subvirtiendo así la primacía inicial de sus papeles. El centro de atención de la enseñanza ya no es hoy el maestro, sino el alumno. Rotunda verdad que, de puro sencilla, muchos maestros no han asimilado todavía. Todo esto, hace más de cuarenta años. Es necesario citar que, al margen de toda esta labor, "el descanso -decía- consiste en cambiar de trabajo", Puig Adam componía música, era pintor y, a veces, componía versos. Pero este polifacetismo obedecía, casi, a una forma de encarar la vida. En una charla a sus alumnos de 7º curso del Instituto San Isidro, cuando ya abandonaban la enseñanza media, les decía: "Tended a ser un poco aprendices de todo, para vuestro bien, y al menos, maestros en algo, para bien de los demás". Bibliografía [1] Discursos pronunciados en la "Sesión necrológica en memoria del Excmo. Sr. Don Pedro Puig Adam" (Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. (16.01.85). [2] Discurso leído en el acto de recepción por D. Pedro Puig Adam en la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales y Contestación a cargo del Excmo. Sr. Don Antonio Torroja Miret (5.03.52). [3] Nueva Revista de Enseñanzas Medias. Nº 7. "Didáctica de las Matemáticas (Homenaje a D. Pedro Puig Adam)", Madrid, 1985. [4] La Matemática y su Enseñanza Actual. Publicaciones de "Enseñanza Media". Madrid, 1960.
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Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos españoles
Autor:José M. Cobos Bueno (Universidad de Extremadura)
Siempre es difícil acercarse a un personaje y en particular cuando éste es tan controvertido. Así como su trayectoria científica es diáfana, su perfil humano no admite un único dibujo. Depende del autor de su aproximación. Así, su discípulo San Juan dirá: "Todos en Toledo queríamos a D. Ventura; sabíamos de su bondad y caridad llevada al más absoluto olvido de sí mismo; daba todo." Cobo lo expresará: “Extrañable don Ventura! Pintoresco e inolvidable. Después de tanta reflexión y tanto dato acumulado, queda la sensación de algo inasible, que se escapa tenaz, una y mil veces, a nuestras indiscretas miradas. Contra la tosca frase de Urabayen (“¡la corteza, sólo es bella la corteza!”) exclamamos: uno de esos espíritus amables que llenan de animación y vida el recuerdo de una época”. Dicho lo anterior, Ventura Reyes nace en Castuera el 31 de mayo de 1863 y muere en Madrid el 27 de noviembre de 1922. Fue de los pocos, quizás también García de Galdeano, que mantuvo correspondencia y amistad con muchos científicos extranjeros en el último tercio del siglo XIX y principios del XX. Estudia la carrera de Ciencias Naturales en la Universidad de Madrid, donde cursa el doctorado; obteniendo en ambos títulos la calificación de Premio Extraordinario. Su trabajo de Tesis se tituló: Catálogo de las aves de España, Portugal e Islas Baleares. Pero es, sin lugar a dudas, en Matemática donde brilla con luz propia, y habría que encajarlo como uno de los matemáticos españoles mejores de su época. En 1887 acompaña a su hermano Eduardo (Catedrático de Botánica de la Universidad Complutense) a un viaje a Alemania y traba amistad duradera con F. Klein y Ferdinand Lindermann, investigadores alemanes en Lógica Matemática, así como en Geometrías no-Euclídeas. Asimismo, como él reconoce, su interés por la Lógica se despertó después de leer una obra de Shröder. Ventura Reyes Prósper destaca en dos campos de las matemáticas que se estaban “construyendo” en ese momento: Lógica Matemática, (estudiado por del Val) y Geometrías no-Euclídeas (estudiado por Cobos) Pues bien, Reyes Prósper, es de los primeros en introducir la Lógica en España, a pesar de que se dice que Cortázar tenía unos apuntes sobre lógica matemática “que es posible vean la luz pública algún día”. Pero el hecho cierto es que Ventura Reyes Prósper publica en El Progreso Matemático entre 1891 y 1894, siete trabajos sobre el tema. A la vez desde 1887 a 1910 publica diez trabajos sobre Geometría, dos de los cuales publica en la prestigiosa revista Alemana Matematische Annalen, -por los datos que se poseen es el primer español que publica en una revista extranjera- uno en el Bulletin de la Societé physico-mathematique de Kasan (Rusia), otro en The Educacional Time (Londres), dos en Archivos de Matemáticas puras y aplicadas (Valencia), cinco en El Progreso Matemático y uno en la Revista Matemática Hispano-Americana. También escribe trabajos sobre Biografías de matemáticos ilustres [5]. Así en 1893 le dedica tal trabajo a Nicolás Ivanovich Lobachefski en El Progreso Matemático. En el mismo medio y en 1894 es a Wolfgang y Janos Bolyai (padre e hijo). A la obra científica de Seki y sus discípulos -da un repaso histórico a la matemática en el Japón- le dedica un trabajo que publica en la Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas Físicas y Naturales en 1904, así como a otro ilustre paisano, Juan Martínez Silíceo, le dedica unas notas biográficas en la Revista de la Real Sociedad Matemática Española en 1911. Publicó además trabajos en los periódicos científicos: “Boulletin de Mathematikues de Niew Reuglowski”, y “La Naturaleza”; además de publicar en “El Aspirante” de Toledo. Respecto a la enseñanza fue continua su lucha, por otro lado infructuosa, por introducir en los Institutos, la Matemática que se hacía en Europa. Su trabajo “Sur les propiétés graphiques des figures centriques” (Extrait d’une lettre adressé a Mr. Pasch), lo publica Pasch extractando una carta que nuestro autor le envía, añadiéndole un apéndice donde pondera el trabajo. Este trabajo llega en un momento en que se ponían los cimientos a la Geometría proyectiva. Unos años antes Pasch publica un libro Volsesun gen aber neuve Geometrie (de la segunda edición de este libro los profesores Álvarez Ude y Rey Pastor en 1913 publican una versión en español con el título Lecciones de Geometría Moderna), entonces cuando recibe la misiva de Reyes Prósper, donde le participa su demostración del Teorema de Desargues, para figuras radiadas, a partir de las propiedades elementales de la incidencia en el espacio, a Pasch le parece la más sencilla, la extracta, la publica y le añade un apéndice donde dice “las consideraciones mediante las cuales he introducido las rectas y planos impropios en mi libro [ya reseñado], se simplifican notablemente cuando se introduce previamente su demostración” [se refiere al resultado de Reyes Prósper]. Por otro lado, ya en fecha reciente, Coxeter enuncia el siguiente teorema: 8.51 “If the edges of two covertical trihedra correspond in such a way that the planes joining corresponding edges are coaxial, then lines of intersection of corresponding faces are coplanar”, para continuar, “The particularly significant theorem 8.51 is due to Reyes Prósper.” Obras publicadas. Geometría. “Sur la géometrie non-Euclidienne”, Mathematische Annalen, 29 (1887), 154-156. “Sur les propiétés graphiques des figures centriques (Extrait d’une lettre adressé a Mr. Pash)”, Mathematische Annalen, 32 (1888), 157-158. “Nota acerca de la geometría proyectiva sobre la superficie esférica”, El Progreso Matemático, 13 (1892), 7-10. “Resolución de un problema propuesto por Jacobo Steiner”, El Progreso Matemático, 17 (1892), 147-148. “Recensión de Dodgson [Lewis CarolÌ] Curiosa mathematica, A new Theory of Parallels, London, 1890, 3rd edición”, El Progreso Matemático, 21(1892), 265-266. “Breve reseña histórica de la Geometría no-Euclídea, especialmente de dos y tres dimensiones”, El Progreso Matemático, 37 (1894), 13-16. “Algunas propiedades referentes a los sistemas de círculos, demostradas sin el auxilio de relaciones métricas ni del postulado euclídeo”, El Progreso Matemático, 39 (1895), 205-208. “Nueva demostración de las fórmulas trigonométricas de un ángulo igual a la suma o diferencia de dos dados”, Archivo de Matemáticas Puras y Aplicadas, 5 (1896), 89-91. “Nota sobre un punto de geometría no euclídea”, Archivo de Matemáticas Puras y Aplicadas, 3 (1897), 44-47. “Note sur le théoréme de Pythagore et la géométrie non-Euclidienne”, Bulletin de la Societé physico-mathematique de Kasan, Deuxiéme Série, 1 (1897), 67-68. “Nota de dos demostraciones nuevas de proposiciones trigonométricas”, The Educational Times, 1 (1910). “Restitución de una de las obras perdidas de Euclides”, Revista Matemática Hispano–Americana, 10 (1919), 323-325. Lógica. “El raciocinio a máquina”, El Progreso Matemático, 9 (1891), 217-220. “Cristina Ladd-Franklin, matemática americana y su influencia en la lógica simbólica”, El Progreso Matemático, 12 (1891), 297-300. “Ernesto Schröeder. Sus merecimientos ante la lógica, su propaganda lógico-matemática, sus obras”, El Progreso Matemático, 14 (1892), 33-36. “Charles Santiago Peirce y Oscar Howar Mitehell”, El Progreso Matemático, 18 (1892), 170-173. “Proyecto de clasificación de los escritos lógico-simbólicos, especialmente de los post-booleanos”, El Progreso Matemático, 20 (1892), 229-232. “Nuevo modo de considerar la aritmética”, El Progreso Matemático, 25 (1893), 23-26. “La lógica simbólica en Italia”, El Progreso Matemático, 26 (1893), 41-43. Biográficas. “Wolfgang y Juan Bolyai. Reseña bio-bibliográfica”, El Progreso Matemático, 38 (1894), 37-40. “Nicolás Ivanovich Lobacheski. Reseña bio-bibliográfica”, El Progreso Matemático, 36 (1893), 321-324. “La obra científica de Seki y sus discípulos”, Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, 1 (1904), 251-254. “Juan Martínez Silíceo”, Revista de la Sociedad Matemática Española, 5 (1911), 153-156. Otros trabajos. “Catálogo de las aves de España, Portugal e Islas Baleares”, Anales de la Sociedad Española de Historia natural, tomo XV, Madrid 1886, Pp. 5-109. También publicado por Fortanet, Madrid, 1886 y en edición facsímil por el Ayuntamiento de Badajoz en 1986. “Lista de los moluscos recogidos por el doctor Osorio en Fernando Poo y en el Golfo de Guinea”, Anales de la Sociedad Española de Historia Natural, 15 (1886), 340. “Dos toledanos ilustres en la luna”, Boletín de la Sociedad Arqueológica de Toledo, 1 (1900), 4-5. “Nuevas noticias acerca del astrónomo toledano Arzaquel”, BoletÌn de la Sociedad Arqueológica de Toledo, 6 (1900), 124. “El pavo real en la ornamentación mudéjar”, Revista semanal de arte de Toledo, 32 (1916), 213. “Los viejos árboles de la vetusta Toledo”, Revista semanal de arte de Toledo, 32 (1916), 253. “El laurel de la casa de Becquer en Toledo”, Revista semanal de arte de Toledo, 182 (1922), 329. BIBLIOGRAFÍA BERNALTE MIRALLES, A.; LLOMBART PALET, J.; VIÑAS, J. “Introducción de las geometrías no-euclídeas en España”. Estudios sobre Historia de la Ciencia y de la Técnica. IV Congreso de la Sociedad Española de las Ciencias y de las Técnicas, II., Junta de Castilla y León. Valladolid. 1988, 969-977. COBO, J., Reyes Prósper (Biografías Extremeñas). Dpto. Publicaciones Diputación. Badajoz. 1991. COBO, J. y NUBIELA, J., “Cuatro cartas americanas. Correspondencia de Ventura Reyes Prósper con Charles S. Peirce y Christine Ladd-Franldin”. LLULL, 20 (39), (1997), 757-768. COBOS BUENO, J., “Un Geómetra extremeño del siglo XIX: Ventura Reyes Prósper”. Memorias de la Real Academia de Extremadura de las Letras y las Artes, vol. II, (1994), 91-137. COBOS BUENO, J., “Ventura Reyes Prósper: Una aproximación al científico”. Revista de Extremadura, Núm. 5 (Segunda Época), (1993), 101-125. COBOS BUENO, J., “Ventura Reyes Prosper”, Revista de Estudios Extremeños, LI (II). (1995), 479-5 14. COBOS BUENO, J., “A Mathematician out his Time: Ventura Reyes Prósper”, Extracta Mathematicae, Vol. 11, Núm. 2. (1996), 306-314. COXETER, H.S.M., Non-eulidean geometty, Fifluih edition, University of Toronto Presss, Toronto, 1978. [SAN JUAN, R., “La obra científica del matemático español D. Ventura Reyes Prósper”, Gaceta Matemática II (n. 2). (1950), 39-41. VAL, J.A. del., “Un lógico y matemático español del siglo XIX: Ventura Reyes y Prósper”, Revista de Occidente T. XII (Segunda Época, enero-febrero-marzo), (1966), 222-261. VAL, J.A. del., “Los escritos lógicos de Ventura Reyes y Prósper”, Teorema III (2-3), (1973), 315-354.
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Historia de las matemáticas/Biografías de matemáticos españoles
Autor:Mª Carmen Escribano Ródenas (Universidad CEU San Pablo) y Ana I. Busto Caballero (Universidad Complu
Pocas personas han tenido un papel tan relevante en el desarrollo de la Ciencia Estadística española como Sixto Ríos García, cuya vida fue un constante referente en la formación de los investigadores de su época y en la creación, novedosa, de centros de investigación estadística, como lo ponen de manifiesto la primera Escuela de Estadística en España y del Instituto de Estadística e Investigación Operativa del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) y de otros organismos similares en Hispanoamérica. Su aportación al mundo científico es indudable y reconocida tanto en España como en el extranjero por los más prestigiosos científicos de la vida académica y universitaria. Esto queda atestiguado por la treintena de libros que ha escrito, por los más de doscientos artículos publicados en revistas internacionales, y por sus numerosos discípulos. DATOS BIOGRÁFICOS Sixto Ríos García nace el 4 de enero de 1913, en Pelahustán, Toledo. Sus padres, D. José María Ríos Moreiro y Dña. Mª. Cristina García Martín, eran maestros de escuela. A los cuatro años Sixto empieza a asistir a las clases de su padre, ahora destinado por entonces a los Navalmorales. Dos años después, cuando tiene seis años, sus padres se trasladan al nuevo destino de Madrid. En esta época Sixto acude primero a las clases de su madre en una escuela unitaria y luego a las de su padre en el colegio anejo a la  Escuela Normal. A los nueve años empieza el Bachillerato, que consta de seis cursos, dos años recibe clases de su padre en casa y otros dos va al Colegio San Mauricio de Madrid y en ambos casos se examina como alumno libre en el Instituto San Isidro donde se convertirá en alumno oficial a partir del 5º curso de Ciencias. En 1928, empieza la carrera de Exactas en la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Madrid. Simultáneamente, por indicación de sus padres, en dos años se hace maestro de primera enseñanza y en el año 1948 ayuda a su padre a escribir un libro de Problemas de Matemáticas para opositores a Maestros. En el año 1931 obtiene una beca de estudiante del Seminario Matemático de la Junta para Ampliación de Estudios (JAE) instalado en Madrid. Es allí donde conoce a Julio Rey Pastor, del que tanto había oído hablar, disertando una magnífica conferencia. De este encuentro, Sixto Ríos conserva un vivo recuerdo que nos relata con las siguientes palabras en su obra “Rey Pastor, Maestro de Matemáticos”: “Volví a casa emocionado. Había visto y oído a un gran matemático, al que conocía por el estudio de sus libros y ahora me brindaba su amistad, proponiéndome un problema. No descansé hasta resolverlo, y a los pocos días Rey Pastor dejó a un lado visitas más importantes que la mía para atenderme y escuchar los detalles de mi solución. Iba a ser mi primer artículo en la Revista Matemática Hispano-Americana, que él había fundado. En los breves días pasados, desde que conocí al maestro, me había inoculado el virus de la investigación y ya me consideraba como un discípulo suyo. Algo especial tenía que lo distinguía de muchos otros profesores con los que yo había convivido más y seguido un curso y otro, a pesar de lo cual la huella que en mí habían dejado no podía compararse con la lograda por D. Julio en pocos días”. Obtiene el título de Licenciado en Ciencias Exactas por la Universidad Central de Madrid con la calificación de Sobresaliente y Premio Extraordinario con 19 años. Comienza después los cursos de doctorado que duran poco, entre uno y dos meses. Su tesis titulada “Sobre la hiperconvergencia de las integrales de Laplace Stieltjes”, fue dirigida por Rey Pastor, doctorándose en 1935. En octubre de 1932, recién terminada la carrera, le ofrecen ser ayudante gratuito de clases prácticas de Análisis de primer curso en la Facultad de Ciencias, con el profesor Barinaga. Un año después, obtiene por oposición la plaza de auxiliar temporal de Análisis IV, con Rodriguez Bachiller como Catedrático. La Real Academia de Ciencias le concede la Cátedra de Matemáticas de la Fundación Conde de Cartagena en 1940. A partir de 1941 es, sucesivamente, Becario y Colaborador del Instituto Jorge Juan del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC). Este mismo año es nombrado profesor de la Academia Militar de Ingenieros Aeronáuticos de Madrid. También el mismo año obtiene por oposición la Cátedra de Análisis Matemático de Valencia, cátedra que dejará al año siguiente accediendo por concurso de traslados a la de Valladolid, de la que pedirá excedencia en 1942. El 27 de enero de 1943 se le nombra Jefe de la Sección de Análisis del Instituto Jorge Juan. También este año obtiene el nombramiento de Profesor del Seminario de Estudios Superiores de Física y Matemáticas de la Universidad Central y en 1944, obtiene por concurso, el nombramiento de Ingeniero 3º del Cuerpo de Ingenieros Geógrafos y Jefe de Negociado de 1ª clase. Al año siguiente es designado para desempeñar la Cátedra de Matemáticas de primer curso, de la Facultad de Ciencias Políticas y Económicas de la Universidad de Madrid como Profesor encargado de curso, en la que dará clases hasta 1953. Accede por oposición a la Cátedra de Estadística Matemática de la Universidad de Madrid en 1948, de la que toma posesión el 5 de junio. Desde sus primeros días en la Cátedra de Estadística, única en España en esa época, pone todo su empeño en elevar el nivel de esta materia, y para ello inicia una escuela de investigadores que hará que nuestro país se ponga a nivel internacional en Estadística y más tarde en Investigación Operativa, lo que ayudará a progresar a la industria española al emplear los métodos estadísticos más modernos. En 1950 se crea el Instituto de Estadística e Investigación Operativa, dentro del CSIC, del que es nombrado Director. Este Instituto, asociado a la Cátedra le permite practicar el servicio de consultas a las empresas y otros organismos, formando a los alumnos en problemas reales, que después proporcionarán temas para tesis y otras investigaciones teóricas y permitirán la formación más completa de los alumnos. Este mismo año comienza a dirigir la nueva revista Trabajos de Estadística e Investigación Operativa. Los esfuerzos de Sixto Ríos por mejorar la situación de la enseñanza de la Estadística en España son recompensados en 1952 cuando se crea en la Universidad de Madrid la primera Escuela de Estadística de nuestro país, sus objetivos como director de la misma están claros: la investigación, el estudio y la enseñanza de los métodos estadísticos y sus aplicaciones. En 1954 es nombrado Experto de la UNESCO, Consejero de la Dirección General de Estadística del Gobierno de Venezuela y Jefe de la Misión para organizar la enseñanza de la Estadística en la Universidad de Caracas. Por este motivo se traslada junto con su familia a esta ciudad en la que residirá durante seis meses y en la que crea la Escuela de Estadística en la Universidad Central de Venezuela, con un plan de estudios e investigaciones similar al de la Escuela de Madrid. En 1957 ingresa en la empresa S.A. IBÉRICA BEDAUX en calidad de Asesor en Investigación Operativa en la que permanece hasta 1962. Su trabajo en esta empresa, así como posteriormente en METRA en calidad de director científico de SOFEMASA, le permite estar en contacto directo con la industria española y europeay aplicar sus conocimientos en Investigación Operativa y Teoría de la Decisión a problemas prácticos y reales que surgen en las empresas españolas de la época, con lo que se benefician extraordinariamente sus actividades en la docencia e investigación de la Universidad de Madrid y del CSIC. En enero de 1959 es nombrado Académico Numerario de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Madrid, dos años más tarde obtiene el Grado de Doctor Ingeniero Geógrafo y en junio de 1961 lee el discurso de entrada en la citada Real Academia, cuyo título es “Procesos de Decisión”. El discurso de contestación lo pronuncia Julio Rey Pastor, siendo éste el último acto académico en el que intervino. La Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires le nombrará Académico Correspondiente en 1966. Un grupo de investigadores del CSIC, fundan en 1962 la Sociedad Española de Investigación Operativa (SEIO) de la que Sixto Ríos será el segundo presidente, después de D. Fermín de la Sierra. A partir de 1976 dicha Sociedad será conocida como SEIOEI (Sociedad Española de Investigación Operativa, Estadística e Informática), y en 1984 volverá a las siglas iniciales, esta vez con la nueva denominación de Sociedad de Estadística e Investigación Operativa. A instancias de Sixto Ríos se crea, por orden del B.O.E. de 18 de agosto de 1973, la Sección de Estadística e Investigación Operativa de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid de la que se le nombra Presidente y, posteriormente, Director del Departamento desde su constitución. Recibe el Premio “Francisco Franco” de Investigación en Ciencias, otorgado por el CSIC en 1975, y al año siguiente es nombrado Decano de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense, cargo al que renunciará un año después. Este mismo año recibe el Premio Nacional de Investigación Matemática de las manos del Rey Juan Carlos I. Y en 1978 la Royal Statistical Society le designará Honorary Fellow en 1978. El 19 de diciembre de 1983, la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid le rinde un homenaje con motivo de su jubilación y le otorga la Medalla de Oro por los cincuenta años de docencia en esta Facultad. La jubilación de Sixto Ríos no significó el fin de una larga carrera de investigación, estudio y preocupación por el desarrollo de las Matemáticas, en especial de la Estadística y la Investigación Operativa, pues siguió estando en activo dando conferencias, asistiendo a Congresos, publicando libros y artículos variados, acudiendo a todos los actos oficiales a los que es invitado y sobre todo participando en gran número de actividades en pro del avance estadístico en España. En 1992, junto con otros académicos, forma un Grupo de Análisis de Decisiones (GAD)  en  la  Real  Academia  de  Ciencias y dirige varios proyectos de investigación  Dos años más tarde es nombrado Académico de Honor de la Real Academia de Ciencias de Sevilla y en 1997 Consejero Titular del Consejo Superior de Estadística. En el año 2000 es investido Doctor Honoris Causa por la Facultad de Ciencias de la Universidad de Oviedo, y en el año 2001 por la Universidad de Sevilla. Falleció en Madrid, el 8 de Julio de 2008. INVESTIGACIÓN Se especializa en teoría de funciones analíticas y trabaja en su tesis doctoral sobre un tema que le propone su director Rey Pastor:”La hiperconvergencia de las integrales de Laplace-Stieltjes”. Una idea nueva introducida en esta tesis es la consideración de sucesiones parciales para la prolongación analítica de una integral de Laplace. Los teoremas principales de esta tesis fueron publicados en la Revista de la Academia de Ciencias en 1936 y recogidos después en el tratado de Doetsch (Berlín 1950) y obtenidos posteriormente por Hirschmann, quien los publica en su Memoria “Two power series theorems extended to the Laplace Transform”. En 1936, aparece en la Colección Borel la monografía de W. Bernstein, que dejaba abiertos algunos difíciles problemas sobre las series de Dirichlet de densidad máxima infinita, cuya solución consigue y publica. Otro tema importante en esa época es la posibilidad de génesis en las series de Dirichlet generales de ultraconvergencia por reordenación que estudia y publica en una memoria de las Abhandlungen de Hamburgo (1943). Este trabajo contiene además otros enfoques válidos para la representación de funciones por series de polinomios y prolongación analítica por reordenación. La idea de reordenación para lograr un nuevo método de prolongación analítica es completamente original del autor, se conoce como “El teorema de reordenación de Ríos” y fue el tema de una conferencia en la Sociedad Matemática Suiza en 1946 por el Profesor Hadwiger. La teoría de la reordenación de series, que comienza con los teoremas de Riemann (números reales), Steinitz (números complejos), sigue con trabajos de Ríos y Hadwiger (series de Dirichlet, de polinomios,…) y llega a nuestros días con trabajos de Halperin, Kadets,… (series en espacios de Banach, etc.). Son también importantes sus trabajos relativos a familias normales, espacios de Banach, espacios funcionales de series potenciales, etc. El Consejo Superior de Investigaciones Científicas le concede el Premio “Alfonso el Sabio” de Ciencias por su obra “La prolongación analítica de la integral de Dirichlet-Stieltjes”. Sus trabajos están publicados en revistas de categoría mundial como los Abhandlungen de Hamburgo, Rendiconti delle Reale Accademia dei Lincei, Revista de la Real Academia de Italia, Comptes Rendus de L’Académie de París, etc., y son citados por importantes autores como Doetsch, Hadamard, Fréchet, Guizetti, Hadwiger, Rey Pastor, etc. Su formación previa como especialista en Análisis le fue muy útil y le facilitó el trabajo, en su nuevo campo de investigación: la Estadística. Entre los trabajos de Probabilidad y Estadística destacan los relativos a Máximos y Mínimos en poblaciones finitas, cuyos resultados serán después utilizados por Brambilla en varias memorias y en su libro Programazione Matemática. En los trabajos relativos a estimadores satisfacientes introduce la definición posteriormente conocida como de Dynkin o bayesiana (Congreso de Palermo 1982). También se cita el “criterio de Ríos” de medida de la bondad en un estimador, obtenido posteriormente por Savage (a veces es citado como el criterio de Ríos-Savage). Estudia los métodos de estimación asociados al criterio de riesgo fijado (R-e) introducido por él, relacionándolo con otros criterios convencionales. Varias tesis y trabajos de sus discípulos (Layachi, de la Horra,…) y trabajos posteriores de Le Calci, Montessano y otros continúan profundizando en este estudio. Hizo importantes trabajos de aplicaciones al estudio de las medidas antropométricas de la población infantil de España y su relación con los problemas de nutrición, aportando contribuciones metodológicas propias. En el Congreso de Varsovia de 1977 introduce un nuevo enfoque de la Teoría de la Decisión, que es un tratamiento coherente más general y realista que el bayesiano, ya que supone una información a priori parcial. Sus desarrollos han sido continuados por Girón, Good, etc.y citados en los libros de Berger, French, P.L.Hammer y Kotz-Johnson. Entre sus trabajos de Investigación Operativa destacan los relativos a Procesos de decisión en concurrencia, que han sido continuados por sus discípulos. También se deben citar sus contribuciones al estudio de un nuevo funcional de utilidad con riesgo fijado, que tiene notables ventajas en algunos aspectos sobre la utilidad de V. Newman, como han observado varios autores posteriores: Fishburn, Tversky, etc. Tal concepto está ligado al del método de decisión satisfaciente, desarrollado por él en el Congreso de Hamburgo en 1981. La idea de los métodos de decisión satisfacientes le conduce a una nueva introducción de los intervalos de confianza que es muy intuitiva y aplicable. Hay que mencionar además sus trabajos sobre la Teoría de Inventarios y la Teoría de Búsqueda que fueron expuestos en el Congreso Internacional de IFORS en Washington. Sus investigaciones sobre Decisión Multicriterio y las aplicaciones al problema de la Cartera fueron expuestos en varias ocasiones en las Universidades de París y Rabat, así como en los Congresos de Hamburgo de 1981, de Mons (Bélgica) en 1982 y de Palermo en 1982 en los que desarrolló modelos de selección de la Cartera con multiatributos (rentabilidad, liquidez, etc.), y fueron sistematizados en su libro “Procesos de decisión multicriterio” (1990) (en colaboración con sus hijos Mª Jesús y Sixto). El retraso de más de 50 años en conocimientos estadísticos respecto a países como Estados Unidos e Inglaterra que percibe Sixto Ríos al tomar posesión de la Cátedra de Estadística en la Universidad de Madrid, no se puede paliar con el trabajo y las investigaciones de una sola persona; por eso, para elevar el nivel español en esta disciplina, crea una escuela de investigadores y didactas en Estadística que bajo su dirección logra llevar a España a foros internacionales y pone a nuestro país a la misma altura que los países más avanzados en esta materia. Una de las más encomiables cualidades de Sixto Ríos ha sido siempre, la preocupación por sus alumnos. Ha estado siempre al tanto de sus progresos, investigaciones, oposiciones a cátedras, publicaciones y cualquier otro empeño en el que ellos se aventurasen, pensando que el trabajo de ellos era vital para conseguir el objetivo que se había marcado: igualar el nivel estadístico español con el de los países más desarrollados. Fue director de tesis de más de 40 discípulos, entre ellos más de 16 fueron Catedráticos de Universidades españolas y algunos de ellos directores de Centros Estadísticos de Hispanoamérica. Además tiene un gran número de “nietos científicos” en toda España, muchos de ellos Catedráticos de distintas Universidades. De un modo especial cuidó la relación de los Centros en que se formaban sus discípulos y los análogos de Europa y América, logrando con su actividad, relaciones personales, colaboración mutua, y una importante actividad de Profesores visitantes extranjeros a dichos Centros. Sixto Ríos García ha conseguido con su esfuerzo al desarrollo científico, que su quehacer como matemático no se quede solamente en la investigación científica teórica, sino que los actuales profesionales de la Medicina, la Abogacía, la Economía, la Psicología, la Política, la Defensa Nacional, entre otros, tomen conciencia en su práctica diaria de la necesidad de aplicar el “Análisis de Decisiones”, siendo éste acogido con respeto y entusiasmo por la sociedad en general y más especialmente por los expertos en las distintas disciplinas científicas.
Jueves, 15 de Enero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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