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Instantáneas matemáticas

Nuestro más sincero agradecimiento al Profesor Ángel Requena Fraile por organizar y desarrollar esta sección, así como a las personas que colaboran con la misma.

Para saber más sobre Instantáneas Matemáticas puedes leer la presentación aquí.

Resultados 1 - 10 de 54

Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Lorenzo Lotto. Alegoría de la virtud y del vicio. 1505. Washington. Galería Nacional de Arte) Huellas del hombre en la Playa de Rodas El filósofo Aristipo, discípulo de Sócrates, víctima de un naufragio, fue arrojado a las costas de la isla de Rodas y al advertir unas figuras geométricas dibujadas en la arena, cuentan que gritó a sus compañeros: « Alegrémonos, pues observo huellas humanas» (Vitruvio, De architectura, Libro VI) La Geometría como portal civilizador El célebre naufragio de Aristipo se enmarca en la tradición platónico-pitagórica del frontispicio de la Academia: no entre quien no sepa geometría. En el medioevo se mantiene esa situación de privilegio de la matemática: puerta y llave del conocimiento diría Roger Bacon. La renovación renacentista de la cultura se realiza en muchas dimensiones y en una de ellas se rescata el pensamiento matemático como paradigma de civilización contra barbarie, de humanidad frente a bestialidad, y de virtud frente a vicio. Las representaciones iconográficas son deliciosas. Observemos la evolución desde el primer Renacimiento con Lorenzo Lotto, pasando por los manieristas Federico Zuccari y Bartholomäus Spranger, para terminar en el siglo XIX con un panel de azulejos valencianos. Alegoría de la virtud y del vicio La geometría como modelo de civilización y humanidad frente al vicio tiene una de sus primeras y más logradas manifestaciones en la Alegoría de la virtud y del vicio (1505) de Lorenzo Lotto. La pintura al óleo sobre madera se encuentra en el Museo Nacional de Arte en Washington y proviene de la donación del filántropo Samuel Kress. La madera pintada servía para proteger el retrato del obispo de Treviso que por entonces era el mecenas de Lotto. (Lorenzo Lotto. Alegoría de la virtud y del vicio. 1505. Detalle) Lo que fue una simple tapadera se ha convertido con el tiempo en la obra principal. Un paisaje tormentoso, un barco naufragando y dos figuras contrapuestas: un sátiro con pezuñas que encarna la bestialidad y un niño que hace geometría nos muestra a la naciente humanidad, virtud frente a vicio. La virtud es diligente. El vicio va unido a la ebriedad y el abandono. Los instrumentos que se representan son un compás en la mano, otro en el suelo, una escuadra y un cuadrante. Los libros y una flauta de Pan completan el cuadro de la virtud. Porta Virtutis La puerta sapiencial en taracea del Palacio Ducal de Urbino va acompañada por otra puerta alegórica: Porta Virtutis (1581), pintura cargada de mensajes de Federico Zuccari. La Galleria Nazionale delle Marche muestra con esta pintura manierista las inquietudes del final del Renacimiento: arte, virtud y ciencia matemática. (Federico Zuccari . Porta Virtutis. 1581 Palacio Ducal de Urbino) Vemos a Minerva guardando la entrada al mundo de la virtud que está separado del mundo de los vicios representado por seres más bestiales que humanos. Un gran arco votivo divide los dos mundos. Dentro hay inventiva, inteligencia, diseño, decoro, colorido… mientras que fuera proliferan la envidia, los vicios y la brutalidad. Abajo a nuestra izquierda, un ser se está preparando para librarse de la bestialidad con una escuadra y un compás en la mano, una tablilla sujeta por una mujer (¿alegoría de la aritmética?) y unos pinceles en el suelo. Los rasgos van siendo cada vez más humanos. A ambos lados de la entrada y parcialmente ocultas, se vislumbran dos alegorías de la Inteligencia cuyos  atributos son la escuadra, el compás y la esfera armilar: los de la geometría. La escena reproduce visualmente el no entre quien no sepa geometría del portal de la Academia de Atenas. (Federico Zuccari. Porta Virtutis. 1581 Detalles) Minerva victoriosa frente a la ignorancia La alegoría de Zuccari es reconstruida por el sensual artista flamenco Bartholomäus Spranger, uno de los pintores preferidos por la corte imperial de Rodolfo II en Praga. La idea es similar: Minerva triunfa sobre la barbarie con las virtudes de la civilización: la escritura y la geometría. Curiosamente Spranger cambia el orden de los instrumentos: la esfera armilar está a la izquierda y el compás emerge a la derecha. Minerva victoriosa frente a la ignorancia (1591) se encuentra en el Museo de Arte e Historia de Viena: las ricas colecciones de Rodolfo fueron trasladadas desde Praga cuando la corte imperial regresa a Viena. La bestialidad está representada en la figura de largas orejas que queda inmovilizada por la diosa de la guerra y la inteligencia. La geometría resalta aún más como veremos en la segunda versión que hace Spranger del mismo tema. (Bartholomäus Spranger. Minerva victoriosa frente a la ignorancia. 1591. Viena, Kunsthistorisch Museum) La geometría contra la ignorancia en  D´Azay-le-Rideau Uno de los castillos más bellos del Valle del Loira es D´Azay-le-Rideau, que ocupa un islote del río Indre a unos kilómetros al sur de Tours. El château suele ser citado como una de las más logradas realizaciones de la arquitectura renacentista en Francia. La escalera monumental es especialmente destacable. El castillo fue erigido por el tesorero estatal de Francisco I que no llega a ocuparlo al ser acusado de malversación. Situémonos en la Cámara del Rey de la planta principal (llamada así pese a que el rey apenas pasó alguna noche en ella). La decoración se limita a una gran chimenea y unos deliciosos escritorios. Aunque no sea el de más calidad, nos fijamos en uno de madera tallada del lado derecho de la chimenea. El tallador ha reproducido en la puerta superior la alegoría de Minerva victoriosa contra la ignorancia. La pintura original es una segunda versión del manierista flamenco Bartholomäus Spranger y el grabador Egidio Sadeler la reproduce. (Grabado de Egidio Sadeler sobre dibujo de Bartholomäus Spranger. Minerva victoriosa frente a la ignorancia II) Minerva doblega a un sátiro (con largas y bestiales orejas) y en su entorno se encuentran las artes que son atributos de la diosa: a un lado y otro destacan una esfera armilar y una mano con escuadra y compás. Spranger ha vuelto a personalizar el tema de Federico Zuccari en Porta Virtutis: la geometría como puerta de entrada a la virtud y a la civilización. El ebanista del mueble de D´Azay-le-Rideau, además, escribe Geome para que no queden dudas. (Minerva victoriosa frente a la ignorancia II. Castillo de D´Azay-le-Rideau) Geometría contra ignorancia en un panel cerámico valenciano del XIX El Museo Nacional de la Cerámica Gonzalez Martí de Valencia conserva un bonito panel de azulejos de M. Molla realizado a mitad del siglo XIX. La geometría como antídoto contra el error y la ignorancia vuelve a aparecer con los mismos instrumentos. El panel valenciano procederá de un dibujo que cristianiza el tema pagano: Minerva y Mercurio aparecen en el centro pero por encima de ellos están las deidades cristianas. La idea sigue siendo la misma pero con algún elemento singular: La ignorancia, otra vez con largas orejas, trata de convencer a un hombre para que se dispare flechas contra sí mismo. El compás y la esfera está en el suelo como muestra de que el ser está a punto de volver a la barbarie. La figura alegórica femenina de la derecha está desnuda como la verdad y tiene un espejo como la prudencia.  Sería la representación de la virtud. El Museo cataloga el panel como Valencia ante la disyuntiva del error y la verdad. (Panel del error y la verdad. 1850. Museo Nacional de la Cerámica. Valencia)
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Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Octaedro estrellado y rosario. Museo de la Opera del Duomo, Pisa) El octaedro estrellado es uno de los sólidos cóncavos representados por Leonardo da Vinci para ilustrar De divina proportione de Luca Pacioli. El poliedro tiene características que le hacen muy interesante. Al completar cada una de las caras de un octaedro con ocho tetraedros se obtiene un poliedro cuyos ocho vértices extremos forman un cubo. Además la figura puede verse como una macla de dos tetraedros insertados de arista doble de la del octaedro. Los vértices del octaedro estrellado son la disposición más visual  de uno de los dos empaquetamientos óptimos de esferas: el sistema cúbico centrado en las caras. Si vamos uniendo los cubos, formando una malla, lo que nos aparece es el arquimediano cuboctaedro, cuyo dual es el dodecaedro rómbico, el sólido de Catalá que rellena el espacio. Otro aspecto que no pasa desapercibido es que como cubo puede inscribirse en un dodecaedro regular: los artistas usarán la propiedad para mostrarlo. El octaedro estrellado en los Uffizi El Stanzino delle Matematiche, la pequeña sala de la Galería de los Uffizi donde los Médici albergaban sus dispositivos matemáticos, está decorada con frescos pompeyanos y sus motivos iconográficos son matemáticos. El único poliedro representado, un octaedro estrellado sólido, ocupa un lugar central. (Octaedro Estrellado. Galería de los Uffizi. Florencia) El octaedro estrellado en los diseños renacentistas alemanes Geometría et perspectiva (1567) de Lorenz Stöer es el libro de láminas que servirá de referencia a la marquetería alemana. En la portada y ocupando el lugar más elevado encontramos el octaedro estrellado. En otra portada no impresa de Stöer es donde vemos el octaedro estrellado inscrito en un dodecaedro regular. En una sola figura se encuentran cuatro de los cinco sólidos platónicos. También en Perspectiva corporum regularium (1568) de Wentzel Jamnitzer, el orfebre matemático de Nuremberg, encontramos repetidamente el diseño pero esta vez como derivado del tetraedro. (Perspectiva corporum regularium (1568). Wentzel Jamnitzer) El octaedro estrellado en la taracea de madera La taracea de madera del Renacimiento fue el lugar privilegiado de los poliedros tras los trabajos pioneros de Piero de la Francesca y Leonardo da Vinci que tuvieron su continuación en la perspectiva alemana. El octaedro estrellado aparece representado en uno de los primeros trabajos de intarsia prospettiva: los paneles de Filippo da Serravallino que se exhiben en el Museo de la Opera del Duomo de Pisa. Donde el octaedro estrellado se encuentra más cómodo es en la marquetería alemana: las puertas del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial, el escritorio del Museo de Bellas Artes de Bilbao, el atril del Museo de Artes Decorativas de Fráncfort del Meno o el secreter de los poliedros del Museo de Artes Decorativas de Colonia. (Puerta alemana. Monasterio de San Lorenzo de El Escorial) (Contrapuerta del escritorio alemán.  Museo de Bellas Artes. Bilbao) (Atril.  Museo de Artes Decorativas. Fráncfort del Meno) (Contrapuerta del secreter.  Museo de Artes Decorativas.  Colonia) La representación más curiosa es la del atril de Fráncfort (abajo –derecha) donde tres caras del octaedro estrellado se ven a su vez estrelladas en nácar. En Dalí y el mobiliario urbano Terminamos dando cuenta de cómo Dalí, obsesivo con Leonardo, Velázquez o Millet, no deja de percibir el atractivo de los poliedros estrellados y los usa incluso para insertar la figura humana, como pone de manifiesto en sus delirantes 50 secretos mágicos para pintar (1951). El mobiliario urbano, y especialmente las farolas, suelen ser un lugar donde los poliedros se refugian. En la Plaza Europa de Zaragoza, junto al río Ebro, todo el alumbrado se hace con octaedros estrellados: hasta dieciséis farolas con los dos diseños: sólido y vacío.
Lunes, 11 de Marzo de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Figura 1. Reloj solar de Cerro Cocorrón. Museo Histórico de Montilla) El Museo Histórico de Montilla conserva el único cuadrante solar romano horizontal encontrado en la Península Ibérica De la treintena de relojes solares hallados en la Hispania Romana [1], solo el localizado en Montilla es horizontal plano con gnomon vertical, el resto son de tipo escafe (σκάφη) o hemispherium, el diseño que Vituvio atribuye a Berosio el Caldeo y a Aristarco de Samos. Los únicos relojes horizontales planos de la antigüedad hasta el hallazgo de Cerro Cocorrón eran los andalusíes: ocho encontrados hasta ahora. El más bello ejemplo de reloj solar hemisférico es el encontrado en Baelo Claudia (Cádiz) y que se expone en el Museo Arqueológico Nacional. Se trata de un reloj con gnomon de orificio para dejar pasar un fino haz de rayos solares. (Figura 2. Reloj solar de Baelo Claudia. MAN, Madrid) El analema de Vitruvio El gran tratadista Marco Vitruvio Polión (c. 80-70 – 15 a. C) expone detalladamente en su De Architectura (Libro IX, Capítulo VII) la forma de construir relojes solares horizontales usando la proyección ortográfica de la esfera celeste. El procedimiento ortográfico de la analemma fue después usado y ampliado por Herón de Alejandría (10 – 70 d. C.) y Claudio Ptolomeo (100 – 160 d. C.). El sistema fue la base de los cuadrantes árabes tanto orientales como occidentales. El método del analema es geométrico y permite trazar con facilidad las líneas horarias y las hipérbolas del zodiaco (o para cualquier fecha) en las zonas templadas. Los cuadrantes romanos y andalusíes suelen marcar solo las dos hipérbolas de los solsticios y la recta de los equinoccios. Las líneas horarias romanas y andalusíes son herederas de la tradición oriental y marcan las horas temporarias o planetarias, que son desiguales ya que dividen la insolación en doce tramos iguales desde el orto al ocaso. En invierno las horas son más cortas que en verano, alcanzando su mínimo en el solsticio de invierno y su máximo en el de verano. Hoy calculamos las duraciones de los días numéricamente usando trigonometría pero Vitruvio lo hacía más fácil con geometría. (Cálculo del ángulo d de la semi duración de los días) Las horas romanas y arábigas se empiezan a contar desde el amanecer de forma que el mediodía son las seis. Esta forma de cómputo es la que heredarán los conventos cristianos para sus rezos: la sexta marca el mediodía.  Los relojes romanos dibujan las líneas que van desde la I a las XI. Los árabes fueron conscientes de que las líneas horarias temporarias no eran rectas pero su trazado siguió recto para simplificar y por la misma razón se trazaban las hipérbolas con la ayuda de una circunferencia. (Figura 3. Analema de Vituvio. Edición alemana de Walther Hermann Ryff. 1575) Utilización del analema Vamos a utilizar el esquema de Ron Doerfler [3] para uso del analema por ser muy comprensible visualmente. El proceso para la construcción de la figura 4 es el siguiente: Trácese una circunferencia que será la meridiana del lugar. Dibújense los diámetros horizontal y vertical. El horizontal es el horizonte del lugar, el límite de lo que el observador ve. El diámetro vertical es la vertical del lugar, la recta que une el centro del planeta con el observador. Trácese otro diámetro que forme un ángulo igual a la latitud del lugar con la vertical. Ese diámetro es la proyección ortogonal del ecuador celeste. Dibújense dos cuerdas paralelas al ecuador a un ángulo de 23º 27` de éste, se trata de los trópicos de Cáncer y Capricornio celestes. Al poner en movimiento la maquinaria, todo gira sobre el eje del mundo, la recta diámetral perpendicular al ecuador, fh en la figura 4. (Figura 4. Esquema de Ron Doerfler [3] para uso del analema) La figura 4 nos va a mostrar en detalle el proceso de trazado de la hipérbola de Cáncer (solsticio de verano) y sus horas correspondientes: Trácese la semicircunferencia de la cuerda de Cáncer, que corresponde al giro de la Tierra pues se abate el paralelo de Cáncer sobre el plano meridiano. Divídase la semicircunferencia de Cáncer en doce partes iguales para marcar las horas actuales. Las otras doce horas del día son simétricas y no necesitan dibujarse. Proyéctense ortogonalmente sobre la cuerda los puntos de la semicircunferencia. Únase cada punto de la cuerda de Cáncer con el centro de la circunferencia (líneas azules), y prolónguense hasta cortar la línea horizontal tangente inferior a la circunferencia (línea verde). Dibújense rectas perpendiculares a la línea verde desde las intersecciones con líneas azules. [Los puntos de corte nos han dado las distancias de las distintas horas a la tangente de la hipérbola que pasa por el vértice (el mediodía) (línea rojiazul)] Trácense las líneas paralelas al horizonte desde las horas en la cuerda de Cáncer (líneas rojas paralelas). Únase cada punto horario de la circunferencia con el centro hasta cortar a la línea verde (líneas rojas que pasan por el centro). Los arcos desde el horizonte nos dan la altura del Sol en cada hora Tómese un punto cualquiera de la prolongación de la vertical del lugar como base del gnomon (punto verde). Dicho punto debe estar suficientemente alejado de la circunferencia meridiana para poder dibujar el reloj sin interferir, aunque bastaría con la mitad inferior (horas de mañana) pues las de tarde son simétricas) Trácense las circunferencias con centro base del gnomon para las distintas longitudes de sombra. [Los segmentos de las líneas verde nos dan la longitud de la sombra del gnomon para cada hora] El proceso se ha realizado de forma que el radio de la circunferencia meridiana sea la atura del gnomon. La figura 4 describe el proceso para horas iguales; para las horas temporarias romanas el procedimiento es el mismo pero las divisiones de la semicircunferencia del paralelo de Cáncer deben modificarse para dividir en seis partes el arco diurno: Se localiza el punto de intersección entre el horizonte y la cuerda de Cáncer (punto amarillo). Levántese la línea perpendicular a la cuerda hasta cortar a la semicircunferencia del paralelo de Cáncer (punto marrón, horas 4/8 en el dibujo) Divídase el arco superior de la semicircunferencia en seis partes pues es el arco diurno. Esto último no se puede hacer con regla y compás pues requiere la trisección del ángulo.  Se usarían métodos mecánicos o aproximaciones. La hipérbola y líneas horarias de Capricornio se hacen con su paralelo correspondiente y los dos equinoccios con el ecuador celeste. En la Figura 4 están marcadas pero no dibujados tanto las horas del solsticio de invierno como ambos equinoccios. Los relojes romanos y árabes pequeños solo suelen marcar los solsticios y los equinoccios. Si se desea dibujar todas las hipérbolas del zodiaco (o una para una declinación específica cualquiera) se recurre a una pequeña circunferencia tangente a los dos paralelos de los solsticios llamada menaeo (mes). La división del menaeo en doce partes nos ofrece las doce declinaciones solares del zodiaco. Los cálculos geométricos son sencillos y una vez realizados para una latitud pueden tabularse. Eso es lo que se hace en los Libros del Saber de astronomía mandados traducir  por Alfonso X el Sabio. El cuadrante de Montilla El fragmento de reloj solar encontrado en el yacimiento de Cerro Cocorrón nos da información suficiente para reproducirlo fielmente en su totalidad. Las líneas horarias de las III, IV, V y VI (mediodía) están completas. Se deduce por trigonometría que el gnomon tenía una altura de 48 mm y se localiza a 12 mm del solsticio de verano) pues la distancia medida entre solsticios es 75 mm. En la figura 6 se muestran las diferencias entre las horas temporarias desiguales (en rojo) y las usuales en la actualidad (amarillas). Nótese que las amarillas convergen pero las temporarias no. (Figura 5. Reloj solar de Cerro Cocorrón con las horas marcadas) (Figura 6. Reloj solar de Cerro Cocorrón con los dos tipos de horas) La figura 7 muestra una aproximación al tamaño real del cuadrante sobrepuesto con el fragmento recuperado. (Figura 7. Reloj solar de Cerro Cocorrón reconstruido aproximadamente) Polisemia del término analema El uso del término griego analemma se ha ido transformado con el paso del tiempo. Etimológicamente es la base del reloj solar. En Vitrivio es el de procedimiento expuesto para construir geométricamente relojes horizontales usando proyección ortográfica de la esfera celeste y abatimiento de planos. En el siglo XVII se desarrolla un tipo de reloj llamado analemático que no requiere gnomon pues la sombra del observador marca las horas sobre una elipse. La persona se tiene que desplazar a la estación marcada en el suelo. Estos relojes son conocidos también como cuadrantes de Vaulezard. El primer reloj de este tipo se realizó delante de la fachada del Monasterio de Brou. Son relojes muy adecuados para los patios de los colegios: son sencillos y dan protagonismo a las personas. En la actualidad el término analema ha quedado reservado para la curva en forma de lemniscata asimétrica (forma de 8) que nos indica el adelanto o el retraso del mediodía solar respecto al legal a causa de la inclinación del eje de rotación de la tierra y de su órbita elíptica. Agradecimiento A la Asociación de Arqueología Agrópolis de Montilla por sus facilidades y su desinteresado entusiasmo para el mantenimiento del Museo Histórico Local. Referencias [1] Pérez Rubio, J. A. (2014) Relojes de Sol Romanos en Hispania. Asociación Ilicitana de Astronomía. [2] Serrano Gil, V. (2009) Cuadrante solar romano. Reflexiones y apuntes en torno a una pieza del Museo Histórico Local de Montilla. Boletín de la Asociación Provincial de Museos Locales de Córdoba. [3] Doerfler, R (2007). The Analemmas of Vitruvius and Ptolemy
Viernes, 01 de Febrero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Organum mathematicum. Museo Nacional de la técnica. Praga) El imaginativo y polifacético jesuita alemán Athanasius Kircher (1602-1680) fue el promotor de una arqueta de tablillas matemáticas para facilitar los cálculos prácticos de las diversas disciplinas de las matemáticas aplicadas de la época. El encargado de divulgar el proyecto fue su discípulo Kaspar Schott (1608-1666), quien redactó Organum mathematicum (1668), obra póstuma publicada en Núremberg. El libro del Padre Schott es un detallado manual de casi mil páginas sobre como construir y utilizar la arqueta aplicable a nueve disciplinas matemáticas (libris IX explicatum): Aritmética, Geometría, Fortificación, Cronología, Horolografía (Gnomónica), Astronomía, Astrología, Esteganografía (Cifrado) y Música. (Portada de Organum mathematicum (1668) de Gaspar Schott) La atractiva personalidad del Padre Kircher requeriría un extenso trabajo. Representa quizá el mejor ejemplo de la prolongación del espíritu renacentista al barroco: infinita curiosidad y saber enciclopédico. Políglota, orientalista, matemático, físico, teórico de la música, inventor, descifrador… Kircher representa también la pervivencia del ocultismo de los amuletos, la astrología, los cuadrados mágicos o los jeroglíficos en plena época de la revolución científica y además sin apartarse de la ortodoxia católica. El Padre Schott reconoce la deuda con su maestro reproduciendo en su libro la carta que envío Kircher en 1661 a Gottfried Aloys Kinner con la descripción básica del dispositivo Organum mathematicum y algunas instrucciones de su uso. Kircher ya tenía la paternidad de la invención de un sistema de tablillas para componer música y que publicó en su Misurgia universalis (1650). Al Organum se incorpora la Misurgia y se extiende a otras ocho materias. (Lámina del dispositivo Organum mathematicum en el libro de Schott) Descripción de las tablillas por materia según el Padre Schott Liber primus arithmeticus. Las tablillas son los conocidos bastoncillos multiplicadores de la Rabdologia de Neper. (Lámina de las tablillas aritméticas. Organum mathematicum. Schott) El libro dedica 102 páginas para explicar las operaciones aritméticas básicas. En el texto hace referencia, no solo a Neper, también a la tabla de Pitágoras. Schott explica como usar las tablillas neperianas para multiplicar, dividir, extraer raíces cuadradas y hacer reglas de tres directas e inversas. Como excepción el Organum de Munich hace una curiosa síntesis de las láminas de Caramuel y los huesos de Neper. Liber secundus geometricus Las tablillas proporcionan básicamente las llamadas umbras rectas y versas. Las sombras rectas y versas ya venían en el dorso de los astrolabios y son los catetos horizontal y vertical de un triángulo rectángulo. Se trata de tablas primitivas de senos y cosenos para los cálculos topográficos de alturas y declinaciones. La parte geométrica se extiende por 66 páginas del libro. (Lámina de las tablillas geométricas. Organum mathematicum. Schott) Liber tertius fortificatorius La generalización de la pólvora en el siglo XV hizo que los viejos castillos medievales fueran blanco fácil para la nueva artillería. La fortificación se renueva y se hace más matemática. Los muros deben ser terreros para resistir los impactos, aparecen las formas poligonales y se deben cubrir los flancos. Las explicaciones ocupan 57 páginas del manual. Las tablillas nos dan los parámetros de construcción de fortificaciones geométricas de polígonos desde el cuadrado (IV) al decágono (X). (Lámina de las tablillas para fortificar. Organum mathematicum. Schott) Liber quartus chronologicus La cronología era una ciencia matemática. El propio Newton se dedicó a ella en su vertiente bíblica. El libro de Schott se dedica a la determinación de las fiestas religiosas que siguen el calendario lunar como la pascua. El cristianismo no olvida sus orígenes hebraicos y en él pervive los restos de calendario lunar. Los árabes mantienen solo el lunar y los hebreos uno mixto como la Iglesia. Hasta 150 páginas se dedican a la cronología eclesiástica. Las tablillas cronológicas sirven para determinar las fiestas ajustadas al calendario lunar desde el solar. (Lámina de las tablillas para la cronología de la pascua. Organum mathematicum. Schott) Liber quintus horographicus El término horographicus se extiende en el texto a horolographicus y a gnomonicus que son más claros. Se trata de tablillas para calcular relojes de sol de todo tipo: horizontales, verticales, occidentales, orientales y declinantes. Las tablillas contienen incluso los datos para dibujar las hipérbolas del zodiaco. Las tablas van por latitudes desde 40º a 50º. (Lámina de las tablillas para calcular relojes solares. Organum mathematicum. Schott) Liber sextus astronomicus Las tablillas astronómicas contienen la duración del día desde el orto al ocaso a lo largo del año y la declinación del sol sobre la eclíptica según el tradicional modelo geocéntrico. (Lámina de las tablillas astronómicas. Organum mathematicum. Schott) Liber septimus astrologicus La iglesia seguía autorizando libros de astrológia pese a la prevención de San Agustín contra ellos. Kircher y Schott incorporan tablas a su Organum mathematicum para una rápida realización de horóscopos. Las tablillas cubren desde 1660 a 1681 dando la naturaleza del signo zodiacal, los humores, su uso médico lo adecuado para plantar y otras lindezas. La parte astrológica ocupa 64 páginas, poco más que la astronómica. (Lámina de las tablillas astrológicas. Organum mathematicum. Schott) Liber octavus stenograficus Kircher era considerado como el máximo especialista en cifrados de mensajes secretos. Las tablillas nos dan las sustituciones para cada letra. Las arcas se hacen con 24 espacios para depositar tablillas por ser 24 las letras latinas. La esteganografía marca el número mínimo de hendiduras de almacenamiento. Schott dedica 63 páginas al uso del cifrado y construcción de las tablillas. (Lámina de las tablillas de cifrado. Organum mathematicum. Schott) Liber nonus musicus Gaspar Schott reproduce lo adelantado por Athanasis Kircher en su Misurgia universales. Se trata de la parte más conocida por ser un procedimiento para la automatización de la composición musical. Se dedican 92 páginas del libro al uso de las tablillas musicales. (Lámina de las tablillas para música. Organum mathematicum. Schott) Valoración El Organum mathematicum es estéticamemente muy atractivo y loable su función de simplificar los cálculos. Aunque su función sea práctica no recoge los nuevos desarrollos matemáticos y la terminología más moderna como la trigonométrica. No se mencionan el álgebra, ni la geometría analítica ni los indivisibles y en cambio se mantiene la astrología y la cronología eclesiástica. El Organum es muestra de la enseñanza jesuítica dirigida a la aristocracia (fortificaciones) y a clérigos (cronología).  Resulta interesante comparar el libro con el Compendio Mathematico, en que se contienen todas las materias más principales de las ciencias, que tratan de la cantidad (1707 – 1715) del Padre Tomás Vicente Tosca, el novator jesuita valenciano: Tomo I: Geometría Elemental, Aritmética Inferior, Geometría Práctica. Tomo II: Aritmética Superior, Álgebra, Música. Tomo III: Trigonometría, Secciones Cónicas, Maquinaria. Tomo IV: Estática, Hidroestática, Hidrotecnia, Hidrometría. Tomo V: Arquitectura Civil, Montea y Cantería, Arquitectura Militar, Pirotecnia o Artillería. Tomo VI: Óptica, Perspectiva, Catóptrica, Dióptrica, Meteoros. Tomo VII: Astronomía. Tomo VIII: Astronomía Práctica, Geografía, Náutica. Tomo IX: Gnomónica, Ordenación del Tiempo, Astrología. Puede verse una gran coincidencia en materias aunque con otro ordenamiento. Tosca escribe medio siglo más tarde y es renovador: incluye álgebra y trigonometría. Órganos matemáticos conservados (Organum mathematicum. Museo Galileo Galilei. Detalle. Florencia) Se conoce el paradero de tres Organa, los tres se conservan en museos: Uno en el Museo de la Técnica en Praga, otro en el Museo Galileo Galilei de Florencia y el tercero en el Museo Nacional Bávaro de Munich. Los dispositivos de Praga y Florencia son prácticamente iguales: en lugar de tener las tablillas de una misma materia de derecha a izquierda, como dibujaba Schott, las colocan de arriba abajo pero la forma del mueble y la distribución se corresponden con la teoría. Los bastoncillos de Neper no quedan cuadrados sino rectangulares pero el funcionamiento es el mismo. (Organum mathematicum. Museo Galileo Galilei. Foto del museo. Florencia) El Organum de Munich cambia la forma por completo pero el contenido es el mismo. Las regletas neperianas son más estrechas y en la parte superior tienen las láminas de Juan Caramuel. El mueble es de cajones y recintos, culminado por la caja de Neper. Las tablillas del resto de las materias están distribuidas por el precioso contenedor. Los Organa Mathematica debieron ser populares en las instituciones escolares jesuíticas. La expulsión de la orden y la transformación de sus colegios deben ser las causas de los pocos dispositivos conocidos que se conservan. El mueble de Praga procede del Clementinum y el de Munich está documentado que proviene de la colección del jesuita Ferdinand Orban (1655-1732) de Ingolstadt y probablemente fue fabricado hacia 1680. La colección pasó al estado después de la disolución de la orden jesuita. (Organum mathematicum. Museo Nacional de Baviera. Foto del museo. Munich)
Miércoles, 02 de Enero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Giorgio Vasari, Studiolo de Cosme I. Palazzo Vecchio de Florencia) Una figura tan grande como Rafael Sanzio no podía repetir patrones anteriores. En las nuevas Estancias vaticanas rompió con el modelo de representación de las Artes Liberales. Las alegorías femeninas dominantes que iban acompañadas por los sabios desaparecen; las ciencias del trivium y el cuadrivium se quedan solo con sus personajes. Las bellas mujeres con las que Marciano Capella excitó la imaginación se diluyen después de 1000 años de dominar el arte. En su lugar hay una única escena, pletórica de vida, donde apenas se vislumbran algunas damas, la más clara se atribuye a Hipatia, la que está al lado de la Aritmética, con Pitágoras y Boecio. La filosofía ocupa el centro con Platón y Aristóteles, y en pequeños núcleos las siete artes vienen representadas en pequeños grupos realizando su actividad. Las artes matemáticas ocupan el primer plano donde destaca la Geometría con Euclides en primer plano con compás dibujando en el suelo. Esa pose del sabio inclinado realizando cálculos geométricos va a convertirse en un nuevo paradigma para los pintores que lo contemplen. (Rafael Sanzio, Escuela de Atenas. Estancia de la signatura. Ciudad del Vaticano) Por un lado, Rafael rindió homenaje al valioso legado griego y por otro destaca la relación entre el arte y las matemáticas dando rostro de conocidos artistas de la época a los sabios que representa. La Escuela de Atenas vaticana data de 1510-1511 y a partir de ese momento cambiará el diseño de muchos murales en bibliotecas para incorporar el nuevo diseño.  A describir algunas de las otras Escuelas de Atenas se dedica ese escrito. La otra Escuela de Atenas en la Ambrosiana La Pinacoteca Ambrosiana de Milán contiene un avanzado Estudio para la escuela de Atenas de Rafael. No se trata de un borrador inicial, no estamos ante un simple boceto, sino ante una obra prácticamente acabada a tamaño real en sus grandes líneas, solo le falta el color. (Rafael Sanzio, Boceto para la Escuela de Atenas. Galería Ambrosiana. Milan) Las esculturas inacabadas de Miguel Ángel, seres que emergen de la piedra, tienen si cabe tanto encanto como las obras finalizadas. A este boceto de Rafael le pasa lo mismo. Solo echamos de menos precisamente la figura sentada en solitario que representa a Heráclito utilizando la imagen del propio Miguel Ángel. Rafael debió de dudar hasta el final sobre que papel asignarle al gran genio. La escuela de Atenas se nos descubre con todo su esplendor: el camino al conocimiento que termina en Platón y Aristóteles pasando por la Matemática. La obra se expone en penumbra dado lo vulnerable de su material: papel y carboncillo. La Academia de Platón en el Arqueológico de Nápoles Antes de pasar a la influencia ejercida por Rafael se debe exponer algún antecedente. Las escuelas filosóficas de Atenas como la Academia de Platón, el Liceo de Aristóteles o la Stoa de Zenón el estoico, fueron objeto de representación en los mosaicos romanos. En el Museo Arqueológico de Nápoles se encuentran algunos de los mosaicos romanos más impresionantes que puedan visitarse. Uno de los destacables es un bello mosaico que hace referencia a la meditación de los sabios en la Academia de Platón. Algunos estudiosos dialogan mientras que otros se hayan sumidos en profundos pensamientos sobre el universo matemático. Un sabio señala con su vara hacia un globo con la eclíptica, los meridianos y los paralelos. Parece ser que Platón es el filósofo que explica con la vara. El sabio que se apoya en la columna del reloj solar -con la mano sujetando la cabeza-puede ser Eudoxo de Cnidos, el creador del método de exhausción, la forma primitiva del cálculo integral. (Mosaico de la Academia de Platón. Museo Arqueológico. Nápoles) El delicioso mosaico nos trae a la mente la prescripción platónica del no entre aquí quien no sepa geometría que adornaba el frontispicio de la Academia. El studiolo de Cosme I en el Palazzo Vecchio de Florencia El studiolo, lugar de trabajo, sosiego y retiro del Príncipe del Renacimiento, suele estar decorado con motivos que hacen referencia a la filosofía, las artes y las ciencias. Cosme I encargó a Giorgio Vasari una decoración acorde con estos principios para su estancia en el Palazzo Vecchio. También llamada la Sala del Tesoretto, el estudio de Cosme I [foto de portada] destaca por el lujo de sus dorados. La religión está representada por los cuatro evangelistas, el resto de los motivos son profanos: la geometría, la astronomía, la música, la filosofía,… El fresco de la Geometría está muy deteriorado y apenas se vislumbran dos poliedros, en cambio el de la Astronomía muestra la actividad geométrica en plana acción. Vasari, más que inspirarse, copia sin disimulo la esquina derecha de La Escuela de Atenas de Rafael. El personaje agachado con compás (Euclides o Arquímedes) traza sus figuras en presencia de Ptolomeo en un marco clásico que simula la ciudad de Alejandría. La Aritmética no está representada directamente pero el tonel de Diógenes de Sinope, la Filosofía, está orlado de números. Nos aproximamos al barroco: la filosofía se va reduciendo a la escuela cínica. La Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial El Monasterio de San Lorenzo no puede separarse de la visión que hombres como Herrera tenían de la unidad esencial del saber. Su huella está por todas partes, pero esencialmente en la Biblioteca. La historia de la biblioteca real es larga y controvertida. La decisión de Felipe II de instalarla en un apartado no es del agrado de todos, pero no podría entenderse el proyecto global sin el lugar de estudio. El eje central del edificio muestra alineados el trono, el panteón, el altar...y la biblioteca. Otra muestra de la importancia de la biblioteca es su decoración. La búsqueda en Italia de los pintores más acreditados de la época fue un fracaso hasta la llegada de Tibaldí. Pellegrino Tibaldí, al estilo del Miguel Ángel de la Sixtina, supo plasmar con pasión y colorido el diseño iconográfico del padre Sigüenza para el trivium y de Herrera para el cuadrivium, convirtiendo la biblioteca en todo un estimulante recorrido por el mundo de la sabiduría y sus artífices. La bóveda de la biblioteca se encuentra dividida en siete espacios. El lugar central de cada uno está ocupado por siete matronas: la gramática, la retórica, la dialéctica, la aritmética, la música, la geometría y la astrología. Cada una de las bellas mujeres tiene los atributos y decoración característicos de su actividad. En los laterales correspondientes se encuentran cuatro personajes destacados en cada disciplina y dos escenas adecuadas. Pocas veces la matemática se encuentra tan explícita y con tanta intensidad. La influencia de la Escuela de Atenas de Rafael se hace patente en dos escenas: la muerte de Arquímedes en la sección de la Geometría y en la propia Schola Atheniensium que se encuentra debajo de la Filosofía en la luneta lateral. (Tibaldi/ Carducho. Schola Atheniensium. Biblioteca de San Lorenzo de El Escorial) La matemática tiene una presencia determinante en la Escuela de Atenas escurialense. Como en el Vaticano, los personajes de los extremos se afanan en la actividad geométrica y en el centro  de la imagen se representan más poliedros y esferas. (Tibaldi/ Carducho. Muerte de Arquímedes. Biblioteca de San Lorenzo de El Escorial) “La Escuela de Atenas” jesuita en Valenciennes Los jesuitas se instalaron en Valenciennes en 1591 y mantuvieron su colegio hasta la expulsión en 1765. El edificio se reconstruyó totalmente  entre los años 1735 y 1751. La Biblioteca de Profesores data de esa renovación y pasa por ser la mejor conservada de Francia de su época. Resulta grato saber que desde inicios del siglo XIX hasta hoy alberga la biblioteca pública. La llamada Biblioteca Jesuita se encuentra en la primera planta con vistas a la calle. Se trata de un recinto abovedado con seis tramos y doce lunetas pintadas al fresco, a las que hay que añadir las dos mayores de los extremos. Una de estas es una versión jesuita de la Escuela de Atenas. Incluso Ptolomeo sigue apareciendo con corona, confundiendo los reyes de Alejandría con el sabio astrónomo y matemático. (Escuela de Atenas. Biblioteca Jesuita. Valenciennes) El fondo histórico de la biblioteca jesuita supera los 350 000 volúmenes y manuscritos; algunas primeras ediciones matemáticas son mostradas con amabilidad a los visitantes. Los frescos matemáticos del Monasterio Strahov en Praga El Monasterio de Strahov es una antigua fundación del siglo XII remodelada de forma que en su aspecto actual dominan el barroco y el neoclasicismo. Las dos bibliotecas, la Teológica y la Filosófica, son de gran valor tanto por su estética como por su contenido. En ambas hay frescos alegóricos a la actividad matemática. El monasterio se localiza en el alto de Mala Strana, cerca de la plaza con la moderna escultura de Kepler y Brahe. La Biblioteca Filosófica (c. 1779) es más alta y clasicista. Los frescos son continuos y en grandes escenas; en el lateral derecho se puede observar a los sabios Tales, Pitágoras o Euclides trabajando en su actividad con distintos instrumentos y dibujos geométricos. Los focos colocados recortan la visibilidad. La figura inclinada con compás y toda la escena ponen de manifiesto  la influencia de la Escuela de Atenas de Rafael. (Matemáticos en actividad. Biblioteca Filosófica. Monasterio Strahov. Praga)
Lunes, 26 de Noviembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Astrolabio desmontado de Muammad ibn al Saffar (1020) – Subastado en 2017) El astrolabio o planisferio es un dispositivo astronómico basado en la proyección de la esfera celeste sobre un plano y que tiene su origen en la matemática griega del periodo alejandrino. Se atribuye a Apolonio de Perga (262-190 a.C.) la fuente de la teoría geométrica, a Hiparco de Nicea (190-120 a.C.) la invención, y a Ptolomeo (100-158 d.C.) el primer manual para la construcción del instrumento. Los bizantinos fabricaron astrolabios pero fueron los astrónomos arábigos los que lo convirtieron en un instrumento de amplio uso que transmitieron a Europa occidental. El astrolabio plano habitual usado por los sabios árabes es el que utiliza la proyección estereográfica con foco en el Polo Sur y el Ecuador como plano de proyección. Un planisferio consta de una madre que aloja las láminas de cada latitud con un limbo (borde graduado), una araña (red) móvil con la eclíptica y la posición de las principales estrella para uso nocturno y las láminas (o tímpanos, o climas) con las coordenadas locales (azimut y almucantares, que son los meridianos y paralelos de la semiesfera local). El reverso permite calcular alturas con una alidada móvil con dos perforaciones para enfocar el astro. El siglo XI fue el gran siglo de la matemática y la astronomía en al-Andalus. La construcción de astrolabios forma parte de su pujanza. El califato había sentado las bases, creando un ambiente propicio a la ciencia, y con su desaparición los sabios encontraron en las cortes de taifas la mejor de las acogidas: Sevilla, Toledo, Zaragoza, Badajoz sustituyeron a Córdoba en aplicación. Una sociedad tan letrada deja testimonio escrito de ese clima tan favorable a la sabiduría. El cadi toledano Said al-Andalusí (1029-1070) recogió en su Libro de las categorías de las naciones la crónica de lo que iba a ser la emergencia de la alta matemática en al-Andalus. Los geómetras que en el libro aparecen como promotores cumplieron con creces.  En relación con los astrolabistas, el cadí escribe: Abu l-Qasim Ibn as-Saffar tenía un hermano llamado Muhammad célebre por la fabricación del astrolabio. Nadie antes que él en el al-Andalus, fue más hábil que él en su fabricación... Ibrahim ibn Said as- Sahlí al-Asturlabí vive en Toledo. Entre los más distinguidos de los geómetras está Ali ibn Jalaf… Abu Ishaqibn Yahya an- Naqqas conocido como az-Zarqiyal (Azarquiel), es el más entendido de los hombres de nuestro tiempo en las observaciones de los astros y en el cálculo de sus movimientos. (Astrolabio de Ibrahim ibn al-Sahlí (Toledo - 1067). Museo Arqueológico Nacional. Madrid) Cuatro nombres importantes han sido citados: ibn as-Saffar, as-Sahlí, ibn Jalaf y Azarquiel. Los apelativos (nisba) explícitos de al-Asturlabí, as-Saffar (trabajador del cobre) o al-Naqqas (cincelador de cobre y latón) dan cuenta de su actividad y origen. Los astrolabios andalusíes suelen estar firmados por sus autores, por ello se conservan instrumentos con los dos primeros nombres. No hay piezas de los otros dos, en cambio dejaron fama imborrable en Los libros del saber de astronomía mandados redactar por Alfonso X. De la época nazarí es la otra crónica detallada, la Ihata, escrita por el prolífico visir ibn al-Jatib (segunda mitad del siglo XIV): Ahmad ibn Husayn ibn Baso se hizo célebre por su habilidad en la construcción de instrumentos astronómicos y consiguió que sus piezas, por las que se pagaban precios muy altos, desplazasen a la de otros reputados autores como el sevillano Muammad al-Jamairi o el toledano Muammad ibn al Saffar. Se estima en un centenar y medio el número de astrolabios árabes que se conservan. Una tercera parte, unos cincuenta, pueden ser andalusíes. Los astrolabios formaron parte de la diáspora musulmana de al-Andalus. Algunos saldrían fuera con sus propietarios y otros, que se quedaron, serían vendidos a los principales museos y coleccionistas. Unos pocos quedan en la Península. Incluso ha habido suerte y alguno ha aparecido entre los escombros al hacer obras en Granada. Recogemos algunos de los más importantes, con su lugar de fabricación y actual localización: Año Autor Medina Localización actual Ciudad 1020 Muammad ibn al Saffar Denia Subastado 1029 Muammad ibn al Saffar Toledo Deutsche Staatsbibliothek Berlín 1026 Muammad ibn al Saffar Denia National Museums Scotland Edimburgo 1067 Ibrahim ibn Said al-Sahli Toledo MAN Madrid 1068 Ibrahim ibn Said al-Sahli Toledo Museo Historia Ciencia Oxford 1071 Ibrahim ibn Said al-Sahli Valencia Museo Astronómico y Copernicano Roma 1081 Ibn Sa‘īd as-Ṣabbān Guadalajara Museo Historia Ciencia Oxford 1086 Ibrahim ibn Said al-Sahli Valencia Museo de la Orangerie Kassel 1080 Ahmad ibn Muhammad al-Naqqhash Zaragoza Germanisches Nationalmuseum Núremberg 1220 Muammad al-Jamairi Sevilla DB Fez 1221 Muammad al-Jamairi Sevilla Museo Historia de la Ciencia Oxford 1224 Muammad al-Jamairi Sevilla BTTM – M Ciencia y Técnica Estambul 1224 Muammad al-Jamairi Sevilla Museo Historia de la Ciencia Oxford 1250 Muammad al-Jamairi Sevilla AP Chicago 1294 Ahmad ibn Husayn ibn Baso Granada RAH Madrid 1304 Ahmad ibn Husayn ibn Baso Granada Linton collection Nueva York 1309 Ahmad ibn Husayn ibn Baso Granada Linton collection Belgica 1316 Abu Ali ibn Baso Granada Museo Specola Bolonia 1320 Ibrahim al-Raqqam Guadix RAH Madrid XIV Anónimo I Valencia de Don Juan Madrid 1308 Anónimo NM of American History Washington 1476 Muhammad ibn Faray Granada Museo Capodimonti Nápoles 1481 Muhammad Ibn Zawal Granada Museo Arqueológico Granada Azaleas zarqaliyyas 1216 Muammad al-Jamairi Sevilla Observatorio Roma 1221 Muammad al-Jamairi Sevilla Biblioteca Nacional París 1252 Muhammad ibn Hudhayl Murcia Real Academia de Ciencias Barcelona De los 25 astrolabios y azaleas citadas apenas media docena permanecen en España. Los otros son objetos de valor de distintos museos. Tomamos como muestra el astrolabio andalusí de Kassel que es similar al del Museo Arqueológico Nacional del mismo autor. Astrolabio de Ibrahim ibn al-Sahlí (1086) en Kassel El Gabinete Astronómico-físico del Palacio de la Orangerie exhibe los instrumentos del Landgraf Wilhelm IV de Kassel-Hessen, un gobernante que fue tanto mecenas de la ciencia matemática emergente como uno de sus activos practicantes. Tycho Brahe y Jost Bürgi dejaron su huella en Kassel Entre la colección astronómica destaca el planisferio de latón que conserva todas sus laminas. Se trata de un astrolabio fechado en Valencia en el 1086, en el que fue el siglo de oro de la matemática en al-Andalus. El astrolabio fue construido por  Ibrahim ibn al-Sahlí. Se trata del Ibrahim b. Said as Shalí al-Asturlabí que moraba en Toledo cuando fue citado por Said al-Andalusí (1029-1070) en su. Libro de las categorías de las naciones. En 1085 se había producido la definitiva conquista castellana de la ciudad del Tajo. Los astrolabios son una muestra patente del desarrollo científico andalusí. La diáspora hispanomusulmana ha afectado también a su legado: solo se conservan en España una pequeña parte de los fabricados. (Astrolabio de Ibrahim ibn al-Sahlí (1086) –Museo Orangerie. Kassel) El astrolabio es una calculadora astronómica analógica basada en la proyección estereográfica de una esfera sobre el plano del Ecuador usando el Polo Sur como vértice del cono. La base teórica se debe a Ptolomeo pero la primera referencia directa se encuentra en Juan Filópono (490-566). La proyección de la lámina del horizonte depende de la latitud (el clima, decían los árabes) por eso se fabricaban diferentes láminas para las ciudades más importantes. Mejoras originales andalusíes: ibn Jalaf,  Azarquiel e ibn Baso Los astrónomos andalusíes no se limitaron a reproducir los modelos de astrolabios orientales y desarrollaron algunas mejoras de calado. A ibn Jalaf se debe la lámina universal, Azarquiel diseña dos tipos de azafea e ibn Baso introduce la lamina general, uno de las incorporaciones más exitosas, tanto que llega hasta la India. Los tres astrónomos dan respuesta al problema del cambio de lámina con su lámina universal. No se sabe a quien atribuir la idea de cambiar el foco y el plano de la proyección estereográfica para evitar el inconveniente de tener una lámina para cada latitud pues ibn Jalaf y Azarquiel son contemporáneos. Ibn Jalaf se atribuye a sí mismo el merito de cambiar el foco y el plano proyectivo. Los astrolabios proyectan sobre el plano del Ecuador (desde el polo sur) mientras que la azafea y la lámina universal lo hacen sobre el plano meridiano del coluro de los solsticios (y desde el punto vernal). La versión mejorada de la azafea (zarqaliyya) utiliza además la proyección ortogonal para el dorso. (Azafea zarqaliyya de ibn Hudhayl de Murcia. 1252. RACAB - Barcelona) La azafea es un versátil instrumento astronómico inventado por el sabio y artífice toledano Azarquiel a mediados del siglo XI. En España solo se conserva el ejemplar de la Real Academia de Ciencias y Artes de Barcelona (RACAB) que fue ejecutada en 1252 por Muhammad ibn Muhammad ibn Hudhayl en la ciudad de Murcia. La azafea permite con facilidad extrema conocer la duración de los días o la visibilidad de estrellas. La palabra azafea significa placa, o lámina, y sustituye en muchos usos al astrolabio. Frente a éste que necesita una lámina para cada latitud, aquella es universal.  La azafea suprime la red mientras que la lámina universal de ibn Jalaf la mantiene. Desgraciadamente no se conserva ningún ejemplar de este último tipo. Lo que más se parece es el precioso planisferio universal de al-Sarraj (1328) del Museo Benaki de Arte Islámico en Atenas. (Planisferio universal de al-Sarraj (1328). Museo Benaki. Atenas) La solución de Azarquiel/al-Jalaf a la lamina universal fue cambiar la proyección ecuatorial por otra meridiana. En cambio el granadino ibn Baso mantiene la ecuatorial y las diferentes láminas por latitudes pero construye otra general con escala de horizontes desde el ecuador. De esta forma los astrolabios mantienen los tímpanos para distintas latitudes pero añaden una lámina más para cualquier latitud: la lámina general. Se conservan dos decenas de ejemplares de este tipo por el mundo y solo dos en España: una firmada por el mismo ibn Baso en la Real Academia de la Historia (RAH) y otra anónima en el Instituto Valencia de Don Juan. La lámina general de ibn Baso está marcada con tres clases de círculos: los horizontes múltiples (círculos máximos con diámetro Este-Oeste), los paralelos del eje del mundo y los arcos (a modo de paralelos del eje Este-Oeste). El principal inconveniente de la lámina es la dificultad de lectura por la saturación de líneas. (Lámina general de ibn Baso. Siglo XIV. Instituto Valencia de don Juan. Madrid)
Martes, 02 de Octubre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Reloj rombicuboctaédrico. 1578. Landesmuseum Württemberg, Stuttgart) La gnomónica, el arte de construir relojes solares, era una parte de las matemáticas aplicadas muy vinculada a la astronomía. El gnomón es el objeto alargado que proyecta la sombra que permite hacer la lectura; suele ser una barra, un triángulo, un paralelogramo (para muros norte/sur) e incluso un orificio gnomónico en los dispositivos de cámara oscura. La parte teórica de la gnomónica es simple: una barra paralela al eje de rotación de la Tierra mueve regularmente su sombra a razón de 15º a la hora sobre un plano paralelo al Ecuador. El reloj solar más sencillo se construye con un triángulo rectángulo vertical orientado al sur y cuya hipotenusa sea paralela al eje de giro. Sobre un plano perpendicular a la hipotenusa la sombra se moverá con velocidad angular constante. (Retrato de Nicolas Kratzer. 1528. Hans Holbein el Joven. Museo Louvre) La inclinación de 23º 27´ del eje de la Tierra sobre el eje de translación alrededor del Sol hace que la longitud de la sombra cambie (permitirá hacer un calendario) pero no altera la regularidad del movimiento.  Un reloj solar solo vale para una latitud determinada. Cualquier cambio del plano proyectivo se obtiene mediante intersección del plano gnomón/Sol con el plano que recibe la sombra. Se trataba de una actividad que requería cierto virtuosismo de cálculo en el Renacimiento. Los poliedros han sido objetos privilegiados para construir relojes solares por sus múltiples caras planas. Podemos encontrar relojes con formas de varios poliedros: el cubo como más sencillo al rombicuboctaedro mayor. Una muestra de la construcción de relojes solares de múltiples caras la encontramos en el Retrato de Nicolas Kratzer (1528) de Hans Holbein el Joven que se encuentra en el Museo del Louvre de París. El astrónomo matemático Kratzer es pintado mientras fabrica un reloj octaédrico con dos vértices truncados. (Reloj icosaédrico. 1633. Palace of Holyroodhouse, Edimburgo) Si hay un lugar privilegiado para encontrar relojes poliédricos es Escocia. En los alrededores de Edimburgo encontramos rutas que van mostrando relojes solares múltiples sobre las caras de diferentes poliedros. Así en los jardines del palacio real de Holyroodhouse encontraremos un reloj icosaédrico de 1633. Un poliedro muy frecuente usado por los relojeros matemáticos más virtuosos es el rombicuboctaedro; una muestra es el que encabeza el escrito localizado en el Landesmuseum Württemberg de Stuttgart y otro situado en Palacio Carberry Tower de Edimburgo. (Reloj rombicuboctaédrico.  Hotel Carberry Tower. Edimburgo) Continuamos en Escocia con otro rombicuboctaedro, el mayor esta vez, que se encuentra en Nunraw Abbey, unos 25 kilómetros al Este de Edimburgo. (Reloj rombicuboctaédrico mayor.  Nunraw Abbey. Escocia) (Reloj dodecaédrico.  Palacio Madama. Turín) Los cinco sólidos platónicos han servido para construir relojes solares. Uno dodecaédrico lo encontramos en el Palacio Madama de Turín, uno de los edificios del conjunto Patrimonio de la Humanidad de la Casa de Saboya. El museo se encuentra en la animada Plaza del Castillo y, aunque hoy no lo parezca, el Castillo fue el propio Palacio, cuya fachada actual es dieciochesca. El Observatorio Astronómico de Turín estaba en el interior. En España hay varios lugares de gran interés gnomónico, uno de ellos es Palma, ciudad que ofrece paseos deliciosos a través de sus 37 relojes catalogados. Destacamos uno, localizado en el Paseo Marítimo formado por dos tetraedros girados y unidos por el vértice, lo que nos permiten jugar con la sombra en cada una de las caras. (Relojes tetraédricos.  Paseo Marítimo. Palma) El octaedro es relativamente corriente, reproducimos uno que se exhibe entre la rica colección de instrumentos matemáticos del Germanisches Museum de Núremberg. (Reloj octaédrico.  Germanisches Museum. Núremberg) Hemos dejado para el final el cubo, el que requiere de menos capacidad de cálculo. Un bonito ejemplo se localiza en una de las casas palacio de Ávila entre los objetos de escritorio. (Reloj cúbico. Ávila)
Jueves, 06 de Septiembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Alegoría de la Astronomía – Sepulcro de Cisneros, Alcalá de Henares) El tiempo no se detiene y en su transcurrir muchas cosas de valor desaparecen o se mutilan. A veces solo hemos de conformarnos con la crónica y su recuerdo. Un caso ejemplar es la destrucción de alegorías matemáticas renacentistas del territorio español o de algunas de las ejecutadas por sus artistas en el exterior. El Renacimiento fue tanto periodo de renovación como de cambio de forma de los modelos anteriores. La representación alegórica de las Artes Liberales tiene su origen en Marciano Capella a finales del Imperio Romano; los modelos iniciales fueron evolucionando durante el Medioevo y se expandieron en belleza y colorido durante el Renacimiento. La Península Ibérica no fue ajena al despertar: los maestros italianos y flamencos trabajaban en los reinos peninsulares y los del lugar perfeccionaban el oficio en Italia. El Cielo de Salamanca (Cielo de Salamanca – Fernando Gallego) El sobrecogedor mural sobre bóveda que Fernando Gallego (1440-1507) ejecutó para la Biblioteca de la Universidad de Salamanca y que se conoce como Cielo de Salamanca es hoy aproximadamente la tercera parte de lo que fue el original. Si la obra se hubiera conservado entera superaría como modelo al realizado por Tibaldi un siglo después para la biblioteca de San Lorenzo del Escorial. Lamentablemente una de las cosas que solo han dejado rastro literario han sido las Alegorías de las Artes Liberales que estaban incluidas en la representación mística de la divina sabiduría. Entristece profundamente no poder contemplar cómo Gallego representó la Aritmética y la Geometría. Fue precisamente la ampliación de la capilla lo que acabo con la biblioteca. En la Universidad ganó el rezo al conocimiento. La fortuna permitió que un trozo de mural no fuera necesario para ampliar el templo y quedara oculto. Descubierto a inicios de siglo XX, los restos de los frescos fueron trasladados al edificio de las Escuelas Menores donde hoy se exhiben. La historia es larga y poblada de picaras anécdotas: al realizarse el traslado de las redescubiertas pinturas se robaron las sinopias. Lo que queda de la orla mística reza así: Cuando contemplo tus cielos, obra de tus dedos, la luna y las estrellas que tú has formado. (Alegoría de Virgo. Cielo de Salamanca – Fernando Gallego) La reproducción de la constelación zodiacal de Virgo realizada por Gallego da una idea de lo que debieron ser la Aritmética, la Geometría, la Astronomía y la Lógica. Pedro de Berruguete en Gubbio (Alegoría de la Astronomía y la Música. Reproducciones del studiolo de Gubbio) Los palacios de los Montefeltro de Urbino y Gubbio fueron lugares de trabajo y formación de Berruguete. La corte de Urbino era uno de los centros del arte matemático. El studiolo, de Urbino ha conservado gran parte de la decoración y mobiliario: era la cámara reservada para desarrollar la vida interior del humanista. La esplendida decoración debía inspirar para el estudio mediante el ejemplo de los grandes sabios y de las alegorías de las artes. Hemos de lamentar que el equivalente de Gubbio haya sido despojado y en parte perdido. Lo triste no es que las piezas se reubiquen, lo malo es que desaparezcan. La National Galery de Londres conserva alguna de las alegorías de Justo de Gante y Pedro Berruguete pero faltan las más matemáticas. En vano buscamos la Aritmética y la Geometría: La Astronomía, donde estuvo más presente la mano de Berruguete desapareció tras los bombardeos de Berlín. El studiolo de Gubbio era más didáctico que el de Urbino pues se construyó para instruir al joven heredero del ducado. Las imágenes reflejan a un joven recibiendo el conocimiento de cada una de las siete artes liberales. Reproducimos la alegoría de la Música de Londres para hacernos una idea de la magnitud de la pérdida contemplando su delicada belleza. (Alegoría de la Música. Berruguete y Justo de Gante. National Gallery) El sepulcro de Cisneros en Alcalá de Henares (Alegorías matemáticas en el Sepulcro de Cisneros. Alcalá de Henares) En el interior de la Iglesia del Colegio Mayor de San Ildefonso, antigua universidad complutense, se encuentra el Sepulcro de su fundador: el Cardenal Regente Cisneros. Siguiendo el modelo de hermanar fe y sabiduría, y tal como había hecho el Papa Sixto IV en su espectacular sepulcro de bronce esculpido por Pallaiolo, el cardenal tiene una tumba decorada con las Artes Liberales. El Cuadrivio (aritmética, música, astronomía y geometría) están a la mano derecha de Cisneros. La Música y la Astronomía han sido poco mutiladas de sus instrumentos, y se observan el laúd y el astrolabio. De la Aritmética se puede ver la tablilla, y de la Geometría solo podemos imaginar el compás desaparecido. La ejecución de la obra corresponde al italiano Doménico Fanzelli, y tras su muerte al español Bartolomé Ordóñez. Las imágenes descabezadas y la irreconocible Geometría muestran que el tiempo se ha cebado en el mausoleo del que fue el reformador de la Iglesia del Reino de Castilla. Torre de la Armería en Alba de Tormes (Alegoría de la Astronomía. Cristoforo Passini. Alba de Tormes) La escenografía para el Gran Duque de Alba que Cristoforo Passini propone en la Torre de la Armería es similar a la del resto de los artistas hagiográficos de todas las épocas: valiente y vencedor en la batalla, virtuoso en la vida y sabio, culto y sensible en su formación. Ignoramos si el palacio y castillo de Alba de Tormes tenía algo parecido a un studiolo. En la primera planta de la torre que se usaba para conciertos y reuniones se encuentran dos espacios laterales con los elementos decorativos propios de los estudios renacentistas. En uno están las virtudes y en el otro las artes liberales al modo clásico de Capella: bellas damas con los atributos de sus ciencias. Las guerras napoleónicas han reducido la galería de las artes a dos frescos completos y dos mutilados. Solo pueden contemplarse enteras la Astronomía y la Lógica, ambas bellísimas, y las dos mutiladas solo dejan ver al amorcillo acompañante. Pérdida irreparable. La Astronomía en pose relajada reposa sobre una esfera astronómica y sujeta una esfera armilar. La hermosísima Lógica mantiene un dragón enjaulado: las trampas del falso razonamiento deben permanecer a buen recaudo. (Alegoría de la Lógica. Cristoforo Passini. Alba de Tormes)
Viernes, 01 de Junio de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Mesa de Piedras Duras. Museo del Prado, Madrid) El renacer cultural del siglo XIII en Occidente tuvo uno de sus apoyos más significativos en la Óptica Geométrica. De pronto el sencillo tratado de Euclides y el complejo de Alhacén ven como sus copias latinas se extienden por doquier.  Sobre la Perspectiva de rayos que se concentran en el ojo escriben Grossetesta, Roger Bacon, Pechan, Witelo o Judaei. La matemática se convierte en puerta y llave para las demás disciplinas dirá Bacon. La pintura y las otras artes pronto plasmarán en sus obras estos avances ópticos. Será en Florencia donde Filippo Brunelleschi (1377-1446) realizará experimentos visuales y el pintor Masaccio mostrará espectacularmente las posibilidades de la perspectiva cónica en su Trinitá (1427), el fresco de Santa Maria Novella con un único punto de fuga en la bóveda de cañón. Poco más tarde Leon Battista Alberti daba carta de naturaleza a la perspectiva matemática en el tratado De Pictura (1436). A finales del siglo XV se había asumido que el pintor ha de saber matemáticas: tres grandes como Piero della Francesca, Leonardo o Durero escribirán tratados de geometría. (Códice Atlántico. Leonardo da Vinci. Biblioteca Ambrosiana. Milán) El escorzo, la representación de una figura oblicua con el plano proyectivo, será otro avance de la perspectiva, el Cristo morto (1480) de Andrea Mantenga mostrará como las líneas se encojen. En una figura oblicua con el plano se concentran las formas, pero qué pasaría si lo que se inclina es el plano proyectivo: el Renacimiento descubre la representación anamórfica. Suele tomarse como punto de partida de la anamorfosis dos pequeños dibujos del Códice Atlántico de Leonardo: una cara de niño y un ojo se ensanchan para ser vistos de forma realista cuando se miran desde el lateral. La técnica anamórfica se extiende a Alemania, Erhard Schön de Núremberg, discípulo de Durero, ocultará las caras de los protagonistas del cerco de Viena en un paisaje. La anamorfosis se convierte en pintura secreta, incluso con usos pornográficos. Más casta será la utilización de la anamorfosis para expresar la vanidad de las cosas terrenales como hace Hans Holbein con su oculta calavera  de Los embajadores (1533). Anamorfosis de Carlos V (e Isabel de Portugal) El Emperador Carlos se lleva la palma en lo referente a retratos anamórficos; los encontramos en Valladolid, Toledo, Nueva York, Palencia o en los grabados comentados de Erhard Schön. La imagen imperial también se prestaba a los secretos y al virtuosismo: el Renacimiento fue muy propicio a lo oculto. El retrato de Palencia es el más auténtico de los tres que se conservan en España, las dos anamorfosis en San Miguel  y San Julián de Valladolid pueden ser imitaciones locales de la época del palentino y los retratos del Museo de Santa Cruz de Toledo son copias modernas o intentos de falsificación. (Retrato anamórfico de Carlos V, vista frontal. Catedral de Palencia) La pintura secreta se conserva en la Sala Capitular, entrando por el Claustro de la Catedral. De delicada factura, ofrece un sorprendente verismo cuando se mira por el orificio. La carátula superior pone Mirum natura et artis, maravilla de la naturaleza y el arte, y en efecto tiene mucho de ello. La imagen por el orificio no se ha podido reproducir pero si una aproximación lateral que nos va dando idea de cómo el rostro se va contrayendo. Como el retrato que sirve de modelo se toma de perfil la alargada nariz da ese aire de pez espada monstruoso a la representación. (Retrato anamórfico de Carlos V, vista lateral. Catedral de Palencia) Las guías atribuyen el retrato a Lucas Cranach sin más fundamento que su factura alemana. Más conocidas que la palentina son las dos anamorfosis de Valladolid. Cuando en el Museo del Prado se realizó la exposición temporal sobre El retrato en el Renacimiento (2008) tuvimos la oportunidad de apreciar dos anamorfosis del emperador Carlos y su mujer Isabel de Portugal. En aquella ocasión las protecciones impedían apreciar la imagen con el ángulo adecuado. Las dos anamorfosis son anónimas –escuela alemana del siglo XVI o copias locales siguiendo el modelo de Palencia- se encuentran de nuevo en su emplazamiento: la iglesia vallisoletana de San Miguel y San Julián que, antes de la expulsión de los jesuitas, fue de San Ignacio. Los dos pequeños cuadros se exhiben en la sacristía de los jesuitas, uno a cada lado del nuevo altar. Están protegidos con vidrio, pero en sus marcos originales que tienen un agujero que dirige la visión para corregir la deformación de la imagen. Popularmente los vallisoletanos llaman a los cuadros los pescados ante unas narices imperiales tan afiladas. (Retratos anamórficos de Carlos V e Isabel. Sacristía de San Miguel y San Julián. Valladolid) (Retrato anamórfico de Carlos V, vista lateral. Sacristía de San Miguel y San Julián. Valladolid) Diferente es el caso de los retratos de Carlos V e Isabel de Portugal que almacena el Museo de Santa Cruz de Toledo. Son copias recientes de las de Valladolid, y quizá realizadas con intención de falsificar: los agujeros de los xilófagos se han hecho expresamente. Su interés radica en el rescate de las anamorfosis. (Retratos anamórficos de Carlos V e Isabel de Portugal. Museo Santa Cruz. Toledo) Anamorfosis sobre Piedras Duras El Museo Nacional del Prado en Madrid conserva siete consolas realizadas a finales del siglo XVIII en el Real Laboratorio de Piedras Duras del Buen Retiro. El gusto por la taracea de piedra tiene su origen en el periodo napolitano de Carlos III. Una de las mesas consolas tiene anamorfosis. No siempre se exhiben, durante mucho tiempo han estado almacenadas. Aprovechando ciertas exposiciones monográficas se han expuesto las dos consolas más interesantes desde el punto de vista matemático: la de las anamorfosis y la de la pantómetra. Las siete consolas son trampantojos con las ciencias, las artes y los juegos. Hay anamorfosis, caja de instrumentos con pantómetra (compás usado para realizar multiplicaciones y divisiones de forma analógica (teorema de Tales) y que popularizó Galileo). Transportadores de ángulos, escuadras, reglas y compasen se distribuyen al azar y descuidadamente sobre las consolas. La taracea en Piedras Duras, como la de madera, hace un bellísimo uso de la perspectiva con su virtuosismo geométrico. El detalle de la anamorfosis sobre un estuche sirve de portada a esta instantánea. Anamorfosis de Dalí sobre botella de ponche Dalí encontró en Figueres, su ciudad natal, el mejor lugar para recrear su imagen: el viejo teatro que se había destruido en un incendio. La tesis de que la vida es teatro y la persona máscara encontraría en Dalí su confirmación: su imagen se oculta en la interpretación. El Museo de Dalí tiene varias de sus anamorfosis cilíndricas. A Dalí no podía pasarle desapercibida la enigmática pintura de Los embajadores de Holbein y su oculta calavera. La forma de homenajearla es una anamorfosis cilíndrica sobre una botella plateada de ponche. (Calavera anamórfica, Dalí. Museo de Figueres) Al lado de la calavera hay otras dos reflexiones sobre botella/espejo. La cara que se convierte una vez reflejada en un provocativo desnudo es la más daliniana. Dalí interpretó su papel de divo fantoche hasta lo atragante pero nunca podremos negarle su capacidad creativa y su obsesión por extender los límites del arte. Su intensa relación con los matemáticos formaba parte de su exploración. (Desnudo y rostro  anamórfico, Dalí. Museo de Figueres) Las anamorfosis callejeras van haciendo su aparición como decoración urbana, valga como muestra la que representa a Einstein al lado de la Casa de las Ciencias de Logroño, el antiguo matadero municipal en el margen del Ebro. El espejo es un tronco de cono invertido. (Anamorfosis de Einstein. Casa de las Ciencias. Logroño) También Figueres ha rendido homenaje a Dalí con una anamorfosis en una de sus  plazas.
Martes, 01 de Mayo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Giuliano da Maiano. Mazzocchio. Studiolo de Federico de Montefeltro, Urbino) El mazzocchio, el sombrero toscano en forma de toro poliédrico, fue utilizado una y otra vez como objeto para la práctica de la perspectiva matemática durante el Renacimiento. Desde el estudio geométrico detallado realizado por el pintor matemático Paolo Uccello (1397-1475), pasando por Leonardo y siguiendo por los tratados de perspectiva, el mazzocchio fue uno de los protagonistas de los nuevos tiempos. (Paolo Uccello. Mazzocchio) Uccello no se limitó a pintar el adorno de los caballeros y se concentró en el estudio de la perspectiva de una forma moderna, similar a la descomposición en “elementos finitos” poliédricos, tal como hacen hoy los calculistas de estructuras complejas. El pintor cronista Vasari reprochó a Uccelo el excesivo tiempo que dedicó al arte de la representación matemática. El encargo de las distintas pinturas que reflejaran la Batalla de San Romano (circa 1440) sirvió a Uccello para abordar el estudio del toro en detalle y hacer una representación realista. (Paolo Uccello. Estudio de mazzocchio) (Paolo Uccello. Detalle de mazzocchios en la Batalla de San Romano) Tras los estudios de Uccello el mazzocchio se hace habitual en las representaciones y se convierte en un objeto que demuestra el dominio de la perspectiva matemática. La taracea de madera de los coros o de los studiolos hará amplio uso del toroide seccionado. Muestras destacables son los studiolos de Urbino o de Gubio, y los coros de la Catedral de Módena y del Monasterio del Monte Oliveto. El mazzocchio suele aparecer, además, rodeado de otros objetos matemáticos para dejar claro que su representación demuestra el dominio de la óptica geométrica. En Urbino se encuentra en el mismo armario que los astrolabios y la tablilla de cálculos y en Monte Oliveto junto a los instrumentos del geómetra. (Fra Giovanni da Verona. Mazzocchio. Sillería del coro del Monasterio del Monte Oliveto) En el studiolo del palacio ducal de Gubbio (1482) realizado por Giuliano da Maiano da todo el realce al mazzocchio colocándolo encima de un trampantojo que simula una bancada. El actual museo lo utiliza como símbolo. (Giuliano da Maiano. Mazzocchio. Studiolo del Palacio Ducal, Gubbio) El coro de taracea de la Catedral de Módena fue ejecutado por los hermanos Cristoforo y Lorenzo Canozzi da Lendinara entre los años 1461 y 1465. Los Canozzi siguieron los trabajos de perspectiva de Piero della Francesca y llenaron su obra de trampantojos e ilusiones ópticas. El mazzocchio aparece en uno de cada dos respaldos del coro pero visto en proyección plana. (Canozzi da Lendinara. Mazzocchio. Coro de la catedral, Módena) El propio Leonardo da Vinci representa en sus cuadernos un toro seccionado aunque no lo incluye entre las ilustraciones del libro de De divina proportione de Fra Luca Pacioli. (Leonardo da Vinci. Mazzocchio. Cuadernos) Quizá el momento álgido del mazzocchio sea el tratado del cardenal matemático Daniele Barbaro: La pratica della perspectiva, opera molto vtile a pittori, a scvltori, & ad architetti (1569). Todos los capítulos se inician con un toro y hay un apartado específico con la explicación detallada de la representación. (Daniele Barbaro: La pratica della perspectiva) El mazzocchio no podía pasar desapercibido en la escultura moderna. Minmo Paladino, un destacado exponente de la transvanguardia que ha recreado el estilo renacentista e incorporado a su obra sólidos como el pequeño dodecaedro estrellado también se ha fijado en el mazzocchio. La rosquilla biselada se ha expuesto en Brescia en una gran muestra callejera desde mayo de 2017 a enero de 2018. Adosado a la antigua muralla de Prato hay otro mazzocchio de estructura metálica que la Unione Industriale de la ciudad encargó a los escultores Ben Jakober e Yannick Vu en 1994. La estructura tubular se encuentra próxima a la Porta Frascati. (Minmo Paladino. Mazzocchio. Brescia) (Ben Jakober e Yannick Vu. Mazzocchio. Muralla de Prato)
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